电力系统微机保护第4章微机继电保护的算法课件

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1、2023/9/14Xian University of Science and Technology主要内容主要内容4.1 4.1 微机保护算法概述微机保护算法概述4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法4.3 4.3 基于周期信号模型的傅立叶算法基于周期信号模型的傅立叶算法4.4 4.4 基于非周期信号模型的基于非周期信号模型的R-LR-L模型算法模型算法4.5 4.5 基于随机数学模型的递推最小二乘算法基于随机数学模型的递推最小二乘算法4.6 4.6 移相算法及滤序算法移相算法及滤序算法4.7 4.7 相位比较器算法相位比较器算法4.8 4.8 突变量电流算法突变量电流算法4.

2、9 4.9 微机保护算法选择微机保护算法选择1/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.1 4.1 微机保护算法概述微机保护算法概述4.1.1 算法的含义算法的含义对采集的数据进行对采集的数据进行处理、分析、判断处理、分析、判断以便实现保护功能的方法以便实现保护功能的方法称为算法。称为算法。Xian University of Science and Technology4.1.2 微机保护算法类型微机保护算法类型1.1.直接计算信号特征值的算法直接计算信号特征值的算法该算法直接由采样值经过某种运算，求出实际值，再与定值比该算

3、法直接由采样值经过某种运算，求出实际值，再与定值比较，实现保护。较，实现保护。2.2.判断继电动作方程的算法判断继电动作方程的算法该类算法依据继电器的动作方程，将采样值直接代入动作方程，该类算法依据继电器的动作方程，将采样值直接代入动作方程，转换为运算式的判断。转换为运算式的判断。4.1.2微机保护算法类型微机保护算法类型2/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.1 4.1 微机保护算法概述微机保护算法概述4.1.3 衡量算法的指标衡量算法的指标1.1.算法的精度算法的精度指的是时计算出的结果信号与实际值的指的是时计算出的结

4、果信号与实际值的逼近程度逼近程度。2.2.算法的速度算法的速度包括两个方面：包括两个方面：1 1、算法所要求的、算法所要求的采样点数采样点数；2 2、算法的、算法的运算工作量运算工作量。3.3.算法的精度与速度的关系算法的精度与速度的关系精度和速度总是精度和速度总是矛盾的矛盾的。若要计算精确，则往往要利用更多的。若要计算精确，则往往要利用更多的采样点和进行更多的计算工作量。采样点和进行更多的计算工作量。Xian University of Science and Technology4.1.3衡量算法的指标衡量算法的指标3/862023/9/14Xian University of Scien

5、ce and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.1 4.2.1 半周内取最大绝对值算法半周内取最大绝对值算法1.1.算法原理算法原理要计算有效值，最直接的方法是在任意半周期内取各采样值的要计算有效值，最直接的方法是在任意半周期内取各采样值的绝对值，然后寻求最大值，将最大值除以绝对值，然后寻求最大值，将最大值除以 即得到有效值。即得到有效值。如图如图4-14-1所示，有：所示，有：(4-2)其中，其中，为半周波内的采样值。为半周波内的采样值。4.2.1绝对值算法绝对值算

6、法4/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology2.2.算法指标算法指标数据窗为数据窗为半个周波。半个周波。当采样时刻刚好落在最大值，则此算法本身当采样时刻刚好落在最大值，则此算法本身没有误差没有误差。但当采样时刻落在任意其它时刻，这种算法本身但当采样时刻落在任意其它时刻，这种算法本身会产生误差会产生误差。最大绝对误差：最大绝对误差：(4-3)最大相对误差：最大相对误差：(4-4)4.2.1绝对值算法

7、绝对值算法5/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.2 4.2.2 两点乘积算法两点乘积算法1.1.两点乘积算法原理两点乘积算法原理利用两个间隔一定的采样值计算利用两个间隔一定的采样值计算有效值及相位有效值及相位的方法。的方法。以电流为例，设以电流为例，设 和和 分别为两个电气角度相隔为分别为两个电气角度相隔为 的采样的采样值（如图值（如图4-84-8所示），即：所示），即：(4-5)根据

8、式（根据式（4-14-1）有：）有：(4-6)(4-7)4.2.2两点乘积算法两点乘积算法6/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology可以利用电压和电流的有效值测量阻抗，有两种方法：可以利用电压和电流的有效值测量阻抗，有两种方法：方法一方法一：利用公式可以得出测量阻抗的：利用公式可以得出测量阻抗的模值模值Z Z 和和阻抗角阻抗角 。(4-9)同理电压也有上述关系：同理电压也有上述关系：(4-10)(

