专题05与数列相结合的概率综合问题-备战2023年高考数学二轮复习之大题核心考点

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1、第四篇 概率与统计常见考点专题 05 与数列相结合的概率综合问题考点一 与数列相结合问题典例 1某商场拟在年末进展促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩玩耍，送礼券“的活动，玩耍规章如下：每轮玩耍都抛掷一枚质地均匀的骰子外形为正方体，六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6，假设向上点数不超 2 点，获得 1 分，否则获得 2 分，进展假设干轮玩耍，假设累计得分为 19 分，则玩耍完毕，可得到 200 元礼券，假设累计得分为 20 分，则玩耍完毕，可得到纪念品一份，最多进展 20 轮玩耍（1） 当进展完 3 轮玩耍时，总分为 X，求 X 的期望；（2） 假设累计得分为 i 的概率为 pi，初始

2、得分为 0 分， p0= 1 证明数列pi- pi-1，i1，2，19是等比数列；求活动参与者得到纪念品的概率2 2 19【答案】15；2证明见解析；51+ 3 【解析】【分析】11122 由题意可知每轮玩耍获得分的概率为 ，获得3分的概率为，而每轮玩耍3的结果相互独立，设进展完 3 轮玩耍时，得 1 分的次数为Y ，所以YB 3, 1 ，X = 6 - Y ，3即可求出 X 的期望；2依据累计得分为 i 的概率为 pi，分两种情形争论得分状况，从而得到递推式P = 2 P+ 1 P(i = 2,3,19) ，再依据构造法即可证出数列p - p是等比数列；i3i-23i-12ii-1依据可求出

3、 p - p= (-)i ，再依据累加法即可求出 p (i = 2,3,19) ，然后由2P=P203 18i从而解出i-13i【详解】111223 由题意可知每轮玩耍获得分的概率为 ，获得3分的概率为3，设进展完轮玩耍时，得 1 分的次数为Y ，所以Y1 k3-k( 1 2 )B 3,，P Y = k= Ck, k = 0,1,2,3 ， 3 3 3 3 而 X = Y + 2(3 - Y )= 6 - Y ，即随机变量 X 可能取值为 3，4，5，6， 1 31 1 2 2 2P( X = 3) = =， P(X = 4) = C2 =， 3 273 3 3 9 1 2 24 2 38P(

4、X = 5) = C1 =， P( X = 6) = =3 3 3 9X 的分布列为： 3 27X3456P1272949827EX 3 1 + 4 2 + 5 4 + 6 8 52799272证明：n1，即累计得分为 1 分，是第 1 次掷骰子，向上点数不超过 2 点，P = 1 ，则 P - P = - 2 ，累计得分为 i 分的状况有两种：13103ii22，即累计得 i2 分，又掷骰子点数超过2 点，其概率为2 P，3i-2累计得分为 i1 分，又掷骰子点数没超过 2 点，得 1 分，其概率为1 P，3 i-1 P = 2 P+ 1 P(i = 2,3,19) ， P - P= - 2

5、 (P- P)，i2，3，19，i3i-23i-1ii-13i-1i-2数列p - p，i1，2，19是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列ii-133数列p - p，i1，2，19是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列，ii-1332 p - pii-1= (-)i ， 3 p - p= - 2 ， P- P = - 2 2 ， p - p= - 2 i ，103213 ii-13 各式相加，得： p - p= - 2 - - 2 i ，1 i053 p = 3 + 2 - 2 i= 3 - - 2 i+1 ，i1，2，19，1i553 53 活动参与者得到纪念品的概率为：222 19 2

6、2 19 P=P= 1- - = 1+ 203 1853 5 3 【点睛】此题第一问解题关键是明确得 1 分的次数为Y 听从二项分布，从而找到所求变量X 与Y 的关系，列出分布列，求得期望；其次问主要是递推式的建立，分析推断如何得到i 分的状况，进而得到P = 2 P+ 1 P，利用数列学问即可证出，借由的i3i-23i-12结论，求出 p (i = 2,3,19) ，分析可知P=P ，从而解出i203 18变式 1-1某商场调研了一年来日销售额的状况，日销售额万元听从正态分布N (10,4) 为了增加营业收入，该商场开展“玩耍赢奖券”促销活动，购物满 300 元可以参与 1 次玩耍，玩耍规章

