A3(第九章第1、2、3节)

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1、高高等等数数学学 A A三三TelTel:66132415:66132415崔洪泉崔洪泉崔洪泉崔洪泉 FF-608608第九章第九章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何1 1 1 1 向量及其线性运算向量及其线性运算向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量概念一、向量概念有向线段有向线段箭头所指的方向就是向量的方向。箭头所指的方向就是向量的方向。向量：向量：向量：向量：向量：向量：有大小也有方向的量。有大小也有方向的量。一向量起点一向量起点 M1，终点终点 M2，M1M2aM1M2则则向量可向量可用用有向有向线段线段或或 a 表示。表示。有向线段有向线段的长度表示的长度表示 M1M2

2、 的大小的大小，称为称为记为记为 M1M2 或或 向量的模向量的模,零向量零向量零向量零向量零向量零向量：单位向量单位向量单位向量单位向量单位向量单位向量：平行向量平行向量平行向量平行向量平行向量平行向量：相等向量相等向量相等向量相等向量相等向量相等向量：自由向量自由向量自由向量自由向量自由向量自由向量：模为模为 1 的向量的向量，记为记为 a 0 或或 M1M20。模为模为 0 的向量，的向量，记为记为 0.与始点位置无关的向量。与始点位置无关的向量。可保持大小、方向不变进行平移。可保持大小、方向不变进行平移。以下研究的向量均为自由向量。以下研究的向量均为自由向量。两向量的方向相同或相反。两

3、向量的方向相同或相反。a/b .且且方向一致方向一致。同理可同理可定义多个定义多个向量共面向量共面向量共面向量共面。平行向量也称平行向量也称平行向量也称平行向量也称共线向量共线向量共线向量共线向量。向量夹角向量夹角向量夹角向量夹角向量夹角向量夹角：s把把其中一向量绕其中一向量绕 s 旋转，使其方向旋转，使其方向与另一与另一向量的向量的方方向重合，这个旋转向重合，这个旋转的的角度角度 ，显然，显然，记作记作或或若把一条轴若把一条轴 u 看作向量看作向量，类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴 u 的夹角的夹角或空间两轴或空间两轴 u1,u2 的夹角的夹角空间一点空间一点空间一点空间一点空间一点空间

4、一点 A A A 在轴在轴在轴在轴在轴在轴 u u u 上的投影上的投影上的投影上的投影上的投影上的投影:过过点点 A 作垂直于轴作垂直于轴 u 的平面的平面,则平面与轴则平面与轴 u 的交点的交点 A称为点称为点 A 在轴在轴 u 上的投影上的投影。.A.Au向量向量向量向量向量向量 ABABAB 在轴在轴在轴在轴在轴在轴 u u u 上的投影上的投影上的投影上的投影上的投影上的投影:向量向量 AB 的起点的起点 A 与终点与终点 B 在轴在轴 u 上的投影上的投影AB 在轴在轴 u 上的上的投影向量投影向量。u.A.B为为 A 与与 B,则则 AB 称为称为记为记为AB 的值的值称为称为

5、AB 在轴在轴 u上的投影上的投影。取正；取正；取负。取负。记作记作,轴轴 u 称为称为投影轴投影轴投影轴投影轴。定理定理定理定理定理定理1 1 1 1 1 1：uA.B 投影定理投影定理投影定理投影定理投影定理投影定理u 与与平行四边形法则平行四边形法则平行四边形法则平行四边形法则。二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.加减法加减法加减法加减法三角形法则三角形法则三角形法则三角形法则向量的加法运算满足交换律与结合律。向量的加法运算满足交换律与结合律。n 个向量的相加可记为个向量的相加可记为如三个如三个向量的相加向量的相加 类似方法可以定义类似方法可以定义类似方法可以定义类似方法可以定义两个