9、4-11)(4-8)则有：则有：(4-13)(4-12)可得：可得：(4-14)(4-15)4.2.2两点乘积算法两点乘积算法7/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology方法二方法二：电流和电压都是正弦量，写成复数形式：电流和电压都是正弦量，写成复数形式参照式（参照式（4-64-6）、（）、（4-74-7）、（）、（4-104-10）、（）、（4-114-11）有：）有：则有：则有：(4-16)式（

10、式（4-164-16）的实部就是电阻分量）的实部就是电阻分量R R，虚部则为电抗分量，虚部则为电抗分量X X：(4-17)(4-18)4.2.2两点乘积算法两点乘积算法8/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology2 2 两点乘积算法特点两点乘积算法特点（1 1）算法本身所需的数据窗长度为工频的）算法本身所需的数据窗长度为工频的1/41/4个周期个周期。（2 2）此算法基于正弦信号，因此要与带通滤波器

11、）此算法基于正弦信号，因此要与带通滤波器配合使用配合使用。（3 3）算法本身与）算法本身与采样频率无关采样频率无关，因此对采样频率无特殊要求。，因此对采样频率无特殊要求。（4 4）算法本身）算法本身无误差无误差。（5 5）算法中要进行较多的乘除法，运算）算法中要进行较多的乘除法，运算工作量大工作量大。最后必须指出，两点乘积算法中的两点不必一定相隔最后必须指出，两点乘积算法中的两点不必一定相隔1/41/4个周个周期期，其数据窗长度可以取任意值，只是取任意值时的数学模型略微，其数据窗长度可以取任意值，只是取任意值时的数学模型略微复杂一点而已。复杂一点而已。4.2.2两点乘积算法两点乘积算法9/86

12、4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法4.2.3 4.2.3 三点乘积算法三点乘积算法1.1.三点乘积算法原理三点乘积算法原理利用连续利用连续三个采样点三个采样点的数据计算正弦信号特征量的方法的数据计算正弦信号特征量的方法对正弦电压和电流任意取三个连续时刻对正弦电压和电流任意取三个连续时刻 、对应的采样值分别为对应的采样值分别为 、和和 、。电压信号：电压信号：(4-21)(4-23)因为：因为：所以：所以：(4-22)同理有：同理有：4.2.3三点乘积算法三点乘积算法2023/9/14Xian University of Science and TechnologyXian U

13、niversity of Science and Technology10/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology2.2.三点乘积算法特点三点乘积算法特点（1 1）算法）算法数据窗数据窗为为2 2T Ts s，因此，算法的延时与采样频率有关。，因此，算法的延时与采样频率有关。（2 2）算法本身）算法本身无误差无误差。（3 3）作为基于正弦信号的算法，必须与滤波器）作为基于正弦信号的算法，必须与滤波

14、器配合使用配合使用。（4 4）算法中要进行较多的乘除法，运算）算法中要进行较多的乘除法，运算工作量大工作量大。根据电压和电流得到根据电压和电流得到阻抗模值阻抗模值：(4-24)电阻分量：电阻分量：(4-26)(4-25)电抗分量：电抗分量：4.2.3三点乘积算法三点乘积算法11/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.4 4.2.4 导数算法导数算法1.导数算法原理导数算法原理导数算法只需知

15、道输入正弦量在某一时刻导数算法只需知道输入正弦量在某一时刻 的采样值及该时的采样值及该时刻对应的导数，即可算出刻对应的导数，即可算出有效值有效值和和相位相位。假设电压和电流为假设电压和电流为:(4-29)则电压和电流的导数为则电压和电流的导数为：(4-30)(4-27)(4-28)4.2.4导数算法导数算法12/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology在在 时刻有：时刻有：(4-34)(4-33)(

16、4-31)(4-32)则可以利用正弦函数和余弦函数的平方和等于则可以利用正弦函数和余弦函数的平方和等于1 1得：得：(4-35)(4-36)4.2.4导数算法导数算法13/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology(4-37)于是被采样的电压和电流对应的阻抗为：于是被采样的电压和电流对应的阻抗为：(4-38)以上分析表明，只要知道电压电流某点采样值和在该点的导数，以上分析表明，只要知道电压电流某点采样

17、值和在该点的导数，就可以就可以求出电压电流的大小和相位，求出测量阻抗。就可以就可以求出电压电流的大小和相位，求出测量阻抗。为求导数，可取为求导数，可取 为两个相邻采样时刻为两个相邻采样时刻 和和 的中间的中间时刻（如图时刻（如图4-214-21所示）。然后用差分近似求导，则有：所示）。然后用差分近似求导，则有：(4-39)(4-40)4.2.4导数算法导数算法14/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technol