7、如下：有一张共 10 格的方格子图，依次编号为第 1 格、第 2 格、第 3 格、第 10 格，玩耍开头时“跳子”在第 1 格，顾客抛掷一枚均匀的硬币，假设消灭正面，则“跳子”前进 2 格从第 k 格到第 k+2 格，假设消灭反面，则 “跳子”前进 1 格从第 k 格到第 k+1 格，当“跳子”前进到第 9 格或者第 10 格时，玩耍完毕“跳子”落在第 9 格可以得到 20 元奖券，“跳子”落在第 10 格可以得到 50 元奖券（1） 依据调研状况计算该商场日销售额在8 万元到14 万元之间的概率；参考数据：假设随机变量听从正态分布N (m,s 2) ，则P(m -s x m +s) 0.68

8、27 ，P(m - 2s m + 2s ) 0.9545 ， P ( m - 3s x m + 3s ) 0.9973 （2） 记“跳子”前进到第 n 格1n10的概率为P，证明：P - P2n9是等比数列；nnn-1（3） 求某一位顾客参与一次这样的玩耍获得奖券金额的期望【答案】108186；2证明见解析；3期望为3835 元128【解析】（1） 由x 听从正态分布 N (10,4) 可得P(8 x 14) P(m - 2s m + 2s ) - P(m - 2s m + 2s) - P(m -s m +s) ；2（2） 计算出P111= 1、P2=，“跳子”前进到第n(3n9) 格的状况得

9、到121P =P+ P，可得P - P= -(P- P) 化简可得答案；n2n-22n-1nn-12n-1n-2（3） 设某一位顾客参与一次这样的玩耍获得奖券金额为 元，则 的值可取 20 和50，求出对应的概率可列出分布列求出期望.【详解】（1） 由x 听从正态分布 N (10,4) 可得： P(8 x 14) 0.9545 - 0.9545 - 0.6827 = 0.8186 2（2） “跳子”开头在第 1 格为必定大事， P1= 1第一次掷硬币消灭反面，“跳子”移到第 2 格，其概率为 12，即P2= 1 ， 2“跳子”前进到第n(3n9) 格的状况是下面两种，而且只有两种：“跳子”先到

10、第n - 2 格，又掷出正面，其概率为 1 P，2n-2“跳子”先到第n - 1 格，又掷出反面，其概率为 1 P， P = 1 P+ 1 P，2n-1n2n-22n-1 P - P= - 1 (P- P) ，nn-12n-1n-2 P - P21 P - P= - 1 0 ，n9)，2 0 (2nn-1P - P1 P nn-1-= -(3n9) ，P2n-1n-2当2 n 9 时，数列P - P是等比数列，首项为P - P = - 1 ，公比为- 1 nn-12122（3） 设某一位顾客参与一次这样的玩耍获得奖券金额为 元，则 的值可取 20 和50，由2可知P - P= - 1 n-1

11、(2 P = (P - Pn) + (Pn-1- Pn9)，2) + (P- P ) + P= - 1 n-1 + - 1 n-2 + - 1 + 1nnn-1n-1n-2211n9)， P12221 - - 1 n2= 21 (2=n 1 - - = 1也适合，1 - - 1 3 2 22 1 9 2 1 9 171112 11 1 8 85 P = 3 1 - - 2 = 3 1 + 2 = 256 ， P=P =21 - (- 2)8 = 3 1 - 2 = 256 9 10823 的分布列为：2050P17125685256则 的期望为E (C)= 171 20 +85 50 = 76

12、70 = 3835 元.【点睛】256256256128此题考察了正态分布、随机变量的分布列，关键点是证明数列Pn- Pn-1是等比数列、求出 X 全部可能取值对应的概率，考察了学生分析问题、解决问题的力量，是一道综合题变式 1-22020 年春天随着疫情的有效掌握，高三学生开头返校复课学习.为了削减学生就餐时的聚拢排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会供给A 、B 两种套餐每人每次只能选择其中一种，经过统计分析觉察：学生第一天选择A 类套21餐的概率为3、选择B 类套餐的概率为 而前一天选择了A 类套餐其次天选择A 类313套餐的概率为 4 、选择B 套餐的概率为 4 ；前一天选择B

