微积分基础知识课件.ppt

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1、1 第 0章 基 本 知 识一 、 什 么 是 高 等 数 学 ?初 等 数 学 研 究 对 象 为 常 量 , 以 静 止 观 点 研 究 问 题 .高 等 数 学 研 究 对 象 为 变 量 , 运 动 和 辩 证 法 进 入 了 数 学 .数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成为必要的了. 恩 格 斯 2 1. 分 析 基 础 : 函 数 , 极 限 , 连 续 2. 微 积 分 学 : 一 元 微 积 分 (上 册 )(下 册 )3. 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何4. 无 穷 级 数5.

2、 常 微 分 方 程二 、 主 要 内 容多 元 微 积 分 3 三 、 如 何 学 习 高 等 数 学 ?1. 认 识 高 等 数 学 的 重 要 性 , 培 养 浓 厚 的 学 习 兴 趣 .会 运 用数 学 能 力 。2. 学 数 学 最 好 的 方 式 是 做 数 学 .聪明在于学习 , 天才在于积累 .学而优则用 , 学而优则创 .由薄到厚 , 由厚到薄 .马 克 思 一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 . 华 罗 庚 4 3、 极 限 的 思 维 方 法1） 计 算 圆 的 周 长nnrSn sin2 ,5,4,3n 3S 5S4S 圆 内 接 正 n 边

3、 形O rn)sinlim2 sin lim2 2n n nS nr r rn n 5 T0 x xo xy )(xfyC NM2)切 线 的 斜 率 .)()(limtan 0 00 xx xfxfk xx 6a b x yo3)计 算 曲 边 梯 形 面 积 )(xfy曲 边 梯 形 面 积 为 ini i xfA )(lim 10 71 1 12 4 2n 4)无 穷 级 数 1 1 1lim2 4 2 nn 1 1(1 )2 2lim 111 2 nn 8 具 备 的 数 学 素 质 ： 从 实 际 问 题 抽 象 出 数 学 模 型 的 能 力 计 算 与 分 析 的 能 力 了 解

4、 和 使 用 现 代 数 学 语 言 和 符 号 的 能 力 使 用 数 学 软 件 学 习 和 应 用 数 学 的 能 力 9 一 、 基 本 概 念1.集 合 :具 有 某 种 特 定 性 质 的 对 象 的 全 体 .组 成 集 合 的 事 物 称 为 该 集 合 的 元 素 ., 21 naaaA )( xPxM P（ x)表 示 元 素 具 有 性 质,Ma ,Ma 第 0章 基 本 知 识 10 2.邻 域 : .0, 且是 两 个 实 数与设 a ).,a(U 记 作,叫 做 这 邻 域 的 中 心点 a .叫 做 这 邻 域 的 半 径 xaa a ,邻 域的 去 心 的点 a

5、 .ax0 x),a(U ,)( 邻 域的称 为 点数 集 aaxx 11 二 、 函 数 12 函 数 类 别 ： 显 函 数 y=f(x) 隐 函 数 F(x,y)=0 参 量 函 数 初 等 代 数 函 数 (只 含 代 数 运 算 显 函 数 ） 分 段 表 达 函 数 单 值 函 数 多 值 函 数基 本 初 等 函 数 （ 幂 函 数 ,指 数 函 数 ,对 数 函 数 ,三 角 函 数和 反 三 角 函 数 ） . 13 (1) 符 号 函 数 01 00 01sgn xxxxy 当当当几 个 特 殊 的 函 数 举 例 1 -1 xyo xxx sgn 14 (2) 取 整 函

6、 数 y=xx表 示 不 超 过 的 最 大 整 数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3 xyo阶 梯 曲 线x 15 是 无 理 数 时当 是 有 理 数 时当 xxxDy 01)( 有 理 数 点无 理 数 点 1 xyo(3) 狄 利 克 雷 函 数 16 (4) 取 最 值 函 数 )(),(max xgxfy )(),(min xgxfy y xo )(xf )(xg y xo )(xf )(xg 在 自 变 量 的 不 同 变 化 范 围 中 ,对 应 法 则用 不 同 的 式 子 来 表 示 的 函 数 ,称 为 分 段 函 数 . 17

7、 复 合 函 数 ,uy设 ,1 2xu 21 xy 定 义 : 设 函 数 y=f(u),uU， 函 数 u=(x), x X, 其 值 域为 (X)=uu= (x), xX U， 则 称 函 数 y=f(x)为x的 复 合 函 数 。,自 变 量x ,中 间 变 量u ,因 变 量y代 入 法 18 复 合 函 数 1),( Duufy ,),( Dxxgu 1)( DDg 且则 Dxxgfy ,)(设 有 函 数 链称 为 由 , 确 定 的 复 合 函 数 , 复 合 映 射 的 特 例 u 称 为 中 间 变 量 . 注 意 : 构 成 复 合 函 数 的 条 件 1)( DDg 不