18、ogy电流、电压瞬时值用平均值替代，则有：电流、电压瞬时值用平均值替代，则有：(4-41)(4-45)(4-46)(4-42)另外求导数也可以用相邻三个采样点另外求导数也可以用相邻三个采样点 、，取取 ，则有：，则有：(4-43)(4-44)4.2.4导数算法导数算法15/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology2.2.导数算法特点导数算法特点（1 1）数据窗短，仅为两个或三个采样点，即时窗为一个或

19、两）数据窗短，仅为两个或三个采样点，即时窗为一个或两个采样间隔，因此算法的时延与采样频率有关。个采样间隔，因此算法的时延与采样频率有关。（2 2）运算工作量与乘积算法相似。）运算工作量与乘积算法相似。（3 3）导数算法存在方法误差。）导数算法存在方法误差。（4 4）算法具有一定的抑制直流分量的能力，但对高次谐波具）算法具有一定的抑制直流分量的能力，但对高次谐波具有放大的作用，因此要求滤波器应有良好的滤除高频分量的能力有放大的作用，因此要求滤波器应有良好的滤除高频分量的能力。4.2.4导数算法导数算法16/862023/9/14Xian University of Science and Tec

20、hnology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.5 半周绝对值积分算法半周绝对值积分算法1.1.半周绝对值积分算法原理半周绝对值积分算法原理算法的依据是一个正弦量在任意半个周期内绝对值的积分为一算法的依据是一个正弦量在任意半个周期内绝对值的积分为一常数常数S S，如图，如图4-284-28所示：所示：(4-48)积分面积积分面积S S为：为：(4-47)若已知积分面积若已知积分面积S S，则有：，则有：4.2.5半周绝对值积分算法半周绝对值积分算法17/862023/9/14Xian U

21、niversity of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology计算积分时可以用梯形法或矩形法。计算积分时可以用梯形法或矩形法。(4-49)如图如图4-294-29所示，设若干个小梯形面积之和为所示，设若干个小梯形面积之和为 ，则有：，则有：式中：式中：为为 时的采样值，时的采样值，N N为采样点数。为采样点数。梯形法求积分梯形法求积分：4.2.5半周绝对值积分算法半周绝对值积分算法18/862023/9/14Xian University of Scie

22、nce and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology矩形法求积分：矩形法求积分：矩形法比梯形法公式较简洁，便于编程，但在相同的矩形法比梯形法公式较简洁，便于编程，但在相同的 下，下，精度较梯形法差。精度较梯形法差。(4-50)2.2.半周绝对值积分算法特点半周绝对值积分算法特点（1 1）数据窗长度为）数据窗长度为半个周期半个周期。（2 2）由于进行的是积分运算，故）由于进行的是积分运算，故具有滤波功能具有滤波功能，对高频分量，对高频分量有拟制作用，但不能拟制直流分量有拟制作用，

23、但不能拟制直流分量（3 3）本算法的精度与）本算法的精度与采样频率有关采样频率有关。（4 4）由于只有加法运算，计算）由于只有加法运算，计算工作量小工作量小。4.2.5半周绝对值积分算法半周绝对值积分算法19/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.6 4.2.6 频率算法频率算法指的是用采样值计算交流信号频率的方法指的是用采样值计算交流信号频率的方法。(4-55)设采样频率为设采样频率为6

24、00Hz600Hz，则电压的采样值为：，则电压的采样值为：(4-54)则有：则有：(4-51)(4-52)(4-53)从而可求出：从而可求出：4.2.6频率算法频率算法20/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology(4-56)为使计算更为精确，采样信号最好用线电压。例如，对于一个为使计算更为精确，采样信号最好用线电压。例如，对于一个频率为频率为45Hz45Hz的交流信号按的交流信号按 进行采样，取进

25、行采样，取 ，得得 当：当：时，时，f=50Hz 当：当：时，时，f=050Hz之间之间 当：当：时，时，f=50100Hz之间之间 4.2.6频率算法频率算法21/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.7 4.2.7 算法中的平均值、差分值的误差分析算法中的平均值、差分值的误差分析从算法的原理中我们知道，在实际应用的数值计算中，经常会从算法的原理中我们知道，在实际应用的数值计算中，经常会

26、遇到通过采样值求瞬时值、微分值和积分值的。遇到通过采样值求瞬时值、微分值和积分值的。常用方法是：用常用方法是：用平均值代替瞬时值平均值代替瞬时值，用，用差分近似代替微分差分近似代替微分，用，用梯形法或矩形法则近似求积分梯形法或矩形法则近似求积分。设信号为设信号为:(4-57)4.2.7 算法误差分析算法误差分析经采样后，就可以得到两个采样值经采样后，就可以得到两个采样值 和和 的两个采样值的两个采样值（其中时刻位于（其中时刻位于 和和 采样时刻的中间，如图采样时刻的中间，如图4-364-36所示所示 。22/862023/9/14Xian University of Science and T

