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1、函数的凹凸性,极值定义定义2判别可微函数的凸凹性主要是对判别可微函数的凸凹性主要是对进行比较进行比较.有什么公式能把以上的函数值与函数的有什么公式能把以上的函数值与函数的二阶导数二阶导数联系在一起呢联系在一起呢?泰勒泰勒公式公式分析分析6(1)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的;(2)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的.证证:两式相加两式相加说明说明(1)成立成立;(2)设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数利用函数在利用函数在 一阶泰勒公式可得一阶泰勒公式可得定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)7例例2 2解解8例例3 3证证9拐点拐点1
2、0五、曲线的拐点及其求法五、曲线的拐点及其求法1.1.定义定义2.2.拐点的求法拐点的求法证证11方法方法1:1:拐点的求法拐点的求法12例例4 4解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点13方法方法2:2:想一想为什么？想一想为什么？14例例5 5解解15例例6 6解解注意注意:1617例例7 7解解18练习练习凹区间：凹区间：凸区间：凸区间：拐点：拐点：19第三章第三章 微分中值定微分中值定理与导数的应用理与导数的应用第五节第五节 函数的极值与最大函数的极值与最大,最最 小值小值20定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极
3、值的点称为极值点极值点.一、函数极值的定义一、函数极值的定义2122是函数是函数可能可能取得极值的点。取得极值的点。一阶导数为零的点一阶导数为零的点通过观察以上的图形通过观察以上的图形:一阶导数不存在的点一阶导数不存在的点函数不连续的点函数不连续的点23二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,24极值可疑点极值可疑点25首先考察下列函数的图形:26通过观察以上的图形可以看出通过观察以上的图形可以看出:判别函数的极值点判别函数的极值点,主要是主要是判别极值可疑点左、右判别极值可疑点左、右对于可导函数将归结于对于可导函数将归结于判别函数的导
4、数的符号判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性两侧函数的单调性.27定理定理2 2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)28求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)29例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值30泰勒公式泰勒公式31看这一部分看这一部分32当当 充分接近充分接近 时时,上式左端正负号由右端第一项确定上式左端正负号由右端第一项确定,33定理定理3 3(第二充分条件第二充分条件)证证取得极大值取得极大值取得极小值取得极小值34例例2 2解解35定理定理3失效失效例例3 3解解36说明：说明：为什么？为什么？37就是说：就是说：38定
5、理定理3 3(第二充分条件第二充分条件)的推广的推广39例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.40小结小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)41试问试问 为何值时为何值时,在在时取得极值时取得极值,还是极小还是极小.解答解答:由题意应有由题意应有又取得极大值为取得极大值为练习练习求出该极值求出该极值,并指出它是极大并指出它是极大42结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！43
函数的凹凸性极值教学提纲
