热力学统计物理-第四版-汪志诚-答案-2

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1、第一章热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。解：已知理想气体的物态方程为 （1）由此易得 （2） （3） （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得：如果，试求物态方程。解：以为自变量，物质的物态方程为其全微分为 （1）全式除以，有根据体胀系数和等温压缩系数的定义，可将上式改写为 （2）上式是以为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 （3）若，式（3）可表为 （4）选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体积由最终变到，有即（常量），或 （5）式（5）就是由所给求得的物态

2、方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。1.3 在和1下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量，今使铜块加热至。问：（a）压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100，铜块的体积改变多少？解：（a）根据1.2题式（2），有 （1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差，温度差和压强差之间的关系。如果系统的体积不变，与的关系为 （2）在和可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得 （3）将所给数据代入，可得因此，将铜块由加热到，要使铜块体积保持不变，压强要增强（b）1.2题式（4）可改写为 （4）将所给数据代入，有因此，将铜块由加热至，压强由增加，铜块体积将

3、增加原体积的倍。 1.4 简单固体和液体的体胀系数和等温压缩系数数值都很小，在一定温度范围内可以把和看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为 解: 以为状态参量，物质的物态方程为根据习题1.2式（2），有 （1）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在和可以看作常量的情形下，有 （2）或 （3）考虑到和的数值很小，将指数函数展开，准确到和的线性项，有 （4）如果取，即有 （5）1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解：假设在图中两条绝热线交于点，如图所示。设想一等温线与两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程中

4、，系统在等温过程中从外界吸取热量，而在循环过程中对外做功，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有。这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。1.17 温度为的1kg水与温度为的恒温热源接触后，水温达到。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从升至？已知水的比热容为解：的水与温度为的恒温热源接触后水温升为，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热

5、源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在与之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由升至。在这可逆过程中,水的熵变为 （1）水从升温至所吸收的总热量为为求热源的熵变，可令热源向温度为的另一热源放出热量。在这可逆过程中，热源的熵变为 （2）由于热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为（3） 为使水温从升至而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在与之间的一系列热源吸热。水的熵变仍由式（1）给出。这一系列热源的熵变之和为 （4）参与过程的整

6、个系统的总熵变为 （5）1.18 10A的电流通过一个的电阻器，历时1s。（a）若电阻器保持为室温，试求电阻器的熵增加值。（b）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为，电阻器的质量为10g，比热容为 问电阻器的熵增加值为多少？解：（a）以为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。（b）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热将全部被电阻器吸收而使其温度由升为，所以有故电阻器的熵变可参照1.17例二的方法求出，为1.21 物体的初温，高于热源的温度，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到为止，若热机从

7、物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为其中是物体的熵减少量。解：以和分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求 （1）以分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为（2）热机经历的是循环过程经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零（3）以表示热机从物体吸取的热量，表示热机在热源放出的热量，表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有所以热源的熵变为 （4）将式（2）（4）代入式（1），即有 （5）上式取等号时，热机输出的功最大，故 （6）式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。第二章 均匀物

8、质的热力学性质2.1已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.解：根据题设，气体的压强可表为 （1）式中是体积的函数. 由自由能的全微分得麦氏关系 （2）将式（1）代入，有 （3）由于，故有. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加.2.2设一物质的物态方程具有以下形式：试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： （1）故有 （2）但根据式（2.2.7），有 （3）所以 （4）这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数.2.3求证：解：焓的全微分为 （1

9、）令，得 （2）内能的全微分为 （3）令，得 （4）2.4已知，求证解：对复合函数 （1）求偏导数，有 （2）如果，即有 （3）2.5试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.解：热力学用偏导数描述等压过程中的熵随体积的变化率，用描述等压下温度随体积的变化率. 为求出这两个偏导数的关系，对复合函数 （1）求偏导数，有 （2）因为，所以的正负取决于的正负.式（2）也可以用雅可经行列式证明： （2）2.7实验发现，一气体的压强与体积V的乘积以及内能U都只是温度的函数，即试根据热力学理论讨论该气体的物态方程具有什么形式.解：根据题设，气体具有下述特性： （1）

