西安交通大学 王瑞敏 chap12 气体动理论

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1、理学院理学院 王瑞敏王瑞敏第第1212章章 气体动理论气体动理论吸附在铂表面的碘原子吸附在铂表面的碘原子3 33 3阵列图阵列图12.1 分子运动的基本概念分子运动的基本概念分子运动的基本观点分子运动的基本观点1.宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在 一定的空隙一定的空隙2.分子在永不停息地作无序热运动分子在永不停息地作无序热运动(1)气体、液体、固体的扩散气体、液体、固体的扩散水和墨水的混合水和墨水的混合 相互压紧的金属板相互压紧的金属板例如：例如：(1)1cm3的空气中包含有的空气中包含有2.71019 个分子个分子(2)

2、水和酒精的混合水和酒精的混合例如：例如：(2)布朗运动布朗运动ABC3.分子间存在相互作用力分子间存在相互作用力 假定分子间的相互作用力有球对称性时假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作，分子间的相互作用用(分子力分子力)可近似地表示为可近似地表示为(布布朗朗运运动动)、式中式中r 表示两个分子中心的距离，表示两个分子中心的距离，、s、t 都是都是正数，其值由实验确定。正数，其值由实验确定。斥力斥力引力引力(分子力与分子间距离的关系分子力与分子间距离的关系)分子力表现为斥力分子力表现为斥力 分子力表现为引力分子力表现为引力 由由分子力与分子间距离关系分子力与分子间距离关系得得(平衡

3、位置平衡位置)一切宏观物体都是由一切宏观物体都是由大量分子大量分子组成的，分子都在组成的，分子都在永不停息地永不停息地作无序热运动，分子之间有作无序热运动，分子之间有相互作用相互作用的分子力。的分子力。结论结论12.2 气体分子的热运动气体分子的热运动气体分子运动的规律气体分子运动的规律1.气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动(1)由于气体分子由于气体分子间间距离很大，而分子力的作用范距离很大，而分子力的作用范围围又很小，又很小，除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间间外，气体分外，气体分 子子间间相互

4、作用的分子力是极其微小的相互作用的分子力是极其微小的。(2)由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可 以忽略以忽略。2.气体分子间的相互碰撞是非常频繁的气体分子间的相互碰撞是非常频繁的 一秒内一个分子和其它分子一秒内一个分子和其它分子大约大约要碰撞几十要碰撞几十亿亿次次(10109 9次次/秒秒)3.气体分子热运动服从统计规律气体分子热运动服从统计规律（气体分子特点：小、多、快、乱）（气体分子特点：小、多、快、乱）12.3 统计规律的特征统计规律的特征一一.伽耳顿板实验伽耳顿板实验 若无小钉：若无小钉：必然事件必然事件若有小钉：若有小钉：

5、偶然事件偶然事件一个小球落在哪里有偶然性一个小球落在哪里有偶然性实验现象实验现象少量小球的分布每次不同少量小球的分布每次不同大量小球的分布近似相同大量小球的分布近似相同(1)统计规律是统计规律是大量大量偶然事件的偶然事件的总体总体所遵从的规律所遵从的规律 (2)统计规律和统计规律和涨落涨落现象是分不开的。现象是分不开的。结论结论 二二.统计的方法统计的方法物理量物理量M 的统计平均值的统计平均值 状态状态A 的概率的概率 归一化条件归一化条件 例如例如平衡态下气体分子速度分量的平衡态下气体分子速度分量的统计统计平均值平均值为为气体气体处处于于平衡状平衡状态态时时，气体分子沿各个方向运，气体分子

6、沿各个方向运动动的概率的概率相等，故有相等，故有 由统计平均的概念得由统计平均的概念得由于气体由于气体处处于于平衡状平衡状态态时时，气体分子沿各个方向运，气体分子沿各个方向运动动的概的概率相等，故有率相等，故有 例如例如平衡态下气体分子速度分量平方的平衡态下气体分子速度分量平方的统计统计平均值为平均值为 由统计平均的概念得由统计平均的概念得12.4 理想气体的压强理想气体的压强公式公式一一.理想气体的微观模型理想气体的微观模型(1)不考虑分子的内部结构并不考虑分子的内部结构并忽略其大小忽略其大小(2)分子力的作用距离很短，可以认为气体分子之间除了分子力的作用距离很短，可以认为气体分子之间除了