27、echnology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology表达式：表达式：(4-58)(4-59)1 1 由平均值求瞬时值的误差分析由平均值求瞬时值的误差分析(4-60)显然，显然，平均值平均值与与瞬时值瞬时值之间也仅相差一个系数之间也仅相差一个系数 ，且这个系数只与角频率和采样时间有关。可以进行无误差地修正。且这个系数只与角频率和采样时间有关。可以进行无误差地修正。4.2.7 算法误差分析算法误差分析23/862023/9/14Xian University of Science and Techn

28、ology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology通过式（通过式（4-604-60）可知，对于单一的纯正弦信号，可以由平均值）可知，对于单一的纯正弦信号，可以由平均值求出准确的瞬时值。具体计算公式为：求出准确的瞬时值。具体计算公式为：(4-61)式中，式中，为常数。为常数。4.2.7 算法误差分析算法误差分析24/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University o

29、f Science and Technology2 2 由差分值求微分值的误差分析由差分值求微分值的误差分析设信号表达式为：设信号表达式为：(4-62)于是：于是：显然，差分值与微分值之间也仅相差一个系数显然，差分值与微分值之间也仅相差一个系数 ，且这个系数只与角频率和采样时间有关。可以进行无误差地修正。且这个系数只与角频率和采样时间有关。可以进行无误差地修正。4.2.7 算法误差分析算法误差分析25/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of

30、Science and Technology由此可以看出，由此可以看出，和和 二者之间仅相差一个系数二者之间仅相差一个系数 。这是一个与时刻。这是一个与时刻t t和初相角和初相角 无关的参数，仅与角频率无关的参数，仅与角频率 和采样和采样间隔间隔 有关。有关。因此，通过式因此，通过式（4-60）可知，对于单一的纯正弦信号，可以由可知，对于单一的纯正弦信号，可以由平均值求出准确的瞬时值。具体计算公式为平均值求出准确的瞬时值。具体计算公式为：(4-63)式中，式中，为常数。为常数。4.2.7 算法误差分析算法误差分析26/862023/9/14Xian University of Science

31、and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology4.3.1 4.3.1 周期函数的傅立叶级数与各次谐波关系周期函数的傅立叶级数与各次谐波关系傅氏算法假定被采样信号是一个周期性时间函数，除傅氏算法假定被采样信号是一个周期性时间函数，除基波基波外还外还含有不衰减的含有不衰减的直流分量直流分量和和各次谐波各次谐波。(4-65)设该周期信号为：设该周期信号为：(4-64)m m次谐波为：次谐波为：其中其中 为直流分量，为直流分量，为为m m次谐波，次谐波，m m取自然数。取自然数。其中：其

32、中：(4-67)(4-66)和和 分别为正弦分量和余弦分量系数。分别为正弦分量和余弦分量系数。4.3.1傅立叶级数与各次谐波关系傅立叶级数与各次谐波关系27/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology(4-69)(4-68)有了有了 和和 ，就可以计算出，就可以计算出m m次谐波的次谐波的幅值幅值和和相位相位：m次谐波分量的复数形式为次谐波分量的复数形式为：(4-70)(4-71)将式将式（4-65）

33、代入式代入式（4-62）中，有：中，有：4.3.1傅立叶级数与各次谐波关系傅立叶级数与各次谐波关系28/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology4.3.2 4.3.2 全波傅立叶算法全波傅立叶算法1.全波傅里叶算法的原理全波傅里叶算法的原理当已知周期函数当已知周期函数 时，其时，其m m次谐波的正、余弦系数为：次谐波的正、余弦系数为：(4-74)(4-72)基波分量的正、余弦分量的系数为：基波分量的

34、正、余弦分量的系数为：(4-75)(4-73)4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法29/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology矩形法计算正弦和余弦分量的系数矩形法计算正弦和余弦分量的系数.(4-77)(4-76)基波分量基波分量的正、余弦分量的系数为：的正、余弦分量的系数为：则，则，m m次次谐波分量谐波分量的正、余弦分量的系数为：的正、余弦分量的系数为：其中，其中，为采样间隔，为采样间隔，为一

35、个采样时间对应的相角为一个采样时间对应的相角。4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法30/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology式（式（4-764-76）和式（）和式（4-774-77）可写为另一种形式：）可写为另一种形式：(4-79)(4-78)则基波分量的则基波分量的复数形式复数形式为：为：(4-81)(4-80)4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法31/862023/9/14Xian Un

36、iversity of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology计算出各基波电流、电压的正弦和余弦系数计算出各基波电流、电压的正弦和余弦系数 、后，后，可以计算可以计算阻抗阻抗。(4-84)(4-82)(4-83)4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法32/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Scien