6、向量的减法两个向量的减法两个向量的减法两个向量的减法。2.数乘数乘数乘数乘(仍是一向量仍是一向量)向量数乘满足结合律与分配律。向量数乘满足结合律与分配律。三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，点点 M1(x1,y1),xyM1(x1,y1).M2(x2,y2).M1M2x2 x1 为为 在在 x 轴上的轴上的投影投影投影投影或或坐标坐标坐标坐标 M1M2y2 y1 为为 在在 y 轴上的轴上的投影投影投影投影或或坐标坐标坐标坐标 M1M2x1x2y1y2 M2(x2,y2),M1M2 平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式平面两点间的

7、距离公式平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式称为称为向量向量向量向量 的坐标表达式的坐标表达式的坐标表达式的坐标表达式，M1M2称为称为向量向量向量向量 按按按按基本单位基本单位向量向量向量向量的分解式的分解式的分解式的分解式。M1M2由三条互相垂直的数轴按右手由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o,坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面面 空间直角坐标系空间直角坐标系 向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点坐标轴上的点

8、P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标:有序数组有序数组(称为点称为点 M 的坐标的坐标)原点原点 O(0,0,0);在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中:向量向量 M1M2点点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)在在 x 轴上的投影为轴上的投影为:在在 y 轴上的投影为轴上的投影为:在在 z 轴上的投影为轴上的投影为:M1M2xyz0M2(x2,y2,z2)M1(x1,y1,z1)M1M2坐标坐标坐标坐标。分分分分向量向量向量向量或或或或投影向量投影向量投影向量投影向量。数量数量数量数量 向量向量向量向量方向角方向角方向角方向角。方向

9、余弦方向余弦方向余弦方向余弦。方向余弦方向余弦方向余弦方向余弦：由由投影定理，投影定理，为为为为方向余弦的坐标表示式。方向余弦的坐标表示式。方向余弦的坐标表示式。方向余弦的坐标表示式。满足：满足：满足：满足：利用坐标进行向量的加减法和数乘运算：利用坐标进行向量的加减法和数乘运算：定义了向量的加法和数乘运算后，定义了向量的加法和数乘运算后，可以证明可以证明投影定理投影定理投影定理投影定理的推广形式：的推广形式：的推广形式：的推广形式：定理定理定理定理定理定理2 2 2 2 2 2：定理定理定理定理定理定理3 3 3 3 3 3：有关向量的一些结论：有关向量的一些结论：有关向量的一些结论：有关向量

10、的一些结论：有关向量的一些结论：有关向量的一些结论：(1)向量数乘满足消去律向量数乘满足消去律：(3)例例 题题例例例例1 1：解：解：解：解：记为记为例例2：已知两点：已知两点 和和以及实数以及实数 在直线在直线 AB 上求点上求点 M，使使xyzAMB0解：解：解：解：如图所如图所示，示，因此因此从而从而由于由于因为因为所以所以即即M点坐标为点坐标为定比分点定比分点定比分点定比分点课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题 9 1(A)9 1(A)3,5,8,9,11 习题习题习题习题 9 1(B)9 1(B)2,3一、向量的数量积一、向量的数量积 向量的数量积与向量积是向量

11、特有的运算向量的数量积与向量积是向量特有的运算,它们并不是凭空想象出来的它们并不是凭空想象出来的,而是从物理模型中而是从物理模型中抽象出来的抽象出来的,有它们各自的实际意义。有它们各自的实际意义。例：例：例：例：力对物体所力对物体所作的功作的功 2 2 2 2 向量的向量的向量的向量的数量积数量积数量积数量积 向量积向量积向量积向量积 混合积混合积混合积混合积W=1.定义定义定义定义，数量积又称为数量积又称为点积点积点积点积或或内积内积内积内积。的的乘积，乘积，数量积数量积数量积数量积。记作记作即即说明：说明：说明：说明：数量积是一个数量数量积是一个数量（而不是向量而不是向量）。）。(1)(2

12、)数量积的正负取决于数量积的正负取决于(3)前例中的功可表示为前例中的功可表示为2.几何意义几何意义几何意义几何意义由此又得到由此又得到投影公式投影公式投影公式投影公式：同理，同理，一个向量的模和另一个向量在这个向一个向量的模和另一个向量在这个向一个向量的模和另一个向量在这个向一个向量的模和另一个向量在这个向数量积的几何意义：数量积的几何意义：数量积的几何意义：数量积的几何意义：量方向上的投影的乘积。量方向上的投影的乘积。量方向上的投影的乘积。量方向上的投影的乘积。3.基本性质及其运算规律基本性质及其运算规律基本性质及其运算规律基本性质及其运算规律性质性质性质性质性质性质：(1)(2)注：注：

13、零零向量方向任意向量方向任意,可可省略省略。(3)基本单位向量的基本单位向量的正交性正交性正交性正交性=1，=0.记为记为运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律运算规律交换律交换律交换律交换律交换律交换律分配律分配律分配律分配律分配律分配律结合律结合律结合律结合律结合律结合律注意注意注意注意注意注意：数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律。也也不一定有不一定有下例就下例就可以说明这种情况：可以说明这种情况：4.数量积的坐标表示法数量积的坐标表示法数量积的坐标表示法数量积的坐标表示法由此可得：由此可得

14、：=的三个的三个方向角，方向角，的三个的三个方向角，方向角，显然，显然，例例 题题例例1 1.已知已知求向量求向量与与的的夹角。夹角。解：解：解：解：例例2.应用向量证明不等式应用向量证明不等式：的条件。的条件。证：证：证：证：即：即：并并指出等号成立指出等号成立当且仅当当且仅当时时等号成立等号成立。即即课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题 9 2(A)9 2(A)1,3,4 习题习题习题习题 9 2(B)9 2(B)5,8,11二、向量的向量积二、向量的向量积二、向量的向量积二、向量的向量积向量积是两个向量的又一种乘积，也是向量积是两个向量的又一种乘积，也是向量特有的运算

15、向量特有的运算,也有其物理模型：也有其物理模型：设设 O 为杠杆为杠杆 L 的支点的支点，L有一个力有一个力 F 作用于杆上作用于杆上 P 点点，PO则力则力 F 对支点对支点 O 所产生所产生的力矩为一向量的力矩为一向量 M，H的大小的乘积的大小的乘积的大小的乘积的大小的乘积。其大小等于其大小等于其大小等于其大小等于其大小等于其大小等于O O O点到点到点到点到点到点到 F F F 的的的的的的作用线作用线作用线作用线的距离的距离的距离的距离的距离的距离 OH OH OH 与力与力与力与力与力与力 F F F在实际中是非常有用的在实际中是非常有用的在实际中是非常有用的在实际中是非常有用的。即

16、右手四指从即右手四指从 OP 握向握向 F 时时,大拇指的指向大拇指的指向为为 M 的正向的正向。显然，力矩向量显然，力矩向量 M 由由 OP 与与 F 完全确定完全确定。这样由两个向量来确定另一个向量的法则这样由两个向量来确定另一个向量的法则这样由两个向量来确定另一个向量的法则这样由两个向量来确定另一个向量的法则FPM1 1 1 1、定义定义定义定义定义定义按按下列规则确定新向量下列规则确定新向量 c:(1)(2)向量积向量积向量积向量积，记作记作,向量积又称为向量积又称为叉积叉积叉积叉积或或外积外积外积外积。按按“右手法则右手法则”垂直于垂直于 所在平面的所在平面的单位向量。单位向量。2

17、2 2 2、几何意义几何意义几何意义几何意义几何意义几何意义(1)向量积向量积平行四边形的面积。平行四边形的面积。显然，显然，(2)按按“右手法则右手法则”垂直于垂直于 所在平面所在平面，若一向量若一向量 c 同时垂直同时垂直 a 与与 b，则必则必有：有：(3)3 3、性质与运算规律性质与运算规律性质与运算规律性质与运算规律性质：性质：性质：性质：性质：性质：(1)=0(2)零向量方向任意零向量方向任意,可省略。可省略。当当时时，(3)基本单位向量的向量积基本单位向量的向量积基本单位向量的向量积基本单位向量的向量积运算规律：运算规律：运算规律：运算规律：运算规律：运算规律：(1)不满足交换律

18、不满足交换律不满足交换律不满足交换律不满足交换律不满足交换律(2)满足分配律满足分配律满足分配律满足分配律满足分配律满足分配律(3)满足结合律满足结合律满足结合律满足结合律满足结合律满足结合律满足反交换律满足反交换律满足反交换律满足反交换律满足反交换律满足反交换律注：向量的向量积不满足消去律注：向量的向量积不满足消去律例如，例如，但但4 4 4 4、向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法向量积的坐标表示法 补充：有关行列式的计算补充：有关行列式的计算补充：有关行列式的计算补充：有关行列式的计算法法 1：法法 2：行列式的有关性质：行列式的有关

19、性质：_例例 题题 例例1:(4)以以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积 S。解：解：解：解：(1)1 0 -1-1 -2 1(2)(3)(4)求此三角形的面积求此三角形的面积,AB 上的高及上的高及 A 的正弦的正弦。例例2:已知三角形已知三角形 ABC 的顶点坐标为的顶点坐标为A(1,2,0),B(3,0,-3),C(5,2,6)，解：解：解：解：ABC？ABC求求 AB上的高及上的高及 A的正弦的正弦。AB上的高上的高 hh=14，例例3：解：解：解：解：例例4：求证求证：A,B,D 共线共线。证：证：证：证：分析：分析：分析：分析：即即 A,B,D 共线共线。思

20、思思思 考考考考 题题题题2.下列各式中下列各式中，哪些是向量哪些是向量，哪些是数量哪些是数量，哪些无意义哪些无意义？4.向量向量 0,0,5 与与 2,0,10 是否共线是否共线？否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否否是是是是是是三、向量的混合积三、向量的混合积三、向量的混合积三、向量的混合积1.1.定义定义定义定义定义定义所得数量称为所得数量称为混合积混合积混合积混合积，或或数量三重积数量三重积数量三重积数量三重积，记作，记作2.2.坐标表示式坐标表示式坐标表示式坐标表示式坐标表示式坐标表示式3.几何意义几何意义几何意义几何意义为棱为棱的的平行六面体的体积平行六面体的

21、体积平行六面体的体积平行六面体的体积。h=一般地，有一般地，有一般地，有一般地，有一般地，有一般地，有定理定理定理定理1 1 1 1：三个向量中如果有一个为零向量，：三个向量中如果有一个为零向量，：三个向量中如果有一个为零向量，：三个向量中如果有一个为零向量，或者有两个共线，或者三个共面，或者有两个共线，或者三个共面，或者有两个共线，或者三个共面，或者有两个共线，或者三个共面，则其混合积必为零；反之亦然。则其混合积必为零；反之亦然。则其混合积必为零；反之亦然。则其混合积必为零；反之亦然。定理定理定理定理2 2 2 2：假定三个非零向量中任何两个都：假定三个非零向量中任何两个都：假定三个非零向量

22、中任何两个都：假定三个非零向量中任何两个都 不共线，则其共面的充要条件是不共线，则其共面的充要条件是不共线，则其共面的充要条件是不共线，则其共面的充要条件是 它们的混合积为零。它们的混合积为零。它们的混合积为零。它们的混合积为零。4.混合积的混合积的混合积的混合积的性质性质性质性质(1)(2)(3)(4)(5)轮换对称性轮换对称性例例：已知不在一平面上的四点已知不在一平面上的四点求四面体求四面体 ABCD 的体积。的体积。解：解：解：解：由由立体几何知识知道立体几何知识知道，四面体的体积四面体的体积 V 等于以向量等于以向量 AB、AC 和和 AD 为棱的平行六为棱的平行六面体的体积的六分之一

