古典概率模型和几何概率模型

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1、v1v 1.4 古 典 概 率 模 型v和 几 何 概 率 模 型v 如 何 确 定 事 件 的 概 率是 概 率 论 中 的 基 本 问 题 v 古 典 概 率 模 型 和 几 何概 率 模 型 是 概 率 论 中 两 种 最基 本 的 概 率 模 型 ， 在 这 两 种概 率 模 型 下 计 算 事 件 的 概 率是 本 节 的 主 要 任 务 v2一 、 古 典 概 率 模 型 v1 只 有 有 限 多 个 基 本 事 件 ， 并 记 它 们为 v1, 2, ， n ；v一 类 最 简 单 的 随 机 试 验 具 有 下 述 特 征 : v2 每 个 基 本 事 件 发 生 的 概 率

2、相 等 ， 即 nP P P n1 2( ) ( ) ( ) 1 . v这 种 可 等 能 的 概 率 模 型 曾 经 是 概 率 论 发 展 初 期的v主 要 研 究 对 象 ， 谓 之 为 古 典 概 率 模 型 ， 简 称 为古v典 概型 v3v 古 典 概 型 在 概 率 论 中 有 很 重 要 的 地 位 ， 一方v面 是 因 为 它 比 较 简 单 ， 许 多 概 念 既 直 观 又 容 易理v解 ， 另 一 方 面 是 因 为 它 概 括 了 许 多 实 际 问 题 ，有v广 泛 的 应 用 v 对 于 古 典 概 型 下 的 任 何 事 件 A， 若 A中 所 包含 A kP

3、A n( ) . 所 包 含 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数 v4v求 概 率 问 题 转 化 为 计 数 问 题 .v排 列 组 合 是 计 算 古 典 概 率 的 重 要 工 具 .v基 本 计 数 原 理v1.加 法 原 理v设 完 成 一 件 事 有 m类 方 式 ，v第 一 类 方 式 有 n1种 方 法 ，v第 二 类 方 式 有 n2种 方 法 ,v ,v第 m类 方 式 有 nm种 方 法 . v则 完 成 这 件 事 总 共v有 n1 + n2 + + nmv 种 方 法 .v特 点 :一 步 完 成 v5v 例 如 ， 某 人 要 从 甲 地 到 乙 地 去

4、, v甲 地 v乙 地v可 以 乘 火 车 ,v也 可 以 乘 轮 船 .v火 车 有 两 班v轮 船 有 三 班v乘 坐 不 同 班 次 的 火 车 和 轮 船 ， 共 有 几 种 方 法 ?v3 + 2 种 方 法v回 答 是 v6v基 本 计 数 原 理v则 完 成 这 件 事 共 有v种 不 同 的 方 法 . mnnn 21v2.乘 法 原 理v设 完 成 一 件 事 有 m个 步 骤 ，v第 一 个 步 骤 有 n1种 方 法 ，v第 二 个 步 骤 有 n2种 方 法 ,v, v第 m个 步 骤 有 nm种 方 法 . v特 点 ： 多 步 完成v 例 如 , A地 到 B地 有

5、 两 种 走 法 , B地 到 C地 有 三种 走 法 , C地 到 D地 有 四 种 走 法 , 则 A地 到 D 地 共有 24432 v种 走 法 . v7v特 别 , k = n时 称 全 排 列 !12)2)(1( nnnnPnn v排 列 、 组 合 的 定 义 及 计 算 公 式 )!( !)1()2)(1( knnknnnnPkn v1. 排 列 : )1( nk v从 n个 元 素 中 取 k个 不 同 元 素 的 排 列 数 为 ：v阶 乘v 若 允 许 重 复 , 则 从 n个 元 素 中 取 k个 元 素的 排 列 数 为 ：v注意 knnnn v8v2. 组 合 :

6、)1( nk v从 n个 元 素 中 取 k个 元 素 的 组 合 数 为 ：!)!( ! kkn nkPC knkn v推 广 : n个 元 素 分 为 s组 ， 各 组 元 素 数 目 分 别为 r1,r2,rs的 分 法 总 数 为 nrrrrrr n ss 2121 ,! ! v9例 7 在 盒 子 里 有 10个 相 同 的 球 ， 分 别 标 上 号 码 1， 2， ， 10 。 从 中 任 取 一 球 ， 求 此 球 的 号 码 为 偶 数的 概 率 。 解 设 m表 示 所 取 的 球 的 号 码 为 m(m=1,2,10)，则 试 验 的 样 本 空 间 为 S=1,2,10