37、ce and Technology2.2.全波傅立叶算法的滤波特性全波傅立叶算法的滤波特性傅氏方法也是一种傅氏方法也是一种滤波方法滤波方法。根据式（根据式（4-78）和（）和（4-79）基波分量在第）基波分量在第n点傅里叶正弦和余弦点傅里叶正弦和余弦项系数可表示为：项系数可表示为：(4-87)Z Z变换：变换：(4-88)4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法33/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technol

38、ogy因此，傅立叶正、余弦系数的因此，傅立叶正、余弦系数的单位冲激响应序列单位冲激响应序列为：为：(4-91)(4-90)正、余弦系数正、余弦系数频率特性频率特性如图如图4-414-41和图和图4-424-42所示。所示。图图4-414-41正弦项系数频率特性正弦项系数频率特性 图图4-424-42余弦项系数频率特性余弦项系数频率特性4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法34/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and T

39、echnology令电压输入信号为：令电压输入信号为：(4-91)(4-90)则第则第k k个采样值为：个采样值为：相对频率相对频率 的的幅频特性幅频特性定义为：定义为：不同初相角时傅立叶算法的幅频特性，如图不同初相角时傅立叶算法的幅频特性，如图4-434-43所示：所示：4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法35/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology可见，此算法可以完全滤除直流分量，但不能滤除

40、非整次谐波分量。可见，此算法可以完全滤除直流分量，但不能滤除非整次谐波分量。不同初相角时，对于基波、直流分量和各整次谐波分量的频率响应相同。不同初相角时，对于基波、直流分量和各整次谐波分量的频率响应相同。图图4-434-43全波傅立叶算法频率特性全波傅立叶算法频率特性4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法36/8637/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology4.3.3 4.3.3 半波傅立叶算法半

41、波傅立叶算法1.1.半波傅立叶算法原理半波傅立叶算法原理仅用半周波的数据计算信号的仅用半周波的数据计算信号的幅值幅值和和相角相角。针对基波分量，计。针对基波分量，计算正弦和余弦系数的矩形方法如下：算正弦和余弦系数的矩形方法如下：(4-87)(4-88)4.3.3半波半波傅立叶算法傅立叶算法2023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology当当 N=12 N=12时，上式为：时，上式为：(4-87)(4-88)同样

42、，求出同样，求出 和和 后，就可以通过式（后，就可以通过式（4-824-82）式（）式（4-834-83）和）和式（式（4-844-84）求出信号的）求出信号的有效值有效值和和相角相角。2.2.全波傅里叶算法的滤波特性全波傅里叶算法的滤波特性根据式（根据式（4-95）和（）和（4-96）基波分量在第）基波分量在第n点傅里叶正弦和余弦点傅里叶正弦和余弦项系数可表示为：项系数可表示为：4.3.3半波半波傅立叶算法傅立叶算法38/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian Uni

43、versity of Science and Technology(4-87)Z Z变换：变换：(4-88)(4-91)(4-90)因此，半波傅立叶正、余弦系数的因此，半波傅立叶正、余弦系数的单位冲激响应序列单位冲激响应序列为：为：4.3.3半波半波傅立叶算法傅立叶算法39/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology半波傅里叶算法正、余弦系数半波傅里叶算法正、余弦系数频率特性频率特性如图如图4-484

44、-48和和4-494-49所示所示：图图4-48 4-48 正弦项系数频率特性正弦项系数频率特性 图图4-49 4-49 余弦项系数频率特性余弦项系数频率特性4.3.3半波半波傅立叶算法傅立叶算法40/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology图图4-504-50半波傅里叶算法频率特性半波傅里叶算法频率特性4.3.3半波半波傅立叶算法傅立叶算法41/862023/9/14Xian University

45、 of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology3.3.全波傅里叶算法与半波傅里叶算法的比较分析全波傅里叶算法与半波傅里叶算法的比较分析半周傅氏算法在故障后半周傅氏算法在故障后10ms即可进行计算，因而使保护的动作即可进行计算，因而使保护的动作时间减少了半个周期。时间减少了半个周期。从滤波效果来看，全波傅氏算法不仅能完全滤出各次谐波分量从滤波效果来看，全波傅氏算法不仅能完全滤出各次谐波分量和稳定的直流分量，和稳定的直流分量，而且能较好地滤出高频分量而且能较好

