数列不等式的放缩法课件.ppt

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1、“ 放 缩 法 ” 证明 数 列 不 等 式 2 31 1 1 1 1 ( )2 2 2 2n n N求 证 ：例 1 2 31 2 3 2 ( )2 2 2 2nn n N求 证 ：变 式 1 2 31 1 1 1 1 ( )2 1 2 1 2 1 2 1n n N求 证 ：变 式 2 2 31 2 3 2 ( )2 1 2 2 2 3 2nn nn N求 证 ：变 式 3 1 (n ii a k k 为 常 数 ）形（ 一 ） 如 不 等 式 左 边 可 用 等 比 数 列 前 n项 和 公 式 求 和 .分 析 左 边 1 1(1 )2 211 2 n 11 2n 12 31 1 1 1

2、 1 ( )2 2 2 2n n N求 证 ：例 1 表 面 是 证 数 列 不 等 式 ，实 质 是 数 列 求 和 不 等 式 左 边 可 用 “ 错 位 相 减 法 ” 求 和 .分 析 由 错 位 相 减 法 得 22 2nn 22 31 2 3 2 ( )2 2 2 2nn n N求 证 ：变 式 1 表 面 是 证 数 列 不 等 式 ，实 质 是 数 列 求 和2 31 2 32 2 2 2nn 左 边 不 能 直 接 求 和 ， 须 先 将 其 通 项 放 缩 后求 和 ， 如 何 放 缩 ？分 析 2 31 1 1 1 1 ( )2 1 2 1 2 1 2 1n n N求 证

3、 ：变 式 2 将 通 项 放 缩 为等 比 数 列注 意 到 1 12 1 2n n左 边 1 1(1 )2 211 2 n 11 2n 12 31 1 1 12 2 2 2n 左 边 不 能 直 接 求 和 ， 须 先 将 其 通 项 放 缩 后 求和 ， 如 何 放 缩 ？分 析注 意 到 22 2 nn 2 2 31 2 3 2 ( )2 1 2 2 2 3 2nn nn N求 证 ：变 式 3 2 31 2 32 2 2 2nn 左 边 2 2n nn nn 将 通 项 放 缩 为 错位 相 减 模 型 【方法总结之一】 1 1 1 1 1 ( )1 3 320 5 5 7 (2 1

4、)(2 1) 213 ) nn n N求 证 ：( 广 东 文例 2 2 2 21 1 11 2 ( )2 3 nn N求 证 ：变 式 1 2 2 21 1 1 71 ( )2 3 4(2013 ) nn N求 证 ： 广 东 理变 式 2 2 2 21 1 1 51 ( )2 3 3 nn N求 证 ：变 式 3 左 边 可 用 裂 项 相 消 法 求 和 ， 先 求 和 再 放 缩 .分 析 1 1(1 )2 2 1n 121 1 1 1 1 ( )1 3 320 5 5 7 (2 1)(2 1) 213 ) nn n N求 证 ：( 广 东 文例 2 表 面 是 证 数 列 不 等 式

5、 ，实 质 是 数 列 求 和1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 3 3 5 2 1 2 1n n 左 边 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n 左 边 不 能 求 和 ， 应 先 将 通 项 放 缩 为 裂 项 相 消模 型 后 求 和 .分 析 11 1 n 22 ( )n 保 留 第 一 项 ，从 第 二 项 开始 放 缩1 1 1 1 11 (1 ) ( ) ( )2 2 3 1n n 左 边21n 2 2 21 1 11 2 ( )2 3 nn N求 证 ：变 式 1 1( 1)n n 1 1 ( )1 2n n n 当 n = 1

6、时 ， 不 等 式 显 然 也 成 立 . 变 式 2的 结 论 比 变 式 1强 ， 要 达 目 的 ， 须 将变 式 1放 缩 的 “ 度 ” 进 行 修 正 ， 如 何 修 正 ？分 析 2 2 21 1 1 71 ( )2 3 4(2013 ) nn N求 证 ： 广 东 理变 式 2 保 留 前 两 项 ， 从第 三 项 开 始 放 缩思 路 一 21 1( 1)n n n 左 边 1 1 11 4 2 n 7 14 n 374 ( )n 21 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 1n n 1 11n n ( 3)n 将 变 式 1的 通 项 从 第

7、三 项 才 开 始 放 缩 .当 n = 1, 2时 ， 不 等 式 显 然 也 成 立 . 变 式 2的 结 论 比 变 式 1强 ， 要 达 目 的 ， 须 将 变式 1放 缩 的 “ 度 ” 进 行 修 正 ， 如 何 修 正 ？分 析 2 2 21 1 1 7(2013 19 (3) )1 ( )2 3 4 nn N广 东 理 第： 问求 证变 式 2 保 留 第 一 项 ，从 第 二 项 开始 放 缩思 路 二 2 21 1 1n n 左 边 1 1 1 11 (1 )2 2 1n n 1 11 (1 )2 2 274 ( )n 1 1 1 1 1 11 (1 ) ( ) ( )2

8、3 2 4 1 1n n 1 1 1( )2 1 1n n ( 2)n 将 通 项 放 得 比 变 式 1更 小 一 点 .当 n = 1时 ， 不 等 式 显 然 也 成 立 . 变 式 3的 结 论 比 变 式 2更 强 ， 要 达 目 的 ， 须 将变 式 2放 缩 的 “ 度 ” 进 一 步 修 正 ， 如 何 修 正 ？分 析 保 留 前 两 项 ，从 第 三 项 开始 放 缩思 路 一左 边 1 1 1 1 1 11 ( ) 4 2 2 3 1n n 1 1 1 11 ( )4 2 2 3 353 ( )n 21 1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( )2 2 2 4