7、， 因 此 基 本 事 件总 数 n=10。又 设 A表 示 “ 所 取 的 球 号 码 为 偶 数 ” 这 一 事 件 ， 则A=2,4,6,8,10，所 以 A中 含 有 k=5个 样 本 点 ， 故 5( ) 0.510kP A n v10古 典 概 型 的 基 本 类 型 举 例v古 典 概 率 的 计 算 关 键 在 于 计 算 基 本 事 件 总数 和 所 求 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 。由 于 样 本 空 间 的 设 计 可 由 各 种 不 同 的 方 法 ，因 此 古 典 概 率 的 计 算 就 变 得 五 花 八 门 、 纷 繁多 样 。 但 可 归 纳 为 如

8、 下 几 种 基 本 类 型 。 v11v1、 抽 球 问 题 v例 8 设 盒 中 有 3个 白 球 ， 2个 红 球 ， 现 从 盒 中 任抽 2个 球 ， 求 取 到 一 红 球 一 白 球 的 概 率 。v解 设 A取 到 一 红 球 一 白 球25)( CSN 1213)( CCAN 53)( 25 1213 CCCAPv答 :取 到 一 红 一 白 的 概 率 为 3/5。 v12v 一 般 地 ， 设 盒 中 有 N个 球 ， 其 中 有 M个白 球 ， 现 从 中 任 抽 n个 球 ， 则 这 n个 球 中 恰 有 k个 白 球 的 概 率 是 nN kn MNkMCCCp v

9、13例 9 某 箱 中 装 有 m+n个 球 ， 其 中 m个 白 球 ， n个 黑球 。(1)从 中 任 意 抽 取 r+s个 球 ， 试 求 所 取 的 球 中 恰 好 有 r个 白 球 和 s个 黑 球 的 概 率 ； 解 试 验 E： 从 m+n球 中 取 出 r+s个 ， 每 r+s个 球 构 成E的 一 个 基 本 事 件 ， 不 同 的 基 本 事 件 总 数 为v 设 事 件 A： “ 所 取 的 球 中 恰 好 有 r个 白 球 和 s个 黑 球 ” ，总 共 有 多 少 个 基 本 事 件 呢 ？ r sm nC r sm nC Cv所 以 ， 事 件 A发 生 的 概 率

10、 为( ) r sm nr sm nC CP A C v14(2)从 中 任 意 接 连 取 出 k+1(k+1m+n)个 球 ， 如 果 每 一个 球 取 出 后 不 还 原 ， 试 求 最 后 取 出 的 球 是 白 球 的 概 率。解 试 验 E： 从 m+n球 中 接 连 地 不 放 回 地 取 出 k+1个球 每 k+1个 排 好 的 球 构 成 E的 一 个 基 本 事 件 ， 不 同的 基 本 事 件 总 数 为 1km nP v 设 事 件 B： “ 第 k+1个 取 出 的 球 是 白 球 ” ，v 由 于 第 k+1个 球 是 白 球 ， 可 先 从 m个 白 球 中 取

11、一 个留 下 来 作 为 第 k+1个 球 ， 一 共 有v 其 余 k个 球 可 以 是 余 下 的 m+n-1个 球 中 任 意 k个 球 的排 列 ， 总 数 为 1mC m v种 保 留 下 来 的 取 法 ，1km nP v事 件 B所 包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 1km nmP v15所 以 最 后 所 取 的 球 是 白 球 的 概 率 为11( ) km nkm nmPP B P ( 1)( 2) ( 1 1)( )( 1) ( 1 1)m m n m n m n km n m n m n k mm n v注 ： P(B)与 k无 关 ， 即 不 论 是 第 几 次

12、 抽 取 ， 抽 到 白球 的 概 率 均 为 mm n v16v 在 实 际 中 ， 有 许 多 问 题 的 结 构 形 式 与 抽球 问 题 相 同 ， 把 一 堆 事 物 分 成 两 类 ， 从 中 随 机地 抽 取 若 干 个 或 不 放 回 地 抽 若 干 次 ， 每 次 抽 一个 ， 求 “ 被 抽 出 的 若 干 个 事 物 满 足 一 定 要 求 ”的 概 率 。 如 产 品 的 检 验 、 疾 病 的 抽 查 、 农 作 物的 选 种 等 问 题 均 可 化 为 随 机 抽 球 问 题 。 我 们 选择 抽 球 模 型 的 目 的 在 于 是 问 题 的 数 学 意 义 更