7、碰撞的一瞬间外，其相互作用力可忽略不计。碰撞的一瞬间外，其相互作用力可忽略不计。(3)碰撞为完全弹性碰撞为完全弹性 理想气体分子理想气体分子好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没有相互作用的弹性球。有相互作用的弹性球。二二.平衡态气体分子的统计性假设平衡态气体分子的统计性假设1.每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化2.分子按位置的均匀分布分子按位置的均匀分布（重力不计）（重力不计）在忽略重力情况下，分子在各处出现的概率相同在忽略重力情况下，分子在各处出现的概率相同,容器内容器内各处的分子数密度

8、相同各处的分子数密度相同 3.分子速度按方向的分布均匀分子速度按方向的分布均匀 由于碰撞由于碰撞,分子向各方向运动的概率相同，所以分子向各方向运动的概率相同，所以 三三.理想气体的压强公式理想气体的压强公式气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁以力气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁以力的作用所引起的。的作用所引起的。例例:雨点对伞的持续作用雨点对伞的持续作用1.从气体分子运动看气体压强的形成从气体分子运动看气体压强的形成压强是气体分子每单位时间内与器壁碰撞时作用在器壁单压强是气体分子每单位时间内与器壁碰撞时作用在器壁单位面积上的总冲量位面积上的总冲量.zyyzxO2.理想气

9、体的压强公式理想气体的压强公式设设体积为体积为V 的容器的容器,内贮内贮分子总数分子总数 N，分子质量分子质量，分子，分子数密度数密度 n 的平衡态的平衡态的理想气体的理想气体速度为速度为 的分子的分子数数 ,分子数密分子数密度度 在在dt 时间内，速度为时间内，速度为vi 的分子与的分子与 面元面元dA 碰撞碰撞的分子数为的分子数为 碰撞前动量：碰撞前动量：碰撞后动量：碰撞后动量：冲量：冲量：对对器壁的冲量器壁的冲量 总作用力总作用力 由于由于得得求压强求压强统计平均值统计平均值分子平均分子平均平动动能平动动能(1)压强压强 p 是一个统计平均量。是一个统计平均量。它反映的是它反映的是宏观量

10、宏观量 p 和微和微 观量观量n、的关系的关系。宏观压强的统计意义宏观压强的统计意义(3)压强公式无法用实验直接验证压强公式无法用实验直接验证(2)对大量分子，压强才有意义。对大量分子，压强才有意义。一一.分布的概念分布的概念气体系统是由大量分子组成，气体系统是由大量分子组成，而各分子的速率通过碰撞而各分子的速率通过碰撞不断地改变，不断地改变，不可能逐个加以描述不可能逐个加以描述,只能给出分子数按只能给出分子数按速率的分布。速率的分布。问题的提出问题的提出分布的概念分布的概念例如学生人数按年龄的分布例如学生人数按年龄的分布 年龄年龄 15 16 17 18 19 20 2122 人数按年龄人数

11、按年龄 的分布的分布 2000 3000 4000 1000 人数比率按人数比率按 年龄的分布年龄的分布 20%30%40%10%12.5 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 速率速率v1 v2 v2 v3 vi vi+v 分子数按速率分子数按速率 的分布的分布 N1 N2 Ni 分子数比率分子数比率按速率的分布按速率的分布N1/N N2/N Ni/N 例如气体分子按速率的分布例如气体分子按速率的分布 Ni 就是就是分子数按速率的分布分子数按速率的分布二二.速率分布函数速率分布函数 f(v)设某系统处于平衡态下，设某系统处于平衡态下，总分子数为总分子数为 N ，则在则在vv+dv 区区间

12、内分子数的比率为间内分子数的比率为f(v)称为称为速率分布函数速率分布函数意义：意义：分布在速率分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的比率。分子数的比率。三三.麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律理想气体在理想气体在平衡态平衡态下分子的速率分布函数下分子的速率分布函数式中式中为分子质量，为分子质量，T 为气体热力学温度，为气体热力学温度，k 为玻耳兹曼为玻耳兹曼常量常量k=1.3810-23 J/K1.麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律(麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数)理想气体在理想气体在平衡态平衡态下，气体中分子速率在下，气体中