46、地滤出高频分量半波傅氏算法的滤半波傅氏算法的滤波效果不如全波算法，它不能滤去直流分量和偶次谐波。波效果不如全波算法，它不能滤去直流分量和偶次谐波。从精度来看，当故障发生半周后，半波算法即可计算出真值，从精度来看，当故障发生半周后，半波算法即可计算出真值，但精度差；全波傅氏算法在故障发生一周后才能计算出真值，精度但精度差；全波傅氏算法在故障发生一周后才能计算出真值，精度较半波好。较半波好。由图由图4-504-50可见，半波傅立叶算法可以完全滤除奇次谐波分量，可见，半波傅立叶算法可以完全滤除奇次谐波分量，但不能滤除直流分量、偶次谐波分量和非整次谐波分量。不同初相但不能滤除直流分量、偶次谐波分量和非

47、整次谐波分量。不同初相角时，对于基波和奇次谐波分量的频率响应相同。角时，对于基波和奇次谐波分量的频率响应相同。4.3.3半波半波傅立叶算法傅立叶算法42/864.4 4.4 基于非周期信号模型的基于非周期信号模型的R-LR-L模型算法模型算法4.4.1 4.4.1 线路的线路的R-LR-L模型模型 R-L R-L模型算法仅用于计算线路阻抗，用于距离保护。因而从模型算法仅用于计算线路阻抗，用于距离保护。因而从故障点到保护安装处的线路段可用一电阻和电感的串联来表示，故障点到保护安装处的线路段可用一电阻和电感的串联来表示，即将输电线路等效为即将输电线路等效为R-LR-L简化模型。这样，在短路时，母线

48、电压简化模型。这样，在短路时，母线电压u u和流过保护的电流和流过保护的电流i i与线路的电阻与线路的电阻R1R1和电感和电感L1L1之间有下列方程成之间有下列方程成立立 (4-104)式中：式中：、分别为故障点至保护安装处线路段的正序电阻和分别为故障点至保护安装处线路段的正序电阻和电感；电感；、分别为保护安装处的电压、电流（下面为了简分别为保护安装处的电压、电流（下面为了简便起见，省略掉时间符号便起见，省略掉时间符号t t）式（式（4-854-85）中的）中的u u、i i和和 都是可以测量和计算的，未知数为都是可以测量和计算的，未知数为 和和 。解此微分方程有微分法和积分法两种途径。解此微

49、分方程有微分法和积分法两种途径。4.4.14.4.143/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.4 4.4 基于非周期信号模型的基于非周期信号模型的R-LR-L模型算法模型算法4.4.2 R-L4.4.2 R-L模型的微分算法模型的微分算法1.R-L1.R-L模型微分算法原理模型微分算法原理 如果在两个时刻如果在两个时刻 和和 分别测量分别测量 、和和 ，就可以得到，就可以得到两个独立的方程两个独立的方程 (4-105)(4-105)(4-106)(4-106)式中，式中，D D表示表示 ，下标，下标“1 1”和和“2 2”

50、分别表示测量时刻分别表示测量时刻 和和 。为了满足独立方程的需要，要求为了满足独立方程的需要，要求 。联立解以上两式，即可求得两个未知数联立解以上两式，即可求得两个未知数 和和 。(4-107)(4-107)(4-108)(4-108)4.4.4.4.2 244/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.4 4.4 基于非周期信号模型的基于非周期信号模型的R-LR-L模型算法模型算法 在用计算机处理时，电流的导数可用差分来近似计算，最在用计算机处理时，电流的导数可用差分来近似计算，最简单的方法是取简单的方法是取 和和 分别为两个

51、相邻的采样瞬间的中间值分别为两个相邻的采样瞬间的中间值（如图（如图4-514-51所示），于是近似有所示），于是近似有电流、电压取相邻采样的平均值，有电流、电压取相邻采样的平均值，有 (4-112)(4-112)(4-(4-109)109)(4-(4-110)110)(4-111)(4-111)(4-113)(4-113)(4-114)(4-114)4.4.4.4.2 245/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.4 4.4 基于非周期信号模型的基于非周期信号模型的R-LR-L模型算法模型算法4.4.3 R-L4.4.3 R

52、-L模型的积分算法模型的积分算法 积分算法是将式（积分算法是将式（4-1044-104）分别在两个不同的时间段内积）分别在两个不同的时间段内积分，而得到两个独立的方程分，而得到两个独立的方程 (4-115)(4-115)(4-116)(4-116)式（式（4-1154-115）及式（）及式（4-1164-116）中为积分时间长度，和则为两）中为积分时间长度，和则为两个不同的积分起始时刻。以上两积分式中个不同的积分起始时刻。以上两积分式中 (4-117)(4-117)(4-118)(4-118)4.4.4.4.3 346/862023/9/14Xian University of Science