13、加突 出 ， 而 不 必 过 多 的 交 代 实 际 背 景 。 v17v2、 分 球 入 盒 问 题v解 设 A： 每 盒 恰 有 一 球 ， B： 空 一盒33)( SN !3)( AN 92)( AP 1)( 全 有 球空 两 合 PPBP 3292331 3 v例 10 将 3个 球 随 机 的 放 入 3个 盒 子 中 去 ， 问 ：v（ 1） 每 盒 恰 有 一 球 的 概 率 是 多 少 ？v（ 2） 恰 好 空 一 盒 的 概 率 是 多 少 ？ v18一 般 地 ， 把 n个 球 随 机 地 分 配 到 N个 盒 子 中去 (nN)， 则 每 盒 至 多 有 一 球 的 概

14、率 是 ：nnNNPP v19例 11 设 有 n个 颜 色 互 不 相 同 的 球 ， 每 个 球 都 以 概率 1/N落 在 N(nN)个 盒 子 中 的 每 一 个 盒 子 里 ， 且 每个 盒 子 能 容 纳 的 球 数 是 没 有 限 制 的 ， 试 求 下 列 事 件的 概 率 ： A=某 指 定 的 一 个 盒 子 中 没 有 球 B=某 指 定 的 n个 盒 子 中 各 有 一 个 球 C=恰 有 n个 盒 子 中 各 有 一 个 球 D=某 指 定 的 一 个 盒 子 中 恰 有 m个 球 (mn)解 把 n个 球 随 机 地 分 配 到 N个 盒 子 中 去 (nN),总

15、共有 Nn种 放 法 。 即 基 本 事 件 总 数 为 Nn。v事 件 A： 指 定 的 盒 子 中 不 能 放 球 ， 因 此 ， n个 球 中的 每 一 个 球 可 以 并 且 只 可 以 放 入 其 余 的 N-1个 盒 子 中 。总 共 有 (N1)n种 放 法 。 因 此 n nNNAP )1()( v20事 件 B： 指 定 的 n个 盒 子 中 ， 每 个 盒 子 中 各 放 一 球 ， 共 有 n!种 放 法 ， 因 此 nNnBP !)( v 事 件 C： 恰 有 n个 盒 子 ， 其 中 各 有 一 球 ， 即 N个 盒 子 中 任选 出 n个 ， 选 取 的 种 数 为

16、 CNnv 在 这 n个 盒 子 中 各 分 配 一 个 球 ， n个 盒 中 各 有 1球 (同 上 )，n!种 放 法 ； 事 件 C的 样 本 点 总 数 为 !nCnN v事 件 D： 指 定 的 盒 子 中 ， 恰 好 有 m个 球 ， 这 m个 球 可 从 n个 球中 任 意 选 取 ， 共 有 Cnm种 选 法 ， 而 其 余 n-m个 球 可 以 任 意 分 配到 其 余 的 N-1个 盒 子 中 去 ， 共 有 (N-1)n-m种 ， 所 以 事 件 D所 包含 的 样 本 点 总 数 为 Cnm(N-1)n-m )(!)( nnNnnN NPN nCCP )111()1()

17、( mnmmnn mnmn NNCNNCDP v21v某 班 级 有 n 个 人 (n365)，v问 至 少 有 两 个 人 的 生 日 在 同 一 天v的 概 率 有 多 大 ？v分 球 入 盒 问 题 ， 或 称 球 在 盒 中 的 分 布 问 题 。 有 些 实 际 问 题 可 以 归 结 为 分 球入 盒 问 题 ， 只 是 须 分 清 问 题 中 的 “ 球 ” 与 “ 盒 ” ， 不 可 弄 错 。v(1)生 日 问 题 ： n个 人 的 生 日 的 可 能 情 况 ， 相 当 于 n个 球 放 入 N=365个 盒 子 中的 可 能 情 况 (设 一 年 365天 )；v(2)旅

18、 客 下 车 问 题 (电 梯 问 题 )： 一 列 火 车 中 有 n名 旅 客 ， 它 在 N个 站 上 都 停车 ， 旅 客 下 车 的 各 种 可 能 场 合 ， 相 当 于 n个 球 分 到 N个 盒 子 ： 旅 客 ： “ 球 ” ，站 ： “ 盒 子 ” ；v(3)住 房 分 配 问 题 ： n个 人 被 分 配 到 N个 房 间 中 ；v(4)印 刷 错 误 问 题 ： n个 印 刷 错 误 在 一 本 具 有 N页 书 的 一 切 可 能 的 分 布 ， 错误 球 ， 页 盒 子 。 v22v3.分 组 问 题v例 12 30名 学 生 中 有 3名 运 动 员 ， 将 这

