阅读与思考函数概念的发展历程

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1、南宁市第三十三中学 邓 北 明1.抽象与数学抽象2.具体、抽象与概括3.抽象概括的策略3个苹果+5个苹果=3个苹果+5个梨 =8个苹果8个水果3+5=8 4哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，布勒格尔河的两哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，布勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把城条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把城市分成了块，于是，人们建造了座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。市分成了块，于是，人们建造了座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。一天又一天，座桥上走过了无

2、数的行人。不知从什么时候起，脚下的一天又一天，座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍谁能够一次走遍所有的座桥，而且每座桥都只通过一次？所有的座桥，而且每座桥都只通过一次？这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是，谁也这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展。没有找到一条这样的路线。以博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展。七桥问题七桥问题 难住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯

3、堡也因难住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因 七桥问题七桥问题 而出了名。而出了名。如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的时间。哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 欧拉（L.Euler,1707.4.15-1783.9.18）著名的数学家。生于瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大部分时间在俄国和德国度过。他早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,17岁获得硕士学位，毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家。在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表。其论著几乎涉及所有数学分支。哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题地图的抽象地图的抽象问题：如何不重复

4、地走完七桥后回到起点？问题的抽象如何将此图一笔画出？一个图形要能一笔画完成，必须符合两个条件:(1)图形必须是封闭连通的;(2)图形中的奇点(与奇数条边相连的点)个数为0或2.抽象 现代汉语词典(商务印书馆版，1978)的词条解释是:从许多事物中，舍弃个别的、非本质的属性，抽出共同的本质属性，叫抽象，是形成概念的必要手段.不能具体经验到的，笼统的;空洞的.抽象是指在思维上把同类事物一般的本质属性抽取出来，而舍弃其非本质属性的思维过程数学抽象 数学抽象是指从研究对象或问题中抽取数量关系或空间形式而舍弃其它属性并对其进行考察的一种方法 新课程标准中的数学抽象 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的

5、抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本

6、质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。数学抽象具体、抽象与概括 具体是指对客观存在着的各种事物或认识中的整体的反映，是特定事物多方面属性、特点、联系和关系的统一，具体和抽象 是人们认识过程中的两个不同方面，也是两种不同的科学思维方法，二者既是对立的又是统一的，并在一定条件下相互转化.在日常一般语义中，将具体视为抽象的反义词具体、抽象与概括 概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法，以抽象为基础，是抽象的发展.抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象.从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同的相通性质.抽象思维侧重

7、分析、提炼，概括思维则侧重归纳、综合.概括是一种寻求共性的思维，概括能力越强，所得的结论就越深刻，越明确.数学抽象概括的“三化”1.1.数学化数学化2.2.理想理想化化3.3.符号化符号化舍舍弃弃事事物物的的一一切切非非数数学学属属性性，只只从从数数与与形形两两方方面面对对其其进进行行抽抽象象.如如数数的的产产生生只只关关注注数数量量的的多多少少，而而省省略略其其它它一一切切因因素素;几几何何图图形形的的概概念念是是舍舍弃弃了了现现实对象的所有性质只留下其空间形式和大小的结果实对象的所有性质只留下其空间形式和大小的结果.对对现现实实事事物物通通过过一一般般化化、理理想想化化处处理理，最最后后得

8、得到到超超越越现现实实的的数数学学模模型型.如如几几何中的点是没有长度、宽度的，线是没有宽度和厚度的，面是没有厚度何中的点是没有长度、宽度的，线是没有宽度和厚度的，面是没有厚度.数数学学世世界界是是一一个个符符号号化化的的世世界界;数数学学符符号号是是数数学学抽抽象象物物的的表表现现形形式式，是是数数学存在的具体化身，是对现实世界数学关系的反映结果学存在的具体化身，是对现实世界数学关系的反映结果.抽象概括的策略1.1.学习学习数学概念、定理、公式、法则的抽象概括数学概念、定理、公式、法则的抽象概括策略策略2.2.获得获得数学思想方法的抽象概括数学思想方法的抽象概括策略策略3.3.解题中解题中的

