方差的性质课件.ppt

《方差的性质课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《方差的性质课件.ppt（36页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1 性 质 1: 若 X=C， C为 常 数 ， 则 Var(X)=0 .B. 方 差 的 性 质性 质 2: 若 b为 常 数 ,随 机 变 量 X的 方 差存 在 , 则 bX的 方 差 存 在 ， 且 Var(bX) = b2Var(X)Var (aX + b ) = a2 Var(X)结 合 性 质 1与 性 质 2就 有 2 若 随 机 变 量 X1, X2, , Xn 的 方 差 都 存在 ， 则 X1+X2+.+Xn的 方 差 存 在 ， 且 性 质 3: ni nj jijini i EXEXXXEXVar 1 11 )()(即 ni nij jijini ini i EXEX

2、XXEXVarXVar 111 )()()( 3 若 随 机 变 量 X1, X2, , Xn相 互 独 立 ，则性 质 4:n 2时 由 于 )()()( 11 nn XVarXVarXXVar Var(XY)= Var(X) +Var(Y) 2E(X-EX)(Y-EY)若 X, Y 独 立 ， 则 Var(XY)= Var(X) +Var(Y) 4注 ： 以 后 若 无 特 殊 说 明 ， 都 认 为 随 机 变量 的 方 差 大 于 0。 性 质 5: 对 任 意 常 数 C, Var(X ) E(X C)2 ,等 号 成 立 当 且 仅 当 C = E(X ).性 质 6: Var(X

3、 ) = 0 P (X = E(X)=1称 X 以 概 率 1 等 于 常 数 E(X). 5 例 1. 设 X B( n , p)，求 Var(X ).解 ： 引 入 随 机 变 量次试验失败。第次试验成功，第iiXi ,0,1故 )1()()( 1 pnpXVarXVar ni i ni iXX 1则 .,2,1),1()( nippXVar i 由 于 相 互 独 立，nXXX , 21 且 6 例 2.标 准 化 随 机 变 量设 随 机 变 量 X 的 期 望 E(X )、方 差 D(X )都 存 在 ,且 D(X ) 0, 则 称 )( )(XD XEXX 为 X 的 标 准 化

4、随 机 变 量 . 显 然，1)(,0)( XDXE 7.1)(1)(1)1( ,)(1)(1)1( 212121 111 nXVarnXVarnXnVar XEnXEnXnE ni ini ini i ni ini ini i 例 3. 设 X1, X2, , Xn相 互 独 立 ， 有 共 同 的 期望 和 方 差 ， 2则 : .1)1(,)1( 211 nXnVarXnE ni ini i 证 明 : 8 例 4.已 知 随 机 变 量 X1,X2,Xn相 互 独 立 ，且 每 个 Xi的 期 望 都 是 0， 方 差 都 是 1， 令Y= X1+X2+Xn . 求 E(Y2).解 ：

5、 由 已 知 ， 则 有 nYDYDYDYD YEYEYEYE nn )()()()( 0)()()()( 21 21 .)()()( 22 nYEYDYE 因 此 ， 9 例 5.设 随 机 变 量 X 和 Y 相 互 独 立 ,且 X N(1,2)，Y N(0,1), 试 求 Z = 2X-Y+3 的 期 望 和 方 差 。由 已 知 ， 有 E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=0, D(Y)=1, 且 X和 Y独 立 。 因 此 ，D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9.E(Z)= 2E(X) E(Y)+3 = 2+3=5, 解 :注 ： 由 此 可 知 Z N(5, 9

6、)。 10 则且相互独立，若,2,1),( 2 niNX iii ., 1 2212211 ni iini iinn CCCNCXCXCXC 的常数。是不全为这里，0C,C,C n21 思 考 ： 为 什 么 ？ 一 般 地 ， 11 C. 两 个 不 等 式 定 理 3.2 (马 尔 可 夫 (Markov)不 等 式 )：对 随 机 变 量 X 和 任 意 的 0， 有 .0,|1| XEXP证 明 : 设 X为 连 续 型 , 密 度 函 数 为 f (x), 则 )|(|)()( )()( )(|)(|)(| XPXPXP dxxfdxxf dxxfxdxxfxdxxfxXE 12上

