[精选]第六章 black-schols期权定价模型

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1、第六章第六章第六章第六章 布莱克布莱克布莱克布莱克-舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型一、证券价格的运动的规律一、证券价格的运动的规律 （一）弱式效率市场假说与马尔可夫过程（一）弱式效率市场假说与马尔可夫过程 l1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。l效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。l弱式效率市场假说可用马尔可夫

2、随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。l随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。l如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。（二）布朗运动（二）布朗运动 1.标准布朗运动标准布朗运动l设 代表一个小的时间间隔长度，代表变量z z在时间 内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：l特征特征1 1：和 的关系满足（6.1）：（6.1）l其中，代表从标准正态分布（即即均均值值为为0 0、标标准准差差为为1.01.0的的正正态态分布分布）中取的一个随机

3、值。特征特征2 2：对于任何两个不同时间间隔，和 的值相互独立。l考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：l （6.2）l(6.2)式均值为0 0，方差为 （是相互独立的）l当 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：（6.3）2.2.普通布朗运动普通布朗运动 l我们先引入两个概念：漂移率和方差率。l标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。l我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动普通布朗运动：（6.4）l其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。l(三三)伊藤过程伊藤过程l普普通通布布朗朗运运动动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和

4、方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式(6.4)得到伊藤过程伊藤过程（Ito Process）：）：(6.5）l其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。(四四)证券价格的变化过程证券价格的变化过程l证券价格的变化过程可以用漂移率为S、方差率为 的伊藤过程来表示：l两边同除以S得：（6.6）l从（6.6）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：l可见，也具有正态分布特征 (6.7)例6.1l设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周(0.0192年)后该股

5、票价格变化值的概率分布。S服从均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样。(五五)伊藤引理伊藤引理 若变量S S遵循伊藤伊藤过程，则变量s和 t 的函数 f 将遵循如下过程：根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如下过程：由于由于（6.8）（6.9）(6.10)伊藤引理证明伊藤引理证明：两个变量的函数的泰勒展开式为：由前述：由此可以推出：因为 服从标准正态分布，有 ，由此可以推出 。如果我们求 的方差，有所以，当 时，是高阶小量。这意味着，当 时，。即 将变成不再是随机变量。而 ，则有 ，那么 。所以有 将这个结果代入上面泰勒展开式，略去二阶以上（包括二阶）的高阶小量，就得到

6、再把 代入，就有这即为伊藤引理的结果。返回返回(六六)证券价格自然对数变化过程证券价格自然对数变化过程 l令 ，由于l代入式（6.10）:（6.11）l证券价格的对数遵循普通布朗运动,且：上式说明股价从t时刻开始，将以指数形式函数的比率成长，其中一部分的成长是随时间而变，另一部分呈现随机变动。例例6.26.2l设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。例例6.36.3l请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少？二、布莱克二、布莱克舒尔斯微分方程

7、舒尔斯微分方程（一）布莱克（一）布莱克舒尔斯微分方程的推导舒尔斯微分方程的推导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：则：（6.12）假设 f 是依赖于 S S 的衍生证券的价格，则：（6.13）为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则：(6.15)（6.14）在 时间后：（6.16）将式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可得：（6.17）在没有套利机会的条件下：把式（6.15）和（6.17）代入上式得：布莱克布莱克舒尔斯微分分程舒尔斯微分分程l化简为：(6.18)l这就是著名的布莱克这就是著名的布莱克舒尔斯微分分程，

8、它适用于其舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格价格取决于标的证券价格S S的所有衍生证券的定价。的所有衍生证券的定价。（二）风险中性定价原理（二）风险中性定价原理 l假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。l尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。例子例子l假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价

9、值。l该看涨期权的价值应为0.31元 l在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P P，下跌的概率为1-P1-P。P=0.6266P=0.6266l这样，根据风险中性定价原理，我们就可以得出该期权的价值：这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界风险中性世界中，无风险利率为10，则股票上升的概率P可以通过下式来求：又如，现实世界现实世界中股票的

10、预期收益率预期收益率为15，则股票的上升概率可 以通过下式来求：P=69.11 可见：投资者厌恶风险程度 股票预期收益率 股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。（三）布莱克（三）布莱克舒尔斯期权定价公式舒尔斯期权定价公式l在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：l其现值为l （6.19）l对数股票价格的分布为：（6.20）l对式（6.19）求解：（6.216.21）其中，l我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义：lN(d2)是在风险中性世界中ST大于E的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，le

11、-r(T-t)EN(d2)是 E E 的风险中性期望值的现值。lSN(d1)=e-r(T-t)ST N(d1)是 ST 的风险中性期望值的现值。l其次，是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值,-e-e-r(T-t)-r(T-t)EN(dEN(d2 2)则是复制交易策略中负债的价值。l最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或资产或无无价值看涨期权（Asset-or-nothing call option）多头和现金或现金或无价值无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(dSN(d1 1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e-e-r(T

12、-t)-r(T-t)EN(dEN(d2 2)是E E份现金或无价值看涨期权空头的价值。l在标的资产无收益情况下，由于c（欧式）=C（美式），因此式（6.21）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。l根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ：（6.22）l由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。（四）有收益资产的期权定价公式（四）有收益资产的期权定价公式 1.1.有收益资产欧式期权的定价公式有收益资产欧式期权的定价公式l当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（SI

13、）代替式（6.21）和（6.22）中的 S 即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。l当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将 代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。l对于欧式期货期权，其定价公式为：（6.23）（6.24）l其中：例例6.46.4l假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。l3.05美分。2.2.有收益资产美式期权