8、 可 少 . 例 如 , 函 数 链 : ,arcsinuy ,12 2xu 函 数 ,12arcsin 2xy Dx ,1 23 1, 23但 函 数 链 22,arcsin xuuy 不 能 构 成 复 合 函 数 .可 定 义 复 合 19 注 :0复 合 函 数 可 以 由 两 个 以 上 的 函 数 经 过 复 合构 成 . ,2cotxy例 如 ,uy ,cotvu .2xv 复 合 函 数,uy设 ,1 2xu 21 xy 代 入 法 20 初 等 函 数定 义 : 由 基 本 初 等 函 数 经 过 有 限 次 四 则 运 算 及 有 限 次 复 合运 算 所 构 成 并 可

9、用 一 个 式 子 表 示 的 显 函 数 ， 称 为 初 等 函 数 。例 ： 不 是 初 等 函 数为 初 等 函 数1sin 2 xey x 1x xy 00 xx 不 是 初 等 函 数nnxaxaay 10 为 初 等 函 数 nnxaxaay 10 ,2xy y 0, xx 0, xx 可 表 为 故 为 初 等 函 数 . 21 双 曲 函 数 与 反 双 曲 函 数2eeshx xx 双 曲 正 弦 chxyshxy),(: D 奇 函 数 .2eechx xx 双 曲 余 弦 ),(: D 偶 函 数 .双 曲 函 数 xey 21 xey 21 22 xx xx ee ee

10、xcoshxsinhthx 双 曲 正 切 奇 函 数 ,),(: D 有 界 函 数 , 23 双 曲 函 数 常 用 公 式 ;chxshyshxchy)yx(sh ;shxshychxchy)yx(ch ;1xshxch 22 ;shxchx2x2sh .xshxchx2ch 22 24 2.反 双 曲 函 数奇 函 数 , ),(: D .),( 内 单 调 增 加在 ;arshxy反 双 曲 正 弦 ).1xxln(arshxy 2 arshxy 25.),1 内 单 调 增 加在 ),1: D y反 双 曲 余 弦 archx).1xxln(archxy 2 archxy 26 .

11、11ln21 xx )1,1(: D奇 函 数 , .)1,1( 内 单 调 增 加在 y反 双 曲 正 切 arthxarthxy tanhar xy 27 三 . 函 数 的 几 种 特 性设 函 数 ,)( Dxxfy 且 有 区 间 .DI (1) 有 界 性 ,Dx , 0 ,A B 使 ( )B f x A 称 )(xf A为 上 界 ， B为 下 界 。 (2) 单 调 性为 有 界 函 数 .当, 21 Ixx 21 xx 时 ,)()( 21 xfxf 若 称 )(xf 为 I 上 的单 调 增 函 数 ; xy 1x 2x,)()( 21 xfxf 若 称 )(xf 为 I

12、 上 的单 调 减 函 数 . 28 xyo xx(3) 奇 偶 性 ,Dx 且 有 ,Dx若 ,)()( xfxf 则 称 f (x) 为 偶 函 数 ;若 ,)()( xfxf 则 称 f (x) 为 奇 函 数 . 说 明 : 若 )(xf 在 x = 0 有 定 义 ,.0)0( f)(xf 为 奇 函 数 时 , 则 当必 有例 如 , 2)( xx eexfy xch 偶 函 数 xyo xexe xy ch双 曲 余 弦 记 29 例 1 判 断 函 数 的 奇 偶 性 .)1ln()( 2xxxfy 解 ： )(1ln()( 2xxxf )()1ln( 2 xfxx f(x)是

13、 奇 函 数 .例 2 设 f(x)在 R上 定 义 ， 证 明 f(x)可 分 解 为 一 个 奇 函 数 与一 个 偶 函 数 的 和 。证 明 ： 设显 然 g(x)是 偶 函 数 ， h(x)是 奇 函 数 ,而 )()()(),()()( xfxfxhxfxfxg 2 )()()( xhxgxf 故 命 题 的 证 . 30 (4) 周 期 性 ,0, lDx 且 ,Dlx )()( xflxf 则 称 )(xf 为 周 期 函 数 , to)(tf 22 x o2 y 2 若称 l 为 周 期 ( 一 般 指 最 小 正 周 期 ).周 期 为 周 期 为 2注 : 周 期 函 数

