131辗转相除法与更相减损术

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1、1.3 1.3 算法案例算法案例 第一课时第一课时 问题提出问题提出 1.1.研究一个实际问题的算法，主要从研究一个实际问题的算法，主要从算法步骤、程序框图和编写程序三方面算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开展开.在程序框图中算法的基本逻辑结构在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？在程序设计中基本的算法语有哪几种？在程序设计中基本的算法语句有哪几种？句有哪几种？2.2.“求两个正整数的最大公约数求两个正整数的最大公约数”是数学中的一个基础性问题，它有各种是数学中的一个基础性问题，它有各种解决办法，我们以此为案例，对该问题解决办法，我们以此为案例，对该问题的算法作一些探究的算法作一些探究.一

2、、辗转相除法一、辗转相除法思考思考1:1:1818与与3030的最大公约数是多少？的最大公约数是多少？先用两个数公有的质因数连续去除，先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公后把所有的除数连乘起来即为最大公约数约数.思考思考2:2:求求8251与与6105这两个数最大公约这两个数最大公约数？数？对于对于82518251与与61056105这两个数，由于其公有这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难约数就比较困难.注意到注意到8251=610582

3、51=61051+21461+2146，那么，那么82518251与与61056105这两个数的公约数和这两个数的公约数和61056105与与21462146的的公约数相同。公约数相同。又又6105=21466105=21462+18132+1813，同理，同理，61056105与与21462146的公约数和的公约数和21462146与与18131813的公约数相的公约数相等等.重复上述操作，你能得到重复上述操作，你能得到82518251与与61056105这两个数的最大公约数吗？这两个数的最大公约数吗？21462146=181318131+1+333333，148148=37374+0.4+

4、0.333333=1481482+2+3737，18131813=3333335+5+148148，8251=8251=610561051+1+21462146，61056105=214621462+2+18131813，辗转相除法辗转相除法:上述求两个正整数的最大公上述求两个正整数的最大公约数的方法称为约数的方法称为辗转相除法辗转相除法或或欧几里得欧几里得算法算法.一般地，用辗转相除法求两个正整一般地，用辗转相除法求两个正整数数m m，n n的最大公约数，可以用什么逻辑的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？算法步骤如何设计？结构来构造算法？算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数第一步

5、，给定两个正整数m m，n.n.第二步，第二步，r=m MOD n.r=m MOD n.第三步，第三步，m=nm=n，n=r.n=r.第四步，若第四步，若r=0r=0，则，则m m，n n的最大公约数等的最大公约数等 于于m m；否则，返回第二步；否则，返回第二步.该算法的程序框图该算法的程序框图开始开始输入输入m，nr=m MOD nm=nn=rr=0？是是输出输出m结束结束否否该程序框图对应的程序该程序框图对应的程序INPUT mINPUT m，n nDODOr=m MOD nr=m MOD nm=nm=nn=rn=rLOOP UNTILLOOP UNTIL r=0r=0PRINT mPR

6、INT mENDEND开始开始输入输入m，n求求m除以除以n的余数的余数rm=nn=rr=0？是是输出输出m结束结束否否思考思考3:3:用当型循环结构构造算法，辗转用当型循环结构构造算法，辗转相除法求两个正整数相除法求两个正整数m m，n n的最大公约数的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？的程序框图和程序分别如何表示？开始开始输入输入m，n求求m除以除以n的余数的余数rm=nn0？否否输出输出m结束结束是是n=rINPUT mINPUT m，n nWHILEWHILE n n0 0r=m MOD nr=m MOD nm=nm=nn=rn=rWENDWENDPRINT mPRINT mEN

7、DEND二、更相减损术二、更相减损术 阅读课本阅读课本3636页第一段页第一段 上述求两个正整数的最大公约数的方上述求两个正整数的最大公约数的方法称为法称为更相减损术。更相减损术。其算法步骤如下：其算法步骤如下：例例1 1、求、求9898与与6363的最大公约数的最大公约数.98-63=3598-63=35，14-7=7.14-7=7.21-7=1421-7=14，28-7=2128-7=21，35-28=735-28=7，63-35=2863-35=28，理论迁移理论迁移 例例2 2、分别用辗转相除法和更相减分别用辗转相除法和更相减损术求损术求168168与与9393的最大公约数的最大公约数

8、.辗转相除法：辗转相除法：168=93168=931+751+75，93=7593=751+181+18，75=1875=184+34+3，18=318=36.6.更相减损术更相减损术:168-93=75:168-93=75，93-75=1893-75=18，75-18=5775-18=57，57-18=3957-18=39，39-18=2139-18=21，21-18=321-18=3，18-3=1518-3=15，15-3=1215-3=12，12-3=912-3=9，9-3=69-3=6，6-3=3.6-3=3.例例3 3、求求325325，130130，270270三个数的最三个数的最

9、大公约数大公约数.因为因为325=130325=1302+652+65，130=65130=652 2，所以所以325325与与130130的最大公约数是的最大公约数是65.65.因为因为270=65270=654+104+10，65=1065=106+56+5，10=510=52 2，所以所以6565与与270270最大公约数是最大公约数是5.5.故故325325，130130，270270三个数的最大公约三个数的最大公约数是数是5.5.1.1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，

10、则将余数和较小的数构成新的一对数，零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数数.小结作业小结作业 2.2.更相减损术，就是对于给定的两个正更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数数即为原来两个数的最大公约数.作业：作业：P45P45练习：练习：1.1.P48P48习题习题1.3A1.3A组：组：1.1.