13、类套餐其次天选择A 类套餐的概率为 12的概率为P、选择B 类套餐的概率也是 12，如此往复记某同学第n 天选择A 类套餐n（1） 证明数列P - 2 是等比数列，并求数列P 的通项公式；5nn（2） 记高三某宿舍的 3 名同学在复课其次天选择A 类套餐的人数为 X ，求 X 的分布列并求E (X )；（3） 为了贯彻五育并举的教育方针，培育学生的劳动意识，一个月后学校组织学 生利用课余时间参与志愿者效劳活动，其中有 20 位学生负责为全体同学分发套餐 假设你是组长，如何安排分发A 、B 套餐的同学的人数呢，说明理由4【答案】1证明见解析， P = 2 - 16 - 1 n ；2分布列见解析，

14、1；3 套餐n515 A的 8 人， B 套餐的 12 人；理由见解析【解析】【分析】（1） 依题意得 P= P 1 + (1- P ) 1 ，依据递推关系即可证明P- 2 是等比数列，n+1n4n2 n5 利用等比数列通项公式求得P - 2 的通项，即可求得P 的通项公式； n5 n（2） 依题意求得其次天选择A 、B 类套餐的概率，列出X 的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；（3） 由P 的通项公式得P 2 ，依据总人数即可求得分发A 、B 套餐的同学的人n数【详解】（1） 依题意， P305= P 1 + (1- P ) 1 ，n+1n4n25则P- 2 = - 1 P - 2

15、 (n 1,n N ) .n+154 n当n = 1 时，可得P - 2 = 4 ，1515数列P - 2 是首项为4 公比为- 1 的等比数列. n5 1544P = 2 - 16 - 1 n .n515 （2） 其次天选择A 类套餐的概率P = 2 1 + 1 1 = 1 ；A34323其次天选择B 类套餐的概率P = 2 3 + 1 1 = 2 ，B343233 人在其次天的有 X 个人选择A 套餐，X 的全部可能取值为 0、1、2、3， 1 2 k3-k有P( X = k ) = Ck (k = 0,1,2,3) ，3 3 3 X0123P X 的分布列为8421279927故E( X

16、 ) = 0 8 + 1 4 + 2 2 + 3 1= 1.2799273由1知： P= 2 - 16 - 1 n ，4n515 P 2 ，即第 30 次以后购置A 套餐的概率约为 2 .3055则20 2 = 8 ， 20 - 8 = 125负责A 套餐的 8 人，负责B 套餐的 12 人.【点睛】 思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1） 依据题中条件确定随机变量的可能取值；（2） 求出随机变量全部可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3） 依据期望的概念，结合分布列，即可得出期望在计算时，要留意随机变量是否听从特别的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算

17、公式及 期望计算公式，简化计算变式 1-3安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的根底上增加了一个餐厅，分别记做餐厅 甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐其次天选择餐厅 甲就餐的概率是 25%选择餐厅乙就餐的概率为 75%，前一天选择餐厅乙就餐其次天选择餐厅乙就餐的概率是 50%选择餐厅甲就餐的概率也为 50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是23，择餐厅乙就餐的概率是 ，记某同学第 n13天选择甲餐厅就餐的概率为P .n（1） 记某班级的 3 位同学其次天选择餐厅甲的人数为 X，求 X 的分布

18、列，并求 E(X)；（2） 请写出Pn+1与P (n N*) 的递推关系；nn（3） 求数列P 的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生效劳意识和团队合作精神，学校每天从 20 个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生供给就餐效劳工作，依据上述数据，如何合理安排到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.【答案】1分布列答案见解析， E (X )= 1；（2） P= - 1 P +n N * ；1 ()n+14n2（3） 安排到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数 8 人和 12 人，理由见解析.【解析】【分析】1依题意可得 XB 3, 1 3 ，进而可得分布列和期望；2由P= P 1 + (1- P )

