垂直于弦的直径课件

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1、 两节课内容两节课内容九年级上册O圆既是中心对称图形，又是轴对称图形提问：提问：圆是什么对称图形？圆的轴对称形圆的轴对称形 经经过圆心过圆心的的每每一条直线一条直线都是它的都是它的对称轴。对称轴。或或：任意一条直径任意一条直径所在的直线所在的直线都是圆都是圆的对称轴的对称轴。判断判断：任意一条直径：任意一条直径都都是圆的对称轴（是圆的对称轴（）O O探索规律探索规律AB是是 O的一条弦的一条弦.你能你能发现图中有哪些发现图中有哪些等量关系等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是下图是轴对称图形轴对称图形吗吗?如果是

2、如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?ABCDM连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.探索规律探索规律能够重合的能够重合的弧叫弧叫等弧等弧垂直于弦的垂直于弦的直径直径平分弦平分弦,并且并且平分平分弦所弦所 对对 的两的两 条条弧弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD =B

3、D.条件条件CD为直径为直径CDABCD平分平分弧弧ADBCD平分平分弦弦ABCD平分平分弧弧ACB结论结论探索规律探索规律垂径定理垂径定理以下三个图以下三个图,是否有是否有 AE=BE,AC=BC ,AD=BD?ABCDEOABCDEOABCDEO直径直径垂直垂直弦弦 才能平分弦才能平分弦,平分弦所对的弧平分弦所对的弧.作法：作法：连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD,交弧交弧AB于点于点E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点的中点CDABE例例1 已知已知AB，如图，用直尺和圆规求作这如图，用直尺和圆规求作这条弧的条弧的中点中点CDABFG错在错在哪里？哪里？1作

4、作AB的垂直平分线的垂直平分线CD2作作AT、BT的垂直平分的垂直平分线线EF、GH变式：变式：求弧求弧ABAB的四等分点的四等分点CDABEFGmn强调强调：等分弧等分弧时一定时一定要作要作弧所对的弧所对的弦弦的垂直平分线的垂直平分线AM=BM,n由由 CD是是直直径径 CDAB可推得可推得AD=BD.AC=BC,CDAB,n由由 CD是是直直径径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂径定理：垂径定理：推论：推论：实际上推论不止这一个，其他任意两个条件组实际上推论不止这一个，其他任意两个条件组合都能得到另外三个。合都能得到另外三个。简称简称“二推三二推三”例例2 一条排水管的截

5、面如图所示排水管一条排水管的截面如图所示排水管的半径的半径OB=10，水面宽水面宽AB=16，求截面求截面圆心圆心O到水面的距离到水面的距离 OABC应用应用1：垂径定理的有关计算：垂径定理的有关计算16圆心到圆的一条弦的圆心到圆的一条弦的距离叫做距离叫做弦心距弦心距练习练习2：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ，DC2，直径直径CEAB于于D，求半径求半径OC的长。的长。应用应用1：垂径定理的有关计算：垂径定理的有关计算小结：小结：1画弦心距是圆中常见的画弦心距是圆中常见的辅助线；辅助线；OABCr rd d2 半径（半径（r)、半弦、弦心半弦、弦心距距(d)组成的直角三角形是组成的直角三

6、角形是研究与圆有关问题的主要思研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：路，它们之间的关系：应用应用1：垂径定理的有关计算：垂径定理的有关计算3拱高，半径，弦长，弦心距之间的数量关系；拱高，半径，弦长，弦心距之间的数量关系；判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果

7、一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 例例3 如图，线段如图，线段AB与与 O交于交于C、D两点，且两点，且OA=OB 求证：求证：AC=BD OABCMD应用应用2:垂径定理有关的证明题垂径定理有关的证明题.练习练习5.已知如图，在以已知如图，在以O为圆心的两个为圆心的两个同心圆中，大圆的弦同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。试说明：试说明：ACBD。E.ACDBO证明：过作证明：过作于于即即应用应用2:垂径定理有关的证明题垂径定理有关的证明题.练习练习6 已知：已知：O中中弦弦ABCD。求证：求证：ACBD

8、.MCDABON应用应用2:垂径定理有关的证明题垂径定理有关的证明题.小结小结:解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线，作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO师生共同总结：师生共同总结：本节课主要内容本节课主要内容：（1 1）圆的轴对称性；（）圆的轴对称性；（2 2）垂径定理）垂径定理2 2垂径定理的应用垂径定理的应用：（1 1）作图；（）作图；（2 2）计算和证明）计算和证明3 3解题的主要方法解题的主要方法：六、总结回顾六、总结回顾

9、（2 2）半径（）半径（r)r)、半弦、弦心距半弦、弦心距(d)(d)组成的直角三角形是组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：（1 1）画弦心距是圆中常见的辅助线；画弦心距是圆中常见的辅助线；1 已知已知 O的直径是的直径是50 cm，O的两条的两条平行弦平行弦AB=40 cm，CD=48cm，求，求弦弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。.AEBOCD20152525247.AEBOCDFFAB、在点、在点O两侧两侧AB、在点、在点O同侧同侧解：过点作直线解：过点作直线，交于，交于。2、已知：、已知：AB是是 O直径，直径，

10、CD是弦，是弦，AECD于于E，BFCD于于F求证：求证：ECDF.AOBECDFM 3 3过过O O内一点内一点M M的的最长弦最长弦长为长为10cm10cm，最短弦最短弦长为长为8cm8cm，那么那么OMOM长为（长为（）A A3 B3 B6cm C6cm C cm Dcm D9cm9cm 4 4如图，如图，O O的直径为的直径为1010，弦，弦ABAB长为长为8 8，M M是是弦弦ABAB上的动点，则上的动点，则OMOM的长的长的取值范围是（的取值范围是（）A A3OM5 B3OM5 B4OM5 4OM5 C C3OM5 D3OM5 D4OM54OM5ABOMA练习练习1.如图如图,弦弦

11、AB的长为的长为 8 cm,圆心圆心O到到 AB 的距离为的距离为 3 cm,求求 O的半径的半径.O ABE83练习练习2：是是 的直径，弦的直径，弦，为垂足，若，求的长为垂足，若，求的长应用应用1：垂径定理的有关计算：垂径定理的有关计算某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为为.2 m，过，过O 作作OC AB 于于D，交圆弧于交圆弧于C，CD=2.4m，现有一，现有一 艘宽艘宽3m，船舱顶部为方形并，船舱顶部为方形并高出水面（高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO