6.5同构及同态

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1、6.5同构及同态同构及同态6.5.1同同态态映映射射6.5.2同同构构映映射射6.5.3同同态态核核16.5.1同同态态映映射射v定定义义.设设G是是一一个个群群，K是是一一个个乘乘法法系系统统，G到到K的一个映射的一个映射说是一个同态映射，如果说是一个同态映射，如果(ab)=(a)(b)v例例.设设(G，*)，(K，+)是两个群，令是两个群，令：xe，xG，其中其中e是是K的单位元。的单位元。则则是是G到到K内的映射，且对内的映射，且对a,bG，有有(a*b)=e=(a)+(b)。即，即，是是G到到K的同态映射的同态映射.(G)=e是是K的一个子群的一个子群,G(G)。2设设G是一个群，是一

2、个群，是是G到到K中的一个中的一个同态映射，同态映射，G=(G)，则则vG是一个群，是一个群，vG的单位元的单位元1就是就是G的单位元的单位元1的映象的映象(1)，v对任意对任意aG，(a)-1=(a-1)。称称G和和G同态，记为同态，记为GG。定理6.5.13例.设设(Z，+)为为整整数数加加法法群群，(C*，)是是所所有有非非零零复复数数在数的乘法下作成的群，令在数的乘法下作成的群，令：nin，nZ，其中其中i是是C的虚数单位。的虚数单位。则则是是Z到到C*内的一个映射，且对内的一个映射，且对m,nZ，有有(m+n)=im+n=imin=(m)(n)。即，即，是是Z到到C*的同态映射，的同

3、态映射，Z(Z)。(Z)=1，-1，i，-i是是C*的一个子群。的一个子群。4证明(1)因为因为G非空，显然非空，显然G非空非空.(2)设设aG，bG，往证往证abG。因有因有a,bG,使得使得a=(a),b=(b)，故按故按的同态性，的同态性，ab=(a)(b)=(ab)，而而abG,因而因而abG。5(3)往证往证G中有结合律成立：中有结合律成立：设设a，b，cG，往证往证a(bc)=(ab)c。有有a,b,cG,使得使得a=(a),b=(b),c=(c)，因群因群G中有结合律成立中有结合律成立,所以所以a(bc)=(ab)c。于是于是(a(bc)=(ab)c)。按按的同态性，的同态性，a

4、(bc)=(a)(b)(c)=(a(bc)(ab)c=(a)(b)(c)=(ab)c)因此，因此，a(bc)=(ab)c。6(4)往证往证G有左壹而且就是有左壹而且就是(1)，即证对于任意的即证对于任意的aG，有有(1)a=a。因有因有aG,使得使得a=(a)，按按的同态性的同态性(1)a=(1)(a)=(1a)=(a)=a。(5)往往证证G中中的的任任意意元元素素a有有左左逆逆且且就就是是(a-1)。因因有有aG,使使得得a=(a)，由由的的同同态态性性(a-1)a=(a-1)(a)=(a-1a)=(1)。因此，因此，G做成一个群，做成一个群，G的壹的壹1=(1)，G中中a的逆是的逆是(a-

5、1)。76.5.2 同同 构构 映映 射射 v定义定义.设设G是一个群，是一个群，K是一个乘法系统，是一个乘法系统，是是G到到K内的一个同态映射，如果内的一个同态映射，如果是是G到到(G)上的上的1-1映射，则称映射，则称是同构映射。是同构映射。称称G与与(G)同构，记成同构，记成G(G)。8例：例：设设（R R+，）是是一一切切正正实实数数在在数数的的乘乘法法下下作作成成的的群，（群，（R R，+）是实数加法群。令是实数加法群。令 ：x xlogxlogx，x xR R+，则则是是R R+到到R R上的上的1-11-1映射，且对映射，且对a a，b bR R+，(a ab b)=log=lo

6、g(a ab b)=log a+log b=log a+log b=(a a)+(b b)。故故是是R R+到到R R上的同构映射。上的同构映射。Log xLog x是以是以e e为底的为底的x x的对数，若取的对数，若取(x)=log(x)=log2 2 x x，或若取或若取(x)=log(x)=log10 10 x x，则得到则得到R R+到到R R上的不同上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。是无限多个同构映射。9例：例：（R*，）与（与（R，+）不可能同构。不可能同构。证证明明：用用反反证证法法。假假设设（R*，

7、）与与（R，+）同同构构，可可设设映映射射为为R*到到R上上的的一一个个同同构构映映射射，于于是必有是必有：10，-1a，a0。从而，从而，(1)=(-1)()(-1)=(-1)+(-1)=a+a=2a。则有则有2a=0，a=0，与与a0矛盾。故，原假设不对，矛盾。故，原假设不对，（R*，）与（与（R，+）不可能同构。不可能同构。10例例 无限循环群同构于整数加法群。无限循环群同构于整数加法群。证明：证明：设设G=（g）是无限循环群，是无限循环群，Z为整数为整数加法群，则对加法群，则对aG，nZ，使得使得a=gn，令令f：an。不难验证不难验证 f是是G到到Z上的上的1-11-1映射；任取映射

8、；任取a,ba,bG，则存在则存在i,ji,jZ，使得使得a=gi，b=gj，f(f(gigj)=f()=f(gi+j)=i+j=f()=i+j=f(gi)+f()+f(gj),),因此，因此，f是是G到到Z上的同构映射，即上的同构映射，即GZ。11自同构映射v定定义义.设设G是是一一个个群群，若若是是G到到G上上的的同同构构映映射，则称射，则称为自同构映射。为自同构映射。v例例.恒等映射，称为恒等自同构映射。恒等映射，称为恒等自同构映射。v例例.设（设（Z Z，+）是整数加法群，令是整数加法群，令：n n -n-n，n nZ Z，则则是是Z Z的一个自同构映射。的一个自同构映射。v例例.设设

9、G G是一个是一个AbelAbel群，将群，将G G的每个元素都映到的每个元素都映到其逆元素的映射其逆元素的映射：a a a a-1-1(aG）是是G G的一的一个自同构映射。个自同构映射。126.5.3同同态态核核v定定义义.设设是是G到到G上上的的一一个个同同态态映映射射，命命N为为G中中所所有有变变成成G中中1的的元元素素g的的集集合合，记为记为-1（1），），即即N=-1（1）=gG（g）=1则称则称N为为的核。的核。13第一同态定理第一同态定理定理定理6.5.2设设是是G到到G上的一个同态映射上的一个同态映射,于是，于是，v 的核的核N是是G的一个正规子群，的一个正规子群，v 对于对

10、于G的任意元素的任意元素a，-1(a)=x|xG,(x)=a是是N在在G中的一个陪集，因此，中的一个陪集，因此，G的元素和的元素和N在在G中的陪集一一对应。中的陪集一一对应。14证明证明先证先证N是是G的子群。的子群。1）证）证N非空。因为非空。因为(1)=1，所以所以1N。2）若）若aN，bN，往证往证ab-1N。由由（a）=1，（b）=1，可得可得(ab-1)=(a)(b-1)=(a)(b)-1=1(1)-1=1，故故ab-1N。15证明证明再再证证N是是正正规规子子群群，即即证证对对于于任任意意的的gG，gNg-1N。事实上，事实上，(gNg-1)=(g)(N)(g-1)=(g)1(g)

11、-1=(g)(g)-1=1。故故gNg-1N。16证明证明最后证明：若最后证明：若aG而而(a)=a,往证往证 -1(a)=Na。事实上，对任意的事实上，对任意的bG，b-1(a)iff)iff（b）=a iff(iff(b)()(a)-1=1 iff(iff(b)()(a)-1=(ba-1)=1 iff iff ba-1N iff iff bNa17引理引理1设设N是是群群G的的正正规规子子群群。若若A，B是是N的的陪集，则陪集，则AB也是也是N的陪集。的陪集。证明：因为证明：因为N是正规子群，故是正规子群，故Nb=bN，今设今设A=aN，B=bN，则则AB=aNbN=abNN=abN，所以

12、所以AB也是也是N的的陪集陪集。18第二同态定理第二同态定理定定理理6.5.3设设N是是群群G的的正正规规子子群群，于于是是按按照照陪陪集集的的乘乘法法，N的的所所有有陪陪集集作作成成一一个个群群。命命：aaN，则则是是G到到 上的一个同态映射，且上的一个同态映射，且的的核就是核就是N。v称为称为G对于对于N的商群，记为的商群，记为GN。若若G G是有限群，则商群中元素个数等于是有限群，则商群中元素个数等于N N在在G G中的指数，即等于陪集的个数。中的指数，即等于陪集的个数。19证明证明首先证明首先证明G G1)1)显然，显然，是是G到到 上的映射。上的映射。2 2）任取）任取a,ba,bG

13、，(a)()(b)=aNbN=abN=(ab)，故故是是G到到 上的同态映射上的同态映射.因此，因此，是一个群。是一个群。其次证明其次证明的核是的核是N N。因因 单位元就是单位元就是N本身，本身，所以，所以，核核=g(g)=N,gGG=ggN=N,gGG=ggN=N。20例例.设设G是整数加法群，是整数加法群，N=5G=,-10,-5,0,5,10,，则则N是是G的正规子群。令的正规子群。令为为G中中N的所有的所有陪集作成的集合：陪集作成的集合：，=,-10,-5,0,5,10,=N=0+N，=,-9,-4,1,6,11,=1+N，用用表示陪集间的加法，则表示陪集间的加法，则 =(1+N)(

14、4+N)=(1+4)+N=N=，在陪集加法下是一个群，若命在陪集加法下是一个群，若命：aa+N，则则是是G到到 上的同态映射上的同态映射,且且的核就是的核就是N。21第三同态定理第三同态定理定定理理6.5.4设设是是G到到G上上的的一一个个同同态态映映射射，若若的核为的核为N，则则G G/N G/N。v例例.设设G G是整数加法群，是整数加法群，：x xx x（mod 5mod 5），），xG xG，则则 G G=（G G）=0=0，1 1，2 2，3 3，44是模是模5 5的加法群，的加法群，是是G G 到到G G上的同态映射。上的同态映射。的核为的核为N=5GN=5G，G GN=,N=,，

15、则则G GNG GN。22证明证明因因为为G的的元元素素和和GN的的元元素素一一一一对对应应，设设在在这这个个一一一一对对应应之之下下，G的的元元素素a和和b分分别别对对应应GN的的元素元素aN和和bN，其中其中a=（a），），b=（b）：aaN，bbN。而而且且ab=（ab），可可见见G的的元元素素ab所所对对应应的的GN的元素是的元素是abN=aNbN：abaNbN。所以所以G和和GN同构。同构。23G G中子群与中子群与GG中子群的关系中子群的关系 设设为群为群G到到G上的同态映射上的同态映射v结论结论1.若若H为为G之子群，则之子群，则H=(H)亦为亦为G之子群。之子群。v结论结论2.

16、若若H为为G之子群，则之子群，则H=-1（H）亦必为亦必为G之子群。之子群。证明：显然证明：显然-1（H）非空，非空，1 1-1（H）；若若a，b-1(H)，即即(a),(b)H，因因H为子群，故为子群，故(a)(b)-1=(ab-1)H，因之因之ab-1-1（H）。）。24思考题v(-1(H)等于等于H吗吗？v-1(H)等于等于H吗吗？25v结论结论3.-1(H)=HN)=HN证明：证明：(1)（HNHN）=（H H）（N N）=（H H），），故故HNHN-1-1（H H）；(2)任取任取a a-1-1（H H），），往证往证a aHNHN。因因(a a)=h=h(H H)，又又(H H)

17、为为H H之映象，故之映象，故必有必有h hH H使使(h h)=h=h=(a a)，即即(h)h)-1-1(a a)=(h h-1-1a a)=(1 1)，故，故，h h-1-1a aN N，故故a aHN,HN,-1-1（H H）HNHN；。总之总之,-1-1（H H）=HN=HN。26v结论结论4.4.若若NH，则则HN=H,即即 -1(H)=H。证明证明：（1 1）因因1N，故，故HHN。（2）若若NH，则则HNHH=H。因此，因此，HN=H。27定理6.5.5G与与N之间的子群和之间的子群和G的子群一一对应，的子群一一对应，大群对应大群，小群对应小群，大群对应大群，小群对应小群，正规子群对应正规子群。正规子群对应正规子群。28G G中子群与中子群与GG中子群的关系中子群的关系示意图1vG当当N HGv-1(H)=HNvH=(H)H1NH129G G中子群与中子群与GG中子群的关系中子群的关系示意图2vG若若H NH=(H)G H1N130