7、式 常 称 为 切 比 雪 夫 （ Chebyshev） 不 等 式 222 )(|)(|1|)(| XVarXEXEXEXP 在 马 尔 可 夫 不 等 式 中 取 = 2, X 取 为 X-EX 得是 概 率 论 中 的 一 个 基 本 不 等 式 . 13 例 6.已 知 某 种 股 票 每 股 价 格 X的 平 均值 为 1元 ， 标 准 差 为 0.1元 ， 求 a， 使股 价 超 过 1+a元 或 低 于 1-a元 的 概 率 小于 10%。解 ： 由 切 比 雪 夫 不 等 式 201.0)|1(| aaXP 令 1.001.0 2 a1.02 a 32.0a 14 例 7. 在

8、 每 次 试 验 中 ， 事 件 A 发 生 的 概 率 为 0.75, 利 用 切 比 雪 夫 不 等 式 求 ： n 需 要 多 么大 时 ， 才 能 使 得 在 n 次 独 立 重 复 试 验 中 , 事件 A 出 现 的 频 率 在 0.74 0.76之 间 的 概 率 至少 为 0.90?解 :设 X 为 n 次 试 验 中 事 件 A 出 现 的 次 数，的 最 小 的 n . 900760740 .).( nXP则 XB(n, 0.75).而 所 求 为 满 足于 是 E(X)=0.75n, Var(Y)=0.75*0.25n=0.1875n 15 =P(-0.01nX-0.75

9、n 0.01n) 2)01.0( )(1 nXVar = P |X-E(X)| 0.01n 20001.0 1875.01 nn n18751 P(0.74n X0.76n )76.074.0( nXP )76.074.0( nXP 可 改 写 为 在 切 比 雪 夫 不 等 式 中 取 n，则0.01 = P |X-E(X)| 0.01n 16 187509.011875 n解 得依 题 意 ， 取 9.018751 n 即 n 取 18750时 ， 可 以 使 得 在 n 次 独 立 重 复试 验 中 , 事 件 A 出 现 的 频 率 在 0.74 0.76之间 的 概 率 至 少 为

10、0.90 . 17 定 理 3.3 (Cauchy-Schwarz不 等 式 ) 设 EX2 ， EY2 0, Var (Y ) 0 , 称 )()( ),cov()()( )()( YVarXVar YXYVarXVar YEYXEXE 为 X ,Y 的 相 关 系 数 ， 记 为 )()( ),cov( YVarXVar YX XY 事 实 上，),cov( YXXY若 ,0XY 称 X , Y 不 相 关 .无量纲 的量 21 利 用 函 数 的 期 望 或 方 差 计 算 协 方 差q 若 ( X ,Y ) 为 离 散 型，iji j ji pYEyXExYX 1 1 )()(),co

11、v(q 若 ( X ,Y ) 为 连 续 型， dxdyyxfYEyXExYX ),()()(),cov(q )()()(),cov( YEXEXYEYX )()()(21 YDXDYXD 22求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例 8.已 知 X ,Y 的 联 合 分 布 为XYpij 1 010 p 0 0 q 0 p 1p + q = 1解 : 1 0 p qX Y P 23 ,)(,)( ,)(,)( pqYVarpqXVar pYEpXE ,)( pXYE .1)()( ),cov( ,)()()(),cov( YVarXVar YX pq

12、YEXEXYEYX XY 24 例 9. 设 ( X ,Y ) N ( 1, 12,2,22,), 求 XY 解 : dxdyyxfyxYX ),()(),cov( 21 dsdtest ttsty sx 2222 21 1 21)()1(2 122112 令dudteutt tuuts 222 21)1(2221 )(12 令 25 dtetdue tu 222 212)1(222112 21 XY定 理 ： 若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),则 X , Y 相 互 独 立 X , Y 不 相 关因 此 ， 26 例 10.设 U(0, 2), X =cos ,