53、 and Technology4.4 4.4 基于非周期信号模型的基于非周期信号模型的R-LR-L模型算法模型算法 其余各项积分在用计算机处理时可用梯形法或矩形法近似其余各项积分在用计算机处理时可用梯形法或矩形法近似求得，设计算结果分别为求得，设计算结果分别为 、则式（则式（4-1174-117）和式（）和式（4-4-118118）为）为 (4-119)(4-119)(4-120)(4-120)求得两个未知数求得两个未知数 和和 为为(4-121)(4-121)(4-(4-122)122)4.4.4.4.3 347/862023/9/14Xian University of Science a

54、nd Technology4.4 4.4 基于非周期信号模型的基于非周期信号模型的R-LR-L模型算法模型算法4.4.4 R-L4.4.4 R-L模型算法特点模型算法特点 1.1.R-LR-L模型算法不仅基波分量适用，而且在相当宽的一个频模型算法不仅基波分量适用，而且在相当宽的一个频带内都适用。带内都适用。2.2.R-LR-L模型算法不需要用滤波器滤除非周期分量。模型算法不需要用滤波器滤除非周期分量。3.3.R-LR-L模型算法不受电网频率变化的影响。模型算法不受电网频率变化的影响。4.4.R-LR-L模型算法与导数算法的比较模型算法与导数算法的比较:R-LR-L模型算法只需要求电模型算法只需

55、要求电流的导数，而导数法还要求电压的导数。流的导数，而导数法还要求电压的导数。4.4.4.4.2 248/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.5 基于随机数学模型的递推最小二乘算法基于随机数学模型的递推最小二乘算法4.5.14.5.1最小二乘的定义最小二乘的定义 最小二乘是系统辨识领域一种基本估计方法。通过估计算最小二乘是系统辨识领域一种基本估计方法。通过估计算法可得到在最小方差意义下上与实验数据最好拟合的数学数学法可得到在最小方差意义下上与实验数据最好拟合的数学数学模型。模型。最小二乘算法有两种基本形式：最小二乘算法有两

56、种基本形式：1.1.一次完成法一次完成法 2.2.递推算法递推算法 递推最小二乘算法是将包含有随机噪声分量的输入信号与递推最小二乘算法是将包含有随机噪声分量的输入信号与一预设的信号模型（拟合函数）按最小二乘原理进行拟合，根一预设的信号模型（拟合函数）按最小二乘原理进行拟合，根据拟合误差最小的原则来确定预设模型中的有关参数。据拟合误差最小的原则来确定预设模型中的有关参数。4.5.14.5.149/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.5 基于随机数学模型的递推最小二乘算法基于随机数学模型的递推最小二乘算法4.5.24.5.2最

57、小二乘算法最小二乘算法 1.1.在线路保护中，采用最小二乘法对基频分量参数进行计算在线路保护中，采用最小二乘法对基频分量参数进行计算时，输入信号的预设模型可选择为时，输入信号的预设模型可选择为:式中式中 ，为非周期分量的初值和衰减时间常数；为非周期分量的初值和衰减时间常数；，为基频分量的初值和相位。为基频分量的初值和相位。将式（将式（4-1234-123）用展开表示为）用展开表示为式中式中 基频分量正弦项系数，基频分量正弦项系数，为基频分为基频分量余弦项系数。量余弦项系数。(4-123)(4-123)(4-124)(4-124)4.5.24.5.250/862023/9/14Xian Univ

58、ersity of Science and Technology包含了故障信号中除基频分量包含了故障信号中除基频分量 4.5 4.5 基于随机数学模型的递推最小二乘算法基于随机数学模型的递推最小二乘算法其中，实际故障信号其中，实际故障信号可视为有预设信号可视为有预设信号与附加的随与附加的随机噪声信号机噪声信号 共同组成，即共同组成，即 或或 式中的随机信号式中的随机信号 和非周期分量之外的其他所有成分。和非周期分量之外的其他所有成分。(4-125)(4-125)将式（将式（4-1254-125）用离散采样值形式表示时有）用离散采样值形式表示时有(4-126)(4-126)4.5.24.5.25

59、1/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.5 4.5 基于随机数学模型的递推最小二乘算法基于随机数学模型的递推最小二乘算法现假设已知得到了现假设已知得到了n n个输入信号的采样值个输入信号的采样值 ，则有：则有：(4-127)(4-127)令令 ，则有：，则有：(4-128)(4-128)4.5.24.5.252/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.5 4.5 基于随机数学模型的递推最小二乘算法基于随机数学模型的递推最小二乘算法 根据最小二乘估计理论的基

60、本原则，以这根据最小二乘估计理论的基本原则，以这n n个采样值确定个采样值确定的有关参数的有关参数 、和和 的最优估计值的最优估计值 、和和 应使得残差平方和达到最小，即应使得残差平方和达到最小，即 或或 (4-129)(4-129)其中其中(4-130)(4-130)可以证明，满足式（可以证明，满足式（4-1294-129）的最小二乘估计值为）的最小二乘估计值为 (4-131)(4-131)其中其中4.5.24.5.253/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.5 基于随机数学模型的递推最小二乘算法基于随机数学模型的递推最