10、 （2）由式（2.2.7）和式（2），有 （3）而由式（1）可得 （4）将式（4）代入式（3），有或 （5）积分得或 （6）2.8证明并由此导出根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T的函数.解：式（2.2.5）给出 （1）以T，V为状态参量，将上式求对V的偏导数，有 （2）其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）. 由理想气体的物态方程知，在V不变时，是T的线性函数，即所以 这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T的函数. 在恒定温度下将式（2）积分，得 （3）式（3）表明，只要测得系统在体积为时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态

11、方程计算出来. 同理，式（2.2.8）给出 （4）以为状态参量，将上式再求对的偏导数，有 （5） 由理想气体的物态方程知，在不变时是的线性函数，即所以这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T的函数. 在恒定温度下将式（5）积分，得式（6）表明，只要测得系统在压强为时的定压热容量，任意压强下的定压热容量都可根据物态方程计算出来.2.10证明理想气体的摩尔自由能可以表为解：式（2.4.13）和（2.4.14）给出了理想气体的摩尔吉布斯函数作为其自然变量的函数的积分表达式. 本题要求出理想气体的摩尔自由能作为其自然变量的函数的积分表达式. 根据自由能的定义（式（1.18.3），摩尔自由能为 （1）其

12、中和是摩尔内能和摩尔熵. 根据式（1.7.4）和（1.15.2），理想气体的摩尔内能和摩尔熵为 （2） （3）所以 （4）利用分部积分公式令可将式（4）右方头两项合并而将式（4）改写为 （5）第三章 单元系的相变3.1证明下列平衡判据（假设S0）；（a）在不变的情形下，稳定平衡态的最小.（b）在不变的情形下，稳定平衡态的最小.（c）在不变的情形下，稳定平衡态的最小.（d）在不变的情形下，稳定平衡态的最小.（e）在不变的情形下，稳定平衡态的最小.（f）在不变的情形下，稳定平衡态的最小.（g）在不变的情形下，稳定平衡态的最小.解：为了判定在给定的外加约束条件下系统的某状态是否为稳定的平衡状态，设想

13、系统围绕该状态发生各种可能的自发虚变动. 由于不存在自发的可逆变动，根据热力学第二定律的数学表述（式（1.16.4），在虚变动中必有 （1）式中和是虚变动前后系统内能和熵的改变，是虚变动中外界所做的功，是虚变动中与系统交换热量的热源温度. 由于虚变动只涉及无穷小的变化，也等于系统的温度. 下面根据式（1）就各种外加约束条件导出相应的平衡判据.（a） 在不变的情形下，有根据式（1），在虚变动中必有 （2）如果系统达到了为极小的状态，它的内能不可能再减少，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在不变的情形下，稳定平衡态的最小.（b）在不变的情形下，有根据式（1），在虚变动中

14、必有或 （3）如果系统达到了H为极小的状态，它的焓不可能再减少，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在不变的情形下，稳定平衡态的H最小.（c）根据焓的定义和式（1）知在虚变动中必有在H和不变的的情形下，有在虚变动中必有 （4）如果系统达到了为极大的状态，它的熵不可能再增加，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在不变的情形下，稳定平衡态的最大.（d）由自由能的定义和式（1）知在虚变动中必有在和不变的情形下，有故在虚变动中必有 （5）由于，如果系统达到了为极小的状态，它的温度不可能再降低，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因

15、此，在不变的情形下，稳定平衡态的最小. （e）根据吉布斯函数的定义和式（1）知在虚变动中必有在不变的情形下，有故在虚变动中必有 （6）由于，如果系统达到了为极小的状态，它的温度不可能再降低，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在不变的情形下，稳定的平衡态的最小.（f）在不变的情形下，根据式（1）知在虚变动中心有上式表明，在不变的情形下系统发生任何的宏观变化时，外界必做功，即系统的体积必缩小. 如果系统已经达到了为最小的状态，体积不可能再缩小，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在不变的情形下，稳定平衡态的最小.（g）根据自由能的定义和式（1）