13、Y =cos( + ), 是 给 定 的 常 数 ， 求 XY . 解 : 其他,20,21)( ttf ,021)cos()( ,021cos)( 20 20 dttYE dttXE 27 cos2121)cos()cos()( 20 dtttXYE cos21),cov( YX ,2121)(cos)( ,2121cos)( 20 22 20 22 dttYE dttXE ,21)( ,21)( YVar XVar cosXY 28 协 方 差 的 性 质q )()()(),cov(),cov( YEXEXYEXYYX q q q q ),cov(),cov( YXabbYaX ),cov

14、(),cov(),cov( ZYZXZYX )(),cov( XVarXX )()(|),cov(| 2 YVarXVarYX 当 且 仅 当 1)()( 0 XEXtYEYP时 ， 等 式 成 立 Cauchy-Schwarz不等式 协 方 差 和 相 关 系 数 的 性 质 29 相 关 系 数 的 性 质q q 1| XY 1| XY Cauchy-Schwarz不等式的等号成立即 Y 与 X 有 线 性 关 系 的 概 率 等 于 1，这 种 线 性 关 系 为 1)( )()( )( XD XEXYD YEYP 30 q 0XY X , Y 不 相 关0),cov( YX )()()

15、( YEXEXYE )()()( YVarXVarYXVar 注 ： X与 Y不 相 关 仅 仅 是 不 线 性 相 关 ， 可 以非 线 性 相 关 。 31 q X,Y 相 互 独 立 X,Y 不 相 关若 X , Y 服 从 二 维 正 态 分 布 ，X,Y 相 互 独 立 X,Y 不 相 关 32 若 X , Y 是 两 个 随 机 变 量 ， 用 X 的 线 性 函 数 去逼 近 Y 所 产 生 的 均 方 误 差 为 2)( baXYE 当 取 )()( )()()()( ,)( )()( ),cov( XEXD YDYEXEaYEb XD YDXD YXa XYXY 使 得 均

16、方 误 差 最 小 . 例 ： 最 小 二 乘 法 的 思 想若 则 线 性 逼 近 无 意 义 。 为 什 么 ？ ,0XY 33 例 11.设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ 解 : ,4)()(,1)()( YVarXVarYEXE 2),cov(,21 YXXY 6),cov(),cov(),cov( YXXXZX 12),cov(2)()( )()( YXYVarXVar YXVarZVar 23122 6 XZ 34 例 12： 设 XN(0,4), YP(2), XY =1/2, 求 E(X+Y)2 .解 :E(X+Y

17、)2 =E(X+Y)2+Var(X+Y)注 意 到 =EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X, Y)把 条 件 代 入 即 得 E(X+Y) 2 = )()(),cov( YVarXVarYX XY由 题 设 知 : EX=0, Var(X)=4, EY=2, Var(Y)=2, XY =1/2, 而 2210 35 设 二 维 随 机 变 量 (X,Y), k , l 为 非 负 整 数 。 mk = E(Xk ) 称 为 X的 k阶 原 点 矩 ， k = E(X-E(X)k 称 为 X的 k 阶 中 心 矩 ， mkl = E(X k Y l ) 称 为 X和 Y的 (

18、k, l )阶 混 合 原点 矩， kl = E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称 为 X和 Y的 (k,l)阶 混 合 中 心 矩 . 显 然 数 学 期 望 为 1阶 原 点 矩 , 方 差 为 2阶 中 心矩 , 而 协 方 差 为 (1,1 )阶 混 合 中 心 矩 .矩 36 例 13.设 X服 从 N(0,1)分 布 ， 求 E(X3),E(X4)。,02)( 233 2 dxexXE x dxexXE x244 22)( dxex x22 223 3 2221)( xexf 解 ： X的 密 度 函 数 为 ：注 ： 此 例 是 128页 4.17的 特 例 。 23 22 xdex