23、面体的体积的六分之一。所以有所以有上式中上式中符号的选择必须和行列式的符号一致。符号的选择必须和行列式的符号一致。课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题 9 2(A)9 2(A)6,9,13 习题习题习题习题 9 2(B)9 2(B)2,9,10,133.3.3.3.平平平平 面面面面 及及及及 其其其其 方方方方 程程程程一一一一.平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程法向量：法向量：法向量：法向量：由由立体几何知识可知立体几何知识可知：过过一点可作且只能作一张平面垂直于一一点可作且只能作一张平面垂直于一已知直线。已知直线。若一若一非零向量非零向量

24、垂直垂直一平面一平面，则称则称该向量为这平面的法线向量。该向量为这平面的法线向量。所以已知一点与一法向量所以已知一点与一法向量（直线直线）就可就可唯一确定一平面唯一确定一平面。注意：法向量不唯一注意：法向量不唯一注意：法向量不唯一注意：法向量不唯一简称法向量。简称法向量。作作向量向量 已知平面已知平面 上一点上一点 M0(x0,y0,z0)及及平面的法向量平面的法向量建立建立 的方程的方程。xyz.M0在平面上任取一点在平面上任取一点 M(x,y,z),M.显然，显然，=0，即有即有 平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程例：一平面过点例：一平面过点 M(1,0,-1

25、)且平行于向量且平行于向量试试求这个求这个解：解：解：解：所以所求平面方程为：所以所求平面方程为：即即平面方程。平面方程。二二二二.平面的一般式方程平面的一般式方程平面的一般式方程平面的一般式方程由平面的点法式方程的展开式可得由平面的点法式方程的展开式可得:其中其中 A，B，C 不同时为零不同时为零任一平面都可用点法式方程来表示任一平面都可用点法式方程来表示，反之反之,设有三元一次方程设有三元一次方程 以上两式相减以上两式相减,得平面的点法式方程得平面的点法式方程程称为平面的一般式方程程称为平面的一般式方程.任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数则则显然方程显然方程(*)与此点法式方

26、程等与此点法式方程等价价,的平面的平面,此方此方因此方程因此方程(*)的图形是法向量为的图形是法向量为 任意一个三元一次方程都表示一个平面。任意一个三元一次方程都表示一个平面。任意一个三元一次方程都表示一个平面。任意一个三元一次方程都表示一个平面。任意一个三元一次方程都表示一个平面。任意一个三元一次方程都表示一个平面。反之反之,设有三元一次方程设有三元一次方程 (*)例：求过三点例：求过三点的的平面方程。平面方程。解一：解一：解一：解一：设所求设所求平面方程为平面方程为则则所以所以即即解二：解二：解二：解二：所以所求平面方程为：所以所求平面方程为：即即先求先求平面的法向量平面的法向量此平面的此

27、平面的方程方程也可写成也可写成 一般情况一般情况:过三点过三点的的平面方程可表示为平面方程可表示为说明说明说明说明:平面一般式方程的几种特殊情形：平面一般式方程的几种特殊情形：平面一般式方程的几种特殊情形：平面一般式方程的几种特殊情形：若若 D=0，表示一通过原点的平面。表示一通过原点的平面。现在考虑现在考虑 A，B，C，D 中有一些为零的情形：中有一些为零的情形：若若 C=0，xyz 表示一平行于表示一平行于 z 轴的平面轴的平面同理，同理，B=0A=0 若若 A=B=0，xyz 表示一平行于表示一平行于xoy 平平面的平面面的平面。同理，同理，/yoz 平面平面/xoz 平面平面若若 B=