19、30名 学 生 平 均 分成 3组 ， 求 ：v（ 1） 每 组 有 一 名 运 动 员 的 概 率 ；v（ 2） 3名 运 动 员 集 中 在 一 个 组 的 概 率 。!10!10!10 !30)( 101010201030 CCCSN 20350)( !9!9!9 !27!3)( SNAP )(3)( 10101020727 SN CCCBP v解 设 A： 每 组 有 一 名 运 动 员 ； B： 3名 运 动 员 集 中 在 一组 v23!. !1 mnn nv一 般 地 ， 把 n个 球 随 机 地 分 成 m组 (nm),要 求 第 i 组 恰v有 ni个 球 (i=1,m)，

20、共 有 分 法 ： v24v4. 随 机 取 数 问 题v例 13 从 1到 200这 200个 自 然 数 中 任 取 一 个 ,v(1)求 取 到 的 数 能 被 6整 除 的 概 率 ；v(2)求 取 到 的 数 能 被 8整 除 的 概 率 ；v(3)求 取 到 的 数 既 能 被 6整 除 也 能 被 8整 除 的 概 率。v解 N(S)=200, vN(3)=200/24=8vN(1)=200/6=33,vN(2)=200/8=25v(1),(2),(3)的 概 率 分 别 为 ：33/200,1/8,1/25 v25v例 14 全 班 有 50个 学 生 ， 问 至 少 有 两

21、人 生 日 相 同的 概 率 为 多 少 ？ （ 设 一 年 有 365天 ） v解 50503653651)( PAP 50365v事 件 总 数 : 5036550365 Pv有 利 场 合 数 :v 概 率 之 大 有 点 出 乎 意 料 . 从 下 表 中 可 以 看 出 , 当 人 数 超 过 23时 ， 打 赌 说 至 少 有 两 人 同 生 日 是 有利 的 . .9704.0 v26v 20 0.411v 21 0.444v 22 0.476v 23 0.507v 24 0.538v 30 0.706v 40 0.891 v 50 0.970v 60 0.994 v有 人 同生

22、 日 的 概率v人 数 v27*二 、 几 何 概 率 模 型v 几 何 概 型 借 助 于 几 何 度 量 确 定 事 件 的 概率 ， 习 惯 上 称 这 种 概 率 为 几 何 概 率 类 似 于 古典 概 型 的 有 限 性 和 等 可 能 性 ， 几 何 概 型 满 足 下述 两 个 特 征 ： v其 几 何 度 量 度 、 面 积 或 体 积 等 ） 大 小 可用v表 示 ； v1随 机 试 验 的 样 本 空间 v充 满 某 个 区 域 ， v28 AP A .v事 件 A的 概 率 为v对 于 几 何 概 型 下 的 任 何 事 件 A， 若 A对 应 于 Av中 的 某 个

23、子 区 域 ， 其 几 何 度 量 可 用 v表 示 ， 则v2任 意 一 点 落 在 v中 任 何 子 区 域 的 概 率 只v与 其 几 何 度 量 有 关 ， 并 与 之 成 正 比 v29v 例 1.12 某 地 铁 车 站 每 隔 5分 钟 有 一 列 车通 过 ， 乘 客 到 达 车 站 的 时 刻 是 随 机 的 ， 求 一 位乘 客 候 车 时 间 不 超 过 3分 钟 的 概 率 v记 A=候 车 时 间 不 超 过 3分 钟 x x , x , , 2 5 2 5AP(A) , 35v则 A v这 里 v和 v分 别 表 示 A和 v的 长 度 v解 设 x为 乘 客 到

24、达 车 站 的 时 刻 ， 则 样 本 空 x| x , . 0 5 0 5v间 v30v 例 1.1 在 区 间 （ 0,1） 中 随 机 地 取 两 个 数 ，求 两 数 之 差 的 绝 对 值 小 于 1/2的 概 率 v1 vA v1v解 设 x， y为 所 取 的 两 个 数 ， 则 样 本 空 间 (x,y)| x,y . 0 1v记 A (x,y)|(x,y) ,|x y| , 12 v31A v这 里 v和 v分 别 表 示 A和 v的 面 积 v则 AP A , 3 4 31 4v（ a为 正 常 数 ） 内 掷 一 点 ， 点 落 在 半 圆 内 任何 区 域 的 概 率 与 该 区 域 的 面 积 成 正 比 ， 求 原点 4 v的 概 率 v例 1.14 随 机 地 向 半 圆 y ax x 20 2v和 该 点 的 连 线 与 轴 的 夹 角 小于 v解 过 原 点 作 线 段 OC， 使 其 与 x轴 的 夹 角 . 4v为 v32v记 图 中 阴 影 部 分 区 域 为 D，v所 求 概 率 为 D a ap .a 2 221 1 1 12 41 22半 圆a a .2 21 12 4v其 面 积 为