13、分子速率在vv+dv 区间区间内的分子数与总分子数的比率为内的分子数与总分子数的比率为这一规律称为这一规律称为麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律2.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线f(v)vO(速率分布曲线速率分布曲线)由图可见，气体中速率小、由图可见，气体中速率小、速率很大的分子数都很少。速率很大的分子数都很少。v vdv T在在dv 间隔内间隔内,曲线下的面曲线下的面积表示积表示速率分布速率分布在在vv+dv 中的中的分子数与总分子数分子数与总分子数的比率的比率曲线下面的总面积，等于曲线下面的总面积，等于分布在整个速率范围内所分布在整个速率范围内所有各个速率间隔中的分数有各个

14、速率间隔中的分数与总分子数的比率的总和与总分子数的比率的总和 最概然速率最概然速率v p f(v)出现极大值时出现极大值时,所对应的速率称为所对应的速率称为最概然速率最概然速率 (归归一一化条件化条件)(速率分布曲线速率分布曲线)vOTf(v)在在v1v2 区间内区间内,曲线下的面积表示曲线下的面积表示速率分布在速率分布在v1v2 之间之间的的分子数与总分子数的比率分子数与总分子数的比率v1v2说明说明(1)从统计的概念来讲速率从统计的概念来讲速率恰好恰好等于某一值的分子数多少，等于某一值的分子数多少，没有意义。没有意义。(2)麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体对

15、处于平衡态下的混合气体各各 组分组分分别适用。分别适用。(3)在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能分布能很好的符合很好的符合;在密度大的情况下就在密度大的情况下就不符合不符合了。了。例例 说明下列各式的物理意义说明下列各式的物理意义四四.气体速率分布的实验测定气体速率分布的实验测定1.实验装置实验装置(1)1924年斯特恩首次进行了银蒸气分子速率分布的测量；年斯特恩首次进行了银蒸气分子速率分布的测量；(2)1934年葛正权进行了铋蒸气分子速率分布的测量；年葛正权进行了铋蒸气分子速率分布的测量；(3)1956年密勒和库什进行了钍

16、蒸气分子速率分布的测量；年密勒和库什进行了钍蒸气分子速率分布的测量；密勒和库什实验装置密勒和库什实验装置葛正权实验装置葛正权实验装置2.测量原理测量原理(1)能通过细槽到达检测器能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件的分子所满足的条件(2)通过改变角速度通过改变角速度的大小，的大小，选择速率选择速率v (3)通过改变细槽的宽度，选通过改变细槽的宽度，选(4)择不同的速率区间择不同的速率区间(4)沉积在检测器上金属层厚度正比于相应速率的分子数沉积在检测器上金属层厚度正比于相应速率的分子数 进入探测器的分子射线强度正比于相应速率的分子数进入探测器的分子射线强度正比于相应速率的分子数 五五.分

17、子速率的三种统计平均值分子速率的三种统计平均值 1.平均速率平均速率式中式中M 为气体的摩尔质量，为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量为摩尔气体常量 问题：问题：是否表示是否表示在在v1 v2 区间内的平均速率区间内的平均速率？3.最概然速率最概然速率 2.方均根速率方均根速率T(1)一般三种速率一般三种速率用途用途各各 不相同不相同 讨论分子的讨论分子的碰撞次数碰撞次数用用说明说明讨论分子的讨论分子的平均平动动平均平动动能能用用讨论讨论速率分布速率分布一般用一般用f(v)vO(2)同一种气体分子的三种速率的大小关系同一种气体分子的三种速率的大小关系:M 一定一定,T 越大越大,这时曲线向右移

18、动这时曲线向右移动 T 一定一定,M 越大越大,这时曲线向左移动这时曲线向左移动 越大越大,v p 越小越小,T1f(v)vOT2(T1)M1f(v)vOM2(M1)由于曲线下的面积不变由于曲线下的面积不变,由此由此可见可见 不同气体不同气体,不同温度下的不同温度下的速率分布曲线的关系速率分布曲线的关系五五.气体分子按平动动能的分布规律气体分子按平动动能的分布规律麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在k k+k 区间内的分子数与总分子数的比率。区间内的分子数与总分子数的比率。意义：意义：代入上式得代入上式得思考思考最