61、小二乘算法2.2.递推最小二乘算法递推最小二乘算法 对于最小二乘算法来说，参数的估计精度与算法所采用的对于最小二乘算法来说，参数的估计精度与算法所采用的采样数目有关，所使用的采样值越多（采样数目有关，所使用的采样值越多（n n值越大），估计精度也值越大），估计精度也就越高。一般实时处理方法是，新增加采样数据后，仅对原有就越高。一般实时处理方法是，新增加采样数据后，仅对原有的估计值进行某些修正，构成递推型的最小二乘算法。的估计值进行某些修正，构成递推型的最小二乘算法。假设新增加的采样数据为假设新增加的采样数据为 ，改进后的参数估计向量，改进后的参数估计向量为为 。由式（。由式（4-1294-12

62、9）有）有 (4-132)(4-132)其中其中令令4.5.24.5.254/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.5 基于随机数学模型的递推最小二乘算法基于随机数学模型的递推最小二乘算法3 3.递推最小二乘法特点递推最小二乘法特点 突出优点：具有可变的数据窗，它的数据窗长度将随着采突出优点：具有可变的数据窗，它的数据窗长度将随着采样值的增多而自动延长，参数的估计精度也随之逐步提高。样值的增多而自动延长，参数的估计精度也随之逐步提高。其次，计算简便、收敛速度快、收敛过程稳定。其次，计算简便、收敛速度快、收敛过程稳定。因此，可

63、较好地满足不同场合对参数计算精度和计算素速因此，可较好地满足不同场合对参数计算精度和计算素速度的不同要求。此外，该算法对非周期分量和各种高频分量具度的不同要求。此外，该算法对非周期分量和各种高频分量具有良好的滤波能力，在实际使用中，无需再附加其他的数字滤有良好的滤波能力，在实际使用中，无需再附加其他的数字滤波器。波器。4.5.24.5.255/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.6 4.6 移相算法及滤序算法移相算法及滤序算法4.6.1 4.6.1 移相算法移相算法 1 1 直接移相法直接移相法 设有正弦函数设有正弦函数

64、，要在移相，要在移相 角后得到幅值相同角后得到幅值相同的信号的信号 。当采样周期为。当采样周期为TsTs（一周波采样点数为（一周波采样点数为N N），原正弦信号在），原正弦信号在n+kn+k点的离散化形式为：点的离散化形式为：移相信号在移相信号在n n点的离散化形式为点的离散化形式为 (4-137)(4-137)取时取时 ，得到移相表达式：，得到移相表达式：(4-13(4-138 8)(4-(4-136)136)4.6.1 4.6.1 移相算法移相算法56/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.6 4.6 移相算法及滤序算法

65、移相算法及滤序算法 根据矩阵求逆公式有根据矩阵求逆公式有 (4-133)(4-133)将上式带入式（将上式带入式（4-1324-132），并经过整理后，可得到具有递推），并经过整理后，可得到具有递推计算形式的最小二乘估计方程为计算形式的最小二乘估计方程为 (4-134)(4-134)其中其中 (4-135)(4-135)从式（从式（4-1344-134）可以看出，新的估计向量）可以看出，新的估计向量 可以由原有可以由原有的估计向量的估计向量 加上一个修正项来得到。修正项比于加上一个修正项来得到。修正项比于 ，而该项实际上反映的是以原有的估计向量对当前采样时刻的，而该项实际上反映的是以原有的估计

66、向量对当前采样时刻的采样值进行预测时所产生的预测误差（拟合误差）。采样值进行预测时所产生的预测误差（拟合误差）。4.6.1 4.6.1 移相算法移相算法57/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.6 4.6 移相算法及滤序算法移相算法及滤序算法 可见，利用式（可见，利用式（4-1384-138）取用不同时刻的采样值可直接移）取用不同时刻的采样值可直接移相，移相的角度为相，移相的角度为 。k k为正整数，为正整数，超前于超前于 （如图（如图4-4-5656）；）；k k为负整数，为负整数，滞后于滞后于 。图图4-56 4-56 直接移相示意图直接移相示意图4.6.1 4.6.1 移相算法移相算法58/862023/9/14Xian University of Science and Technology4.6 4.6 移相算法及滤序算法移相算法及滤序算法2 2 差分移相法差分移相法 设有正弦函数设有正弦函数 ，要在移相，要在移相 角后得到角后得到 取取 在在n n和和n-kn-k点的采样值点的采样值 和和 做差分计算做