14、的定价有收益资产美式期权的定价 (1)(1)美式看涨期权美式看涨期权 l当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，我们可用一种近似处理的方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在t 提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和 t 时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。例例6.56.5 l假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该

15、期权的价值。l近似为7.2824元 (2)(2)美式看跌期权美式看跌期权 l由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。三、三、BlackScholes定价公式中各种变量对期权价格的影响定价公式中各种变量对期权价格的影响 在在布莱克-斯科尔斯定价公式中，影响期权价格的因素的包括：股票价格S、执行价格E、无风险利率r、股票价格波动的方差 和到期日 T。用函数形式表示就是：在下面的叙述中假设公式是连续可微的，因而每一种因素对C的影响都可以通过求偏导数的方式得出，（1）股票价格对欧式

16、看涨期权价格的影响）股票价格对欧式看涨期权价格的影响 这种影响被称为 （小写为 ），即：由于N（d1）是一个概率函数，所以 。这也就是说，当 S 增加或减少 1 个单位时，期权价格增加或减少的绝对量不超过 1。这个概念很重要，在理论和实践中常常被用于构造证券组合。在一个无风险且无套利的证券组合中，常常被称作是“套期保值率”。我们转而讨论一下关于 问题 例如构造如下一个证券组合，该组合包括一个价格为 C 的欧式看涨期权多头和 h 股价格为 S 的股票空头。因此，该组合的现期价值为则 dV=dC-hdS依前分析有：其中 z 是随机变量；由依藤引理可知：把 dS 和 dC 的值代入 dV，整理后得：

17、为使证券组合V 能取得一个无风险收益，即 dV=0从而可以得到最佳的套期保值率：显而易见，影响 的一个最大变量是股票价格。我们把股票价格 S 对的影响称为，即 由上式可知：如果的值越大，说明对股票价格的变化越敏感，中性的位置也就越难以维持；反之亦然。（2）执行价格的影响）执行价格的影响 通过求解，执行价格对欧式看涨期权的影响为：由于N（d2）0，所以：它说明：执行价格越大，欧式看涨期权的价格越低；执行价格越小，欧式看涨期权的价格越高。（3）无风险利率的影响）无风险利率的影响 在布莱克-斯科尔斯定价公式中，无风险利率是以连续复合利率的公式出现的，它对期权价格的影响被称作，它反映了期权价格对无风险

18、利率变化的敏感程度。即：显然，0。（4）方差的影响）方差的影响 期权价格对方差变化的敏感程度被称作（小写为），它的具体值是：（5）到期日的影响）到期日的影响 到期日的影响被称为（小写为），其具体值是：单只期权的总是小于 0 的，因为随着到期日的临近，期权的时间价值越来越小，直至等于0。金金融工程师在构建包含期权的金融产品时，选择期权品种的标准就是看该期权对其基础资产价格、无风险利率和基础资产收益方差等因素变动的敏感程度。另外，在构建套期保值功能的证券组合时，也必须考虑、等因素，以构建出具有不同需要及 中性中性、中性中性或中性中性的金融产品。9、静夜四无邻，荒居旧业贫。9月-239月-23Sat

19、urday,September 16,202310、雨中黄叶树，灯下白头人。17:53:4917:53:4917:539/16/2023 5:53:49 PM11、以我独沈久，愧君相见频。9月-2317:53:4917:53Sep-2316-Sep-2312、故人江海别，几度隔山川。17:53:4917:53:4917:53Saturday,September 16,202313、乍见翻疑梦，相悲各问年。9月-239月-2317:53:4917:53:49September 16,202314、他乡生白发，旧国见青山。16 九月 20235:53:49 下午17:53:499月-2315、比不

20、了得就不比，得不到的就不要。九月 235:53 下午9月-2317:53September 16,202316、行动出成果，工作出财富。2023/9/16 17:53:4917:53:4916 September 202317、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。5:53:49 下午5:53 下午17:53:499月-239、没有失败，只有暂时停止成功！。9月-239月-23Saturday,September 16,202310、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。17:53:4917:53:4917:539/16/2023 5:53:49 P

21、M11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。9月-2317:53:4917:53Sep-2316-Sep-2312、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。17:53:4917:53:4917:53Saturday,September 16,202313、不知香积寺，数里入云峰。9月-239月-2317:53:4917:53:49September 16,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。16 九月 20235:53:49 下午17:53:499月-2315、楚塞三湘接，荆门九派通。九月 235:53 下午9月-2317:53September 16

22、,202316、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2023/9/16 17:53:4917:53:4916 September 202317、空山新雨后，天气晚来秋。5:53:49 下午5:53 下午17:53:499月-239、杨柳散和风，青山澹吾虑。9月-239月-23Saturday,September 16,202310、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:53:4917:53:4917:539/16/2023 5:53:49 PM11、越是没有本领的就越加自命不凡。9月-2317:53:4917:53Sep-2316-Sep-2312、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。17:

23、53:4917:53:4917:53Saturday,September 16,202313、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。9月-239月-2317:53:4917:53:49September 16,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。16 九月 20235:53:49 下午17:53:499月-2315、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。九月 235:53 下午9月-2317:53September 16,202316、业余生活要有意义，不要越轨。2023/9/16 17:53:4917:53:4916 September 202317、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。5:53:49 下午5:53 下午17:53:499月-23MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit amet,consectetur adipiscing elit.Fusce id urna blandit,eleifend nulla ac,fringilla purus.Nulla iaculis tempor felis ut cursus.感感 谢谢 您您 的的 下下 载载 观观 看看专家告诉