高数多元函数微分学-多元函数的极值

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1、1 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 播 放 一 、 极 值 第 六 节 多 元 函 数 的 极 值 2 设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 的 某 邻 域 内有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ),( 00 yx 的 点 ),( yx ： 若 满 足 不 等 式 ),(),( 00 yxfyxf ， 则 称 函 数在 ),( 00 yx 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),( 00 yxfyxf ， 则 称 函 数 在 ),( 00 yx 有 极小 值 ； 1、 二 元 函 数 极 值 的 定 义 极 大 值 、 极 小

2、 值 统 称 为 极 值 .使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 . 3 定 理 1（ 必 要 条 件 ）设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 具 有 偏 导 数 ， 且 在 点 ),( 00 yx 处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必然 为 零 ： 0),( 00 yxfx ， 0),( 00 yxfy . 2、 多 元 函 数 取 得 极 值 的 条 件 不 妨 设 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 处 有 极 大 值 ,则 对 于 ),( 00 yx 的 某 邻 域 内 任 意),( yx ),( 00 yx 都 有

3、 ),( yxf ),( 00 yxf , 证 4 故 当 0yy ， 0 xx 时 ， 有 ),( 0yxf ),( 00 yxf ,说 明 一 元 函 数 ),( 0yxf 在 0 xx 处 有 极 大 值 , 必 有 0),( 00 yxfx ;类 似 地 可 证 0),( 00 yxfy . 推 广 如 果 三 元 函 数 ),( zyxfu 在 点 ),( 000 zyxP具 有 偏 导 数 ， 则 它 在 ),( 000 zyxP 有 极 值 的 必 要 条 件 为 0),( 000 zyxfx ， 0),( 000 zyxfy ， 0),( 000 zyxfz . 5例 如 ,

4、点 )0,0( 是 函 数 xyz 的 驻 点 ， 但 不 是 极 值 点 . 仿 照 一 元 函 数 ， 凡 能 使 一 阶 偏 导 数 同 时 为 零的 点 ， 均 称 为 函 数 的 驻 点 .驻 点 极 值 点问 题 ： 如 何 判 定 一 个 驻 点 是 否 为 极 值 点 ？ 定 理 2（ 充 分 条 件 ）设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 的 某 邻 域 内 连 续 ， 有 一 阶 及 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 注 意 ： 6 又 0),( 00 yxfx , 0),( 00 yxfy ， 令 Ayxfxx ),( 00 ， Byxfxy ),( 0

5、0 ， Cyxfyy ),( 00 ， 则 ),( yxf 在 点 ),( 00 yx 处 是 否 取 得 极 值 的 条 件 如 下 ： （ 1） 02 BAC 时 具 有 极 值 ， 当 0A 时 有 极 大 值 ， 当 0A 时 有 极 小 值 ； （ 2） 02 BAC 时 没 有 极 值 ； （ 3） 02 BAC 时 可 能 有 极 值 ,也 可 能 没 有 极 值 ， 还 需 另 作 讨 论 7 例 1 求 由 方 程 yxzyx 22222 0104 z 确 定 的 函 数 ),( yxfz 的 极 值 将 方 程 两 边 分 别 对 yx, 求 偏 导 04222 04222

6、 yy xx zzzy zzzx 由 函 数 取 极 值 的 必 要 条 件 知 , 驻 点 为 )1,1( P ,将 上 方 程 组 再 分 别 对 yx, 求 偏 导 数 , 解 8 ,2 1|,0|,2 1| zzCzBzzA PyyPxyPxx 故 )2(0)2( 1 22 zzACB ,函 数 在 P有 极 值 . 将 )1,1( P 代 入 原 方 程 , 有 6,2 21 zz ,当 21 z 时 ， 041 A , 所 以 2)1,1( fz 为 极 小 值 ；当 62 z 时 ， 041 A , 所 以 6)1,1( fz 为 极 大 值 . 9 求 函 数 ),( yxfz

7、 极 值 的 一 般 步 骤 ： 第 一 步 解 方 程 组 ,0),( yxfx 0),( yxfy求 出 实 数 解 ， 得 驻 点 . 第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 ),( 00 yx ， 求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 A、 B、 C. 第 三 步 定 出 2BAC 的 符 号 ， 再 判 定 是 否 是 极 值 . 10求 最 值 的 一 般 方 法 ： 将 函 数 在 D内 的 所 有 驻 点 处 的 函 数 值 及 在 D的 边 界 上 的 最 大 值 和 最 小 值 相 互 比 较 ， 其 中 最大 者 即 为 最 大 值 ， 最 小 者 即 为 最 小 值 .

8、与 一 元 函 数 相 类 似 ， 我 们 可 以 利 用 函 数 的极 值 来 求 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 .二 、 多 元 函 数 的 最 值 11 例 2 求 二 元 函 数 )4(),( 2 yxyxyxfz 在 直 线 6 yx ， x轴 和 y轴 所 围 成 的 闭 区 域 D上 的 最 大 值 与 最 小 值 . 解 先 求 函 数 在 D内 的 驻 点 ，xyo 6 yxD D 如 图 , 12 解 方 程 组 0)4(),( 0)4(2),( 22 2yxyxxyxf yxyxxyyxf yx 得 区 域 D内 唯 一 驻 点 )1,2( , 且 4)1,2(

9、 f , 再 求 ),( yxf 在 D边 界 上 的 最 值 ， 在 边 界 0 x 和 0y 上 0),( yxf , 13 在 边 界 6 yx 上 ， 即 xy 6于 是 )2)(6(),( 2 xxyxf , 由 02)6(4 2 xxxfx ,得 4,0 21 xx ,2|6 4 xxy,64)2,4( f 比 较 后 可 知 4)1,2( f 为 最 大 值 ,64)2,4( f 为 最 小 值 . xyo 6 yxD 14 例 3 求 122 yx yxz 的 最 大 值 和 最 小 值 . ,0)1( )(2)1( 22222 yx yxxyxzx ,0)1( )(2)1(

10、22222 yx yxyyxzy 得 驻 点 )21,21( 和 )21,21( , 解 由 15 即 边 界 上 的 值 为 零 .,21)21,21( z ,21)21,21( z 所 以 最 大 值 为 21 ， 最 小 值 为 21 . 因 为 01lim 22 yx yxyx无 条 件 极 值 ： 对 自 变 量 除 了 限 制 在 定 义 域 内外 ， 并 无 其 他 条 件 . 16 实 例 ： 小 王 有 200元 钱 ， 他 决 定 用 来 购 买 两种 急 需 物 品 ： 计 算 机 磁 盘 和 录 音 磁 带 ， 设 他购 买 张 磁 盘 ， 盒 录 音 磁 带 达 到

11、最 佳 效 果 ，效 果 函 数 为 设 每 张 磁盘 8元 ， 每 盒 磁 带 10元 ， 问 他 如 何 分 配 这 200元 以 达 到 最 佳 效 果 x y yxyxU lnln),( 问 题 的 实 质 ： 求 在 条件 下 的 极 值 点 yxyxU lnln),( 200108 yx三 、 条 件 极 值 拉 格 朗 日 乘 数 法 17 拉 格 朗 日 乘 数 法 要 找 函 数 ),( yxfz 在 条 件 0),( yx 下 的 可 能 极 值 点 ，先 构 造 函 数 ),(),(),( yxyxfyxF ， 其 中 为 某 一 常 数 ， 可 由 .0),( ,0),

12、(),( ,0),(),( yx yxyxf yxyxf yy xx 解 出 , yx ， 其 中 yx, 就 是 可 能 的 极 值 点 的 坐 标 . 条 件 极 值 ： 对 自 变 量 有 附 加 条 件 的 极 值 18 拉 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 自 变 量 多 于 两 个 的 情 况 ：要 找 函 数 ),( tzyxfu 在 条 件 0),( tzyx ， 0),( tzyx下 的 极 值 ， 先 构 造 函 数 ),(),( tzyxftzyxF ),(),( 21 tzyxtzyx 其 中 21, 均 为 常 数 ， 可 由 偏 导 数 为 零 及 条 件 解