9、抽象概括的抽象概括策略策略1.1.学习学习数学概念、定理、公式、法则的抽象概括数学概念、定理、公式、法则的抽象概括策略策略华罗庚的数论导引里提到的：“从具体到抽象是数学发展的一条重要大道，因此具体的例子往往是抽象概念的源泉。仅仅熟读了抽象的定义和方法而不知道他们具体来源的数学工作者是没有发展前途的。”引例一引例一 一枚炮弹发射后，经过一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中落到地面击中目标。炮弹的射高为目标。炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面，且炮弹距地面的高度的高度h（单位：（单位：m）随时间（单位：）随时间（单位：s）变）变化的规律是化的规律是h=294t-4.9t2思考以下问题:(1)炮

10、弹飞行1秒、8秒、15秒、25秒时距地面多高？(2)炮弹何时距离地面最高?(3)你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和集合B表示出来。(4)对于集合A中的任意一个时间t,按照对应关系,在B中是否都有唯一确定的高度h和它对应?引例二引例二近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从题下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从19792001年的变年的变化情况化情况思考：(1)能从图中看出哪一年臭氧层空洞的面积最大？(2)哪些年的臭氧层空洞的面积大约为1500万平方千米？

11、(3)变量t的取值范围是多少？引例三请问：(1)恩格尔系数与年份之间的关系是否和前两个事例中的两个变量之间的关系相似？(2)如何用集合与对应的语言来描述这个关系？“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况如下表：年份年份19911992199319941995199619971998199920002001家庭家庭恩格恩格尔系尔系数数%53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9v以上三个实例有那些公共的特点？它们的关系可以描述为：对于数集A中的每一个t，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的h和它对应，记作：f：A B所以得到函数的概念：

12、设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，使A的任何一个x，在B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称 f：A B为从集合A到集合B的一个函数。记作:x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值对应的y值叫做函数值。函数值的集合 叫做函数的值域。1.1.学习学习数学概念、定理、公式、法则的抽象概括数学概念、定理、公式、法则的抽象概括策略策略 在高中阶段，由于我们数学学习所认识的对象，主要是已经被前人抽象、概括了的间接知识，尽管它们无需我们再去抽象、概括，但是我们必须要在数学的学习过程中，去分析、研究，弄清它们是如何抽象、概括出来的，不仅仅限于去学习这些知识，重要的是要去学习

13、这种抽象概括的思想方法，必须学会摆脱具体内容，从各种概念、关系运算、定理的结构中去分析，被扬弃的非本质属性是哪些？抽出的本质特征又是什么？又是怎样去概括这些本质特征的？1.1.学习学习数学概念、定理、公式、法则的抽象概括数学概念、定理、公式、法则的抽象概括策略策略1.1.学习学习数学概念、定理、公式、法则的抽象概括数学概念、定理、公式、法则的抽象概括策略策略具体（直观）抽象概括得概念、定理、公式、法则概念、定理、公式、法则特例（具体）1.1.学习学习数学概念、定理、公式、法则的抽象概括数学概念、定理、公式、法则的抽象概括策略策略量积的定义 ab=|a|b|cos.W=|F|s|cos2.2.获

14、得获得数学思想方法的抽象概括数学思想方法的抽象概括策略策略奇变偶不变，符号看象限.2.2.获得获得数学思想方法的抽象概括数学思想方法的抽象概括策略策略一元二次不等式的解题方法 2.2.获得获得数学思想方法的抽象概括数学思想方法的抽象概括策略策略复合函数的单调性同增异减向量方法向量方法立几中的证明思路2.2.获得获得数学思想方法的抽象概括数学思想方法的抽象概括策略策略3.3.解题中解题中的抽象概括的抽象概括策略策略3.3.解题中解题中的抽象概括的抽象概括策略策略3.3.解题中解题中的抽象概括的抽象概括策略策略3.3.解题中解题中的抽象概括的抽象概括策略策略舍弃事物的一切非数学属性舍弃事物的一切非数学属性建立数学模型