28、C=0，若若 A=C=0，平面过平面过 x 轴，轴，若若 A=D=0，若若 B=D=0，平面过平面过 y 轴，轴，若若 C=D=0，平面过平面过 z 轴，轴，若若 A=B=D=0，同理，同理，若若 A=C=D=0，若若 B=C=D=0，归纳起来，得：归纳起来，得：（1）在平面的一般方程中，如果常数在平面的一般方程中，如果常数 项不是零，且缺一个变量，则平面一项不是零，且缺一个变量，则平面一 定平行于该变量所对应的坐标轴；如定平行于该变量所对应的坐标轴；如 果缺两个变量，则平面一定平行于该果缺两个变量，则平面一定平行于该 两个变量所对应的坐标面。两个变量所对应的坐标面。（2）在平面的一般方程中，

29、如果常数在平面的一般方程中，如果常数 项是零，且缺一个变量，则平面一定项是零，且缺一个变量，则平面一定 过该变量所对应的坐标轴；如果缺两过该变量所对应的坐标轴；如果缺两 个变量，则平面一定是这两个变量所个变量，则平面一定是这两个变量所 对应的坐标面。对应的坐标面。例：例：例：例：已知一平面平行于已知一平面平行于 x 轴且经过两点轴且经过两点解：解：解：解：设所求设所求平面方程为：平面方程为：则则所以所以即即因为平面经过两点因为平面经过两点(4,0,-2)和和(5,1,7)，(4,0,-2)和和(5,1,7)，求此平面方程求此平面方程。例：例：例：例：求通过求通过 x 轴和点轴和点(4,-3,-

30、1)的平面方程的平面方程。解：解：解：解：设所求设所求平面方程为平面方程为则则所以所以则则所以所求平面方程为所以所求平面方程为因为平面通过点因为平面通过点(4,-3,-1)，平面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式方程设一设一平面与平面与 x,y,z 三轴分别交于三轴分别交于求此求此平面方程。平面方程。abc分别将三点代入平面一般式方程分别将三点代入平面一般式方程xyzPQR 平面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式方程其中其中 a,b,c 分别称为平面在分别称为平面在 x,y,z 轴上的截距。轴上的截距。注意：注意：注意：注意：过过过过原点或平行于坐标

31、面的平面无截原点或平行于坐标面的平面无截原点或平行于坐标面的平面无截原点或平行于坐标面的平面无截距式方程形式。距式方程形式。距式方程形式。距式方程形式。例例 题题 例例例例：解一：解一：解一：解一：设设平面上一点平面上一点则三向量则三向量共面，共面，即为所求即为所求方程。方程。x y z1 1 12 4 -3解解解解二：二：二：二：为为平面上两向量，平面上两向量，则则平面上法向量平面上法向量即为所求方程。即为所求方程。三、有关平面的一些问题三、有关平面的一些问题三、有关平面的一些问题三、有关平面的一些问题1.1.1.两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角两两两

32、两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。（通常指锐角通常指锐角通常指锐角通常指锐角，包括零度角或直角包括零度角或直角包括零度角或直角包括零度角或直角）例：例：例：例：求平面求平面与与 xoy 坐标面的夹角坐标面的夹角。解：解：解：解：所以所求夹角的余弦为所以所求夹角的余弦为所以所以两平面的位置关系：两平面的位置关系：两平面的位置关系：两平面的位置关系：但不但不重合。重合。例：例：例：例：一平面通过两点一平面通过两点与与且且垂直于平面垂直于平面，求求它的方程它的方程。解：解：解：解：设所求设

33、所求平面的方程为平面的方程为过点过点所以所以又与又与已知平面垂直，已知平面垂直，而而已知平面的已知平面的所以所以即即由由(1),(2)得得所以所以即即例：例：例：例：求过点求过点且与且与平面平面平行的平面方程。平行的平面方程。解：解：解：解：设所设所求求平面的法向量为平面的法向量为因为与已知平面平行，因为与已知平面平行，取取则则则则所求平面方程为所求平面方程为即即 2.2.点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题 9 3(A)9 3(A)3,6,8(1,2),11(2,3)习题习题习题习题 9 3(B)9 3(B)3,4,6