13、 出tzyx , ， 即 得 极 值 点 的 坐 标 . 19 例 4 将 正 数 12 分 成 三 个 正 数 zyx , 之 和 使 得zyxu 23 为 最 大 . 解 令 )12(),( 23 zyxzyxzyxF , 12 002 03 233 22 zyx yxF yzxF zyxF zyx 解 得 唯 一 驻 点 )2,4,6( ， .6912246 23max u 则 故 最 大 值 为 20 例 8 在 第 一 卦 限 内 作 椭 球 面 1222222 czbyax 的切 平 面 ， 使 切 平 面 与 三 个 坐 标 面 所 围 成 的 四 面 体 体 积 最 小 ， 求

14、 切 点 坐 标 .解 设 ),( 000 zyxP 为 椭 球 面 上 一 点 , 令 1),( 222222 czbyaxzyxF , 则 202| axF Px ， 202| byF Py ， 202| czF Pz 过 ),( 000 zyxP 的 切 平 面 方 程 为 21 )( 020 xxax )( 020 yyby 0)( 020 zzcz , 化 简 为 12 02 02 0 czzb yyaxx , 该 切 平 面 在 三 个 轴 上 的 截 距 各 为 02xax ， 02yby ， 02zcz , 所 围 四 面 体 的 体 积 000 222661 zyx cbax

15、yzV , 22 在 条 件 1220220220 czbyax 下 求 V的 最 小 值 , 令 ,lnlnln 000 zyxu ),( 000 zyxG 000 lnlnln zyx )1( 220220220 czbyax , 由 ,01 0,0,0 220220220 000 cybyax GGG zyx 23当 切 点 坐 标 为( 3a ， 3b ， 3c )时 ,四 面 体 的 体 积 最 小 abcV 23min . 01021 021 021 220220220 2 00 2 00 2 00 czbyax czz byy axx 可 得即 30 ax 30 by ，30 c

16、z 24 四 、 思 考 题 若 ),( 0 yxf 及 ),( 0yxf 在 ),( 00 yx 点 均 取 得 极 值 ， 则 ),( yxf 在 点 ),( 00 yx 是 否 也 取 得 极 值 ？思 考 题 解 答 不 是 . 例 如 22),( yxyxf ,当 0 x 时 ， 2),0( yyf 在 )0,0( 取 极 大 值 ; 当 0y 时 ， 2)0,( xxf 在 )0,0( 取 极 小 值 ;但 22),( yxyxf 在 )0,0( 不 取 极 值 . 25 一 、 填 空 题 :1、 函 数 )4)(6(),( 22 yyxxyxf 在 _点 取 得 极 _值 为

17、_.2、 函 数 xyz 在 附 加 条 件 1 yx 下 的 极 _值 为 _.3、 方 程 02642222 zyxzyx 所 确 定 的 函 数 ),( yxfz 的 极 大 值 是 _,极 小 值是 _. 二 、 在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 0,0 yx 及0162 yx 三 直 线 的 距 离 平 方 之 和 为 最 小 . 三 、 求 内 接 于 半 径 为 a 的 球 且 有 最 大 体 积 的 长 方 体 . 练 习 题 26 四 、 在 第 一 卦 限 内 作 球 面 1222 zyx 的 切 平 面 ,使得 切 平 面 与 三 坐 标 面 所 围 的

18、 四 面 体 的 体 积 最 小 ,求 切 点 的 坐 标 . 27 一 、 1、 (3,2),大 ,36； 2、 大 , 41； 3、 7,-1. 二 、 )516,58( . 三 、 当 长 ,宽 ,高 都 是 32a时 ,可 得 最 大 的 体 积 . 四 、 ).31,31,31( 练 习 题 答 案 28 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 二 、 多 元 函 数 的 极 值 和 最 值 29 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 二 、 多 元 函 数 的 极 值 和 最 值 30 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 二 、

19、 多 元 函 数 的 极 值 和 最 值 31 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 二 、 多 元 函 数 的 极 值 和 最 值 32 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 二 、 多 元 函 数 的 极 值 和 最 值 33 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 二 、 多 元 函 数 的 极 值 和 最 值 34 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 二 、 多 元 函 数 的 极 值 和 最 值 35 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 二 、 多 元 函 数 的 极 值 和 最 值 36 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 二 、 多 元 函 数 的 极 值 和 最 值