16、知在虚变动中必有在不变的情形下，有必有 （8）上式表明，在不变的情形下，系统发生任何宏观的变化时，外界必做功，即系统的体积必缩小. 如果系统已经达到了为最小的状态，体积不可能再缩小，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在不变的情形下，稳定平衡态的最小.3.4求证：（a）（b）解：（a）由自由能的全微分（式（3.2.9） （1）及偏导数求导次序的可交换性，易得 （2）这是开系的一个麦氏关系.（b） 类似地，由吉布斯函数的全微分（式（3.2.2）（3）可得 （4）这也是开系的一个麦氏关系.3.6两相共存时，两相系统的定压热容量，体胀系数和等温压缩系数均趋于无穷，试加以说明

17、.解：我们知道，两相平衡共存时，两相的温度、压强和化学势必须相等.如果在平衡压强下，令两相系统准静态地从外界吸取热量，物质将从比熵较低的相准静态地转移到比熵较高的相，过程中温度保持为平衡温度不变. 两相系统吸取热量而温度不变表明它的（定压）热容量趋于无穷. 在上述过程中两相系统的体积也将发生变化而温度保持不变，说明两相系统的体胀系数也趋于无穷. 如果在平衡温度下，以略高（相差无穷小）于平衡压强的压强准静态地施加于两相系统，物质将准静态地从比容较高的相转移到比容较低的相，使两相系统的体积发生改变. 无穷小的压强导致有限的体积变化说明，两相系统的等温压缩系数也趋于无穷.3.7试证明在相变中物质摩尔

18、内能的变化为如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简. 解：发生相变物质由一相转变到另一相时，其摩尔内能、摩尔焓和摩尔体积的改变满足 （1）平衡相变是在确定的温度和压强下发生的，相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量，即相变潜热L：克拉珀龙方程（式（3.4.6）给出 （3）即 （4）将式（2）和式（4）代入（1），即有 （5）如果一相是气体，可以看作理想气体，另一相是凝聚相，其摩尔体积远小于气相的摩尔体积，则克拉珀龙方程简化为 （6）式（5）简化为 （7）3.9以表示在维持相与相两相平衡的条件下相物质升高1K所吸收的热量，称为相的两相平衡摩尔热容量，试证明：如果相

19、是蒸气，可看作理想气体，相是凝聚相，上式可简化为并说明为什么饱和蒸气的热容量有可能是负的.解：根据式（1.14.4），在维持相与相两相平衡的条件下，使相物质温度升高1K所吸收的热量为 （1）式（2.2.8）和（2.2.4）给出 （2）代入式（1）可得 （3）将克拉珀龙方程代入，可将式（3）表为 （4）如果相是气相，可看作理想气体，相是凝聚相，在式（4）中略去，且令，式（4）可简化为 （5）是饱和蒸气的热容量. 由式（5）可知，当时，是负的.3.10试证明，相变潜热随温度的变化率为如果相是气相，相是凝聚相，试证明上式可简化为 解: 物质在平衡相变中由相转变为相时，相变潜热L等于两相摩尔焓之差：

20、（1）相变潜热随温度的变化率为 （2）式（2.2.8）和（2.2.10）给出 （3）所以将式中的用克拉珀龙方程（3.4.6）代入，可得 （4）这是相变潜热随温度变化的公式.如果相是气相，相是凝聚相，略去和，并利用，可将式（4）简化为 （5）3.13将范氏气体在不同温度下的等温线的极大点N与极小点J联起来，可以得到一条曲线NCJ，如图所示. 试证明这条曲线的方程为并说明这条曲线划分出来的三个区域、的含义.解：范氏方程为 （1）求偏导数得 （3）等温线的极大点N与极小点J满足即或 （3）将式（3）与式（1）联立，即有或 （4）式（4）就是曲线NCJ的方程.图中区域中的状态相应于过热液体；区域中的状态相应于过饱和蒸气；区域中的状态是不能实现的，因为这些状态的，不满足平衡稳定性的要求.3.15证明在曲面分界面的情形下，相变潜热仍可表为解：以指标和表示两相. 在曲面分界的情形下，热平衡条件仍为两相的温度相等，即 （1）当物质在平衡温度下从相转变到相时，根据式（1.14.4），相变潜热为 （2） 相平衡条件是两相的化学势相等，即 （3）根据化学势的定义式（3）可表为因此 （4）15