9、3 5 1 1n n 2 2 21 1 1 51 ( )2 3 3 nn N求 证 ：变 式 3 2 21 1 1n n 1 1 1( )2 1 1n n ( 3)n 将 变 式 2思 路 二 中 通 项 从 第 三 项 才 开 始 放 缩 .当 n = 1, 2时 ， 不 等 式 显 然 也 成 立 . 变 式 3的 结 论 比 变 式 2更 强 ， 要 达 目 的 ， 须 将变 式 2放 缩 的 “ 度 ” 进 一 步 修 正 ， 如 何 修 正 ？分 析 保 留第 一项 ，从 第二 项开 始放 缩思 路 二2 21 1 14n n 左 边 1 11 2( ) 3 2 1n 11 2 3

10、253 ( )n 1 1 1 1 1 11 2 ( ) ( ) ( )3 5 5 7 2 1 2 1n n 1 12( )2 1 2 1n n ( 2)n 将 通 项 放 得 比 变 式 2思 路 二 更 小 一 点 . 2 2 21 1 1 51 ( )2 3 3 nn N求 证 ：变 式 3 244 1n 当 n = 1时 ， 不 等 式 显 然 也 成 立 . 评注 【方法总结之二】 放 缩 法 证 明 与 数 列 求 和 有 关 的 不 等 式 的 过 程中 ， 很 多 时 候 要 “留一手” ， 即 采 用 “有所保留”的 方 法 ，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开

11、始放缩， 这 样 才 不 致 使 结 果 放 得 过大 或 缩 得 过 小 . 牛刀小试（ 变 式 练 习 1） *2 2 21 1 1 51 ( )3 5 (2 1) 4 nn N求 证 ：证 明 21(2 1)n 1 11 (1 )4 n 11 4 254 n 1 1 1 1 1 11 (1 ) ( ) ( )4 2 2 3 1n n 14 ( 1)n n ( 2)n 214 4n n 1 1 1( )4 1n n 左 边当 n = 1时 ， 不 等 式 显 然 也 成 立 . 2 2 3 31 1 1 1 3 ( )3 2 3 2 3 2 3 2 2n n n N求 证 ：变 式 1 2

12、 31 1 1 1 17 ( )3 2 3 2 3 2 3 2 14n n N求 证 ：练 习 . 2 31 1 1 1 5( )2 1 2 1 2 1 2 1 3n n N求 证 ：例 3 2 2 3 1 1 1 7 ( )4 2 4 2 4 2 24n n n N变 求 证 ：式 2 分 析思 路左 边 3 2n n 2 11 1 11 3 3 3n 2 2 3 31 1 1 1 3( )3 2 3 2 3 2 3 2 2n n n N求 证 ：例 3 利 用 指 数 函 数 的 单 调 性 放 缩 为 等 比 模 型 23 1 ( ) 3 n n 123 1 ( ) 3n 13n *11

13、 1 ( )3 2 3n n n n N 11 331 21 3n 分 析左 边 3 2n 21 1 11 (1 )7 3 3n 2 31 1 1 1 17( )3 2 3 2 3 2 3 2 14n n N求 证 ：例 3 变 式 2=3 (1 )3n n 223 (1 )3n 27 3n 21 1 17 3 ( 2)nna n 13 11 (1 )14 3n ( 2)n 保 留 第 一 项 ， 从第 二 项 开 始 放 缩左 边 不 能 直 接 求 和 ， 能 否 仿 照 例 4的 方 法 将 通 项也 放 缩 为 等 比 模 型 后 求 和 ？ 3 171 14 1 ( 2)4 n 当

14、n = 1时 ， 不 等 式 显 然 也 成 立 . 【方法总结之三】 分 析左 边 3 2n 21 1 11 (1 )7 3 3n 2 31 1 1 1 17( )3 2 3 2 3 2 3 2 14n n N求 证 ：例 3 变 式 2=3 (1 )3n n 223 (1 )3n 27 3n 21 1 17 3 ( 2)nna n 13 11 (1 )14 3n ( 2)n 保 留 第 一 项 ， 从第 二 项 开 始 放 缩左 边 不 能 直 接 求 和 ， 能 否 仿 照 例 4的 方 法 将 通 项也 放 缩 为 等 比 模 型 后 求 和 ？ 3 171 14 1 ( 2)4 n

15、当 n = 1时 ， 不 等 式 显 然 也 成 立 . 左 边 3 2n n 0 1 21 1 1 11 5 3 3 3n 2 2 3 31 1 1 1 13( )3 2 3 2 3 2 3 2 10n n n N（ 变求 证牛 刀 小 试： 式 练 习 2） 23 1 ( ) 3n n 223 1 ( ) 3n 25 3n 21 1 13 2 5 3n n n 23 1 131 110 3 10n ( 2)n ( 2)n 当 n = 1时 ， 不 等 式 显 然 也 成 立 . ln2 ln3 ln 12 3 nn n ：3.求 证 *31 1 11 1 1 1 1 3 14 7 3 2 n n Nn 求 证 ：2. 1 3 2 1 1 ( )2 4 2 2 1n nn n N求 证 ：例 4 1. 1n ii a f n 二（ 形 如）