19、概然平动动能是否最概然平动动能是否等于等于最概然速率所对应的平动最概然速率所对应的平动动能动能?两边微分两边微分氦气的速率分布曲线如图所示氦气的速率分布曲线如图所示.解解例例求求(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率O(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，(2)有有N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为(1)作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a(2)速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子数的粒子数解解例例求求(1)由归一化条件得由归一化条件得

20、O因为速率分布曲线下的面积代表一定速因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分与总分子数的比率，所以率区间内的分与总分子数的比率，所以因此，因此，vv0 的分子数为的分子数为(2N/3)同理同理 v 1(自动进行自动进行)孤立系统孤立系统熵的单位熵的单位(等号仅适用于可逆过程等号仅适用于可逆过程)孤立系统的熵永不会减少。这一结论称为孤立系统的熵永不会减少。这一结论称为熵增原理熵增原理从从状态状态(1)变化到变化到状态状态(2)的过程中，的过程中，熵熵的增量为的增量为说明说明(5)熵增原理只能应用于孤立系统熵增原理只能应用于孤立系统(1)熵是系统内熵是系统内 分子热运动的无序性的一种量度分子

21、热运动的无序性的一种量度(2)熵是系统失去信息的量度熵是系统失去信息的量度(3)熵是状态量熵是状态量(4)熵熵是一个宏观量是一个宏观量，对大量的分子才有意义对大量的分子才有意义非非孤立系统：孤立系统：系统内部系统内部熵熵产生产生外界外界熵流熵流当当以以等温自由膨胀为例：等温自由膨胀为例：摩尔气体中共有摩尔气体中共有N 个分子，个分子，体积体积把把空间分为许多小体积空间分为许多小体积n个小体积个小体积每个分子有每个分子有n个微观态个微观态个小体积个小体积个微观态个微观态每个分子有每个分子有3.熵的宏观表示熵的宏观表示N个分子微观态增大个分子微观态增大等温过程气体吸收热量等温过程气体吸收热量对于系

22、统从对于系统从状态状态(1)变化到变化到状态状态(2)的有限可逆过程来说，的有限可逆过程来说，则熵的增量为则熵的增量为 说明说明对于可逆过程可以直接使用上式计算熵变对于可逆过程可以直接使用上式计算熵变对于不可逆过程对于不可逆过程，欲计算熵变欲计算熵变必须设计一条连接必须设计一条连接状态状态(1)与与状态状态(2)的可逆过程。的可逆过程。在无限小的可逆过程中，在无限小的可逆过程中，求理想气体的熵函数求理想气体的熵函数设系统的初始状态参量为设系统的初始状态参量为 (p1,V1,T1,S0 )末状态参量为末状态参量为 (p,V,T,S )例例解解选任一选任一可逆过程可逆过程，则末始两状态的熵增量为则

23、末始两状态的熵增量为2.压强公式压强公式3.温度的统计意义温度的统计意义4.麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布气体动理论气体动理论1.分子运动论分子运动论理想气体微观模型理想气体微观模型5.玻耳兹曼能量分布玻耳兹曼能量分布6.能量均分定理能量均分定理7.平均碰撞频率平均碰撞频率平均自由程平均自由程8.熵、熵增原理熵、熵增原理例例解解求求两个完全一样的物体，初始温度各为两个完全一样的物体，初始温度各为且且一热机工作于两物之间，热机从高温物体吸收热量放给低一热机工作于两物之间，热机从高温物体吸收热量放给低温物体，最终使两物温度都为温物体，最终使两物温度都为T，热机停止工作。设吸放，热机停止工作。设吸放热都在等压下进行，热都在等压下进行，为常数为常数 （1）热机对外作的总功）热机对外作的总功（2）证明热机的功满足）证明热机的功满足(1)从高温物体吸热从高温物体吸热向低温物体放热向低温物体放热对外作功对外作功(2)高温物熵变高温物熵变低温物熵变低温物熵变系统总熵变系统总熵变