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1、中南大学线性代数中南大学线性代数4.1-4.1-4.24.2特征值与特征向量特征值与特征向量证明证明定义定义定理定理一、正交矩阵与正交变换 方阵方阵 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列的列（行）向量组是（行）向量组是正交的正交的单位向量组单位向量组说明：说明：由上述定理可知：性质性质 正交变换保持向量的内积正交变换保持向量的内积 长度及夹角不变长度及夹角不变证明证明定义定义 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正交称为正交变换，即变换，即正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：说明说明二、特征值与特征向量例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的
2、属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得证明：证明：证明证明则则即即类推之，有类推之，有三、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值可以对应无穷多个特征向量；而言的，一个特征值可以对应无穷多个特征向量；但是一个特征向量只能属于一个特征值但是一个特征向量只能属于一个特征值例例1 1 解解例例2 2 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解得基础解系为：得基础解系为：解解方法一方法一方法二方法二方法三方法三例例4 4 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为解解1 1 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：四、小结2.2.正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：3.求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：思考题解解结束结束
中南大学线性代数4.14.2特征值与特征向量培训资料