14、 不 一 定 存 在 最 小 正 周 期 .例 如 , 常 量 函 数 Cxf )(狄 里 克 雷 函 数 )(xf x 为 有 理 数x 为 无 理 数,1,0 31 四 . 反 函 数若 函 数 )(: DfDf 为 单 射 , 则 存 在 逆 映 射DDff )(:1习 惯 上 , Dxxfy ,)( 的 反 函 数 记 成)(,)(1 Dfxxfy 称 此 映 射 1f 为 f 的 反 函 数 .其 反 函 数(减 )(减 ) .1) y f (x) 单 调 递 增 ,)(1 存 在xfy 且 也 单 调 递 增 性 质 : 32 2) 函 数 )(xfy 与 其 反 函 数)(1 x

15、fy 的 图 形 关 于 直 线xy 对 称 .例 如 , ),(, xey x对 数 函 数 ),0(,ln xxy 互 为 反 函 数 ,它 们 都 单 调 递 增 , 其 图 形 关 于 直 线 xy 对 称 . )(xfy )(1 xfy xy ),( abQ ),( baP xyo指 数 函 数 33 例 1 证 明 若 函 数 y = f (x)是 奇 函 数 且 存 在 反 函 数 x = f 1(y), 则 反 函 数 也 是 奇 函 数 。证 明 ： ).()()()( 1111 yfxxffxffyf 反 函 数 是 奇 函 数 。例 2 .01 01)( 2 的 反 函

16、数求 xx xxxf解 : 当 x0时 ,y1, 11 22 yxxy当 x0时 ,y N2 时 , 有2banx 收 敛 数 列 的 极 限 唯 一 . 使 当 n N1 时 , 2ba2ab 2ab假 设b nba x2 23 ab,2abn bx 从 而 2banx 矛 盾 . 因 此 收 敛 数 列 的 极 限 必 唯 一 .则 当 n N 时 , ,max 21 NNN 取 故 假 设 不 真 ! nx 满 足 的 不 等 式 38 azy nnnn limlim)2(两 边 夹 准 则 ),2,1()1( nzxy nnn axnn lim证 : 由 条 件 (2) , ,0 ,1

17、N当 1Nn 时 , ayn当 2Nn 时 , azn令 ,max 21 NNN 则 当 Nn 时 , 有, aya n , aza n由 条 件 (1) nnn zxy a a即 ,axn 故 .lim axnn ,2N 39 两 边 夹 法 则 .若(1) ,(2) lim , lim ,n n nn nn nb a cb A c A lim nn a A 则 ：lim 1( 0)n n a a 证 明 (P7) 40 例 . 证 明 数 列 ),2,1()1( 1 nx nn 是 发 散 的 . 证 : 用 反 证 法 .假 设 数 列 nx 收 敛 , 则 有 唯 一 极 限 a 存

18、在 .取 ,21 则 存 在 N , 2121 axa n但 因 nx 交 替 取 值 1 与 1 , ),( 2121 aa 内 ,而 此 二 数 不 可 能 同 时 落 在21a 21aa长 度 为 1 的 开 区 间 使 当 n N 时 , 有因 此 该 数 列 发 散 . 41 例 (P10) 证 明 若 X2k-1 a,X2k a(k ), 则 数 列 Xn收 敛 于 a。证 ： 对 任 0, K1,当 kK1 时 X2k 落 在 a- ,a+即 满 足 | 2k-a| (1) K2当 kK2时 X2k-1 落 在 a- ,a+即 满 足 | 2k-1-a| (2) 取 N=max2

19、K1,2K2-1, 当 nN,必 有 Xn落 在 a- ,a+即 满 足 | n-a| 42 例 ).12111(lim 222 nnnnn 求解 ,1111 2222 nnnnnnnn nnnn nn 111limlim 2 又 ,122 111lim1lim nnn nn ,1 由 夹 逼 定 理 得.1)12111(lim 222 nnnnn 43 12,1 2,1)2()1(1 knn knxnx nnn例 讨 论 下 列 极 限 ：（ 1） (3） 设 x1=1,xn+1=1+2xn(n=1,2)讨 论 lim nn x1 1 1 1 1 1(4)lim( ) lim lim lim 0n n n nn n n n n n (5) 若 等 比 级 数 lim nn x a 11 limlim 1lim nn nn n nn xx ax x a 44 例 题 1 11. lim ( ) 3 22 n nnn nn 2 2 21 22. lim n nn n n 3. lim ( 1 ) n n n n