19、 1 可得结果；n+1n4n23由2求得P，且P 2 (n +) ，由此可得安排方案.【详解】nn5（1） 某同学其次天选择餐厅甲就餐的概率P = 2 1 + 1 1 = 1 ，A34323某同学其次天选择餐厅乙就餐的概率P = 2 3 + 1 1 = 2 ，B34323B 3, 1 3 3 位同学其次天选择餐厅甲就餐的人数为 X ，则 X.() 1 k 2 3-k ()P X = k= Ck k = 0,1,2,3 ，3 3 3 X0123P X 的分布列为8421279927故E (X )= 3 1 = 1.3（2） 依题意， P= P 1 + (1- P ) 1 ，即P= - 1 P1+

20、(n N *) .n+1n4n2n+14n21121 2 ()（3） 由2知P= -P+(n N *) ，则P-= - P -n N *当n = 1 时，n+1可得 P - 2 = 2 - 2 = 4 ，4n2n+154 n5 153515 数列P - 2 是首项为 4 公比为- 1 的等比数列.5n154P - 2 =4 - 1 n-1 ，即P= 2 - 16 - 1 n .n515 n515 44P 2 (n +) ，n5所以，安排到餐厅甲的志愿者人数为20 2 = 8 ，安排到餐厅乙的志愿者人数为520 - 8 = 12 .【点睛】关键点点睛：第1问的关键点是：探究得到XB 3, 1 3

21、 ；后两问的关键点是得到递推关系P= - 1 P +(n N * ) .1n+14n2典例 2为落实关于全面加强和改进时代学校体育工作的意见，完善学校体育“安康学问根本运动技能专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛校级联赛 选拔性竞赛国际沟通竞赛”为一体的竞赛体系，构建校、县区、地市、省、国家五级学校体育竞赛制度某校开展“阳光体育节”活动，其中传统工程“定点踢足球”深受同学们宠爱其间甲、乙两人轮番进展足球定点踢球竞赛每人各踢一次为一轮，在一样的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有 1 人命中，命中者得 1 分，未命中者得-1 分；两人都命中或都未命中，两人均得 0 分

22、，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为2 ，且各次踢球3互不影响（1） 经过 1 轮踢球，记甲的得分为 X ，求 X 的数学期望；（2） 假设经过n 轮踢球，用 p 表示经过第i 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概i率求 p ， p ， p ；123规定 p0= 0 ，且有 pi= Api+1+ Bpi-1，请依据中 p ， p ， p123的值求出A 、B ，并求出数列p的通项公式.n1【答案】1-；2 p= 1 ， p7=， p= 4361； A =，B =，P= 1 1- 1 6【解析】【分析】16236321677n5 6n （1） X 的可能取值为-1 ，0，1，分

23、别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列与期望；（2） p1= 1 ，经过 2 轮投球甲的累计得分高有两种状况：一是 2 轮甲各得 1 分，6二是 2 轮中有 1 轮甲得 0 分，有 1 轮甲得 1 分，由此能求出 p2 经过 3 轮投球，甲累计得分高于乙有四种状况：甲 3 轮各得 1 分；甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得 0分；甲 3 轮中有 1 轮得 1 分，2 轮各得 0 分；甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得-1 分由此能求出 p3推导出 pi= Api+1+ Bpi-1，将 p0= 0, p1= 1 , p62= 7 , p363= 43216，代入得，pi=

24、 6 p7i+1+ 1 p，7i-1推导出 pn【详解】- pn-11是首项与公比都是 的等比数列，由此能求出结果61记一轮踢球，甲命中为大事A ，乙命中为大事B ， A ， B 相互独立由题意P (A)= 1 ， P (B)= 2 ，甲的得分 X 的可能取值为-1 ，0，123P (X = -1)= P (AB)= P (A)P (B )= 1- 1 2 = 1 ，233( ) ( ) 12A P B=+ 1- 11- 2 = 123232P (X = 0)= P (AB )+ P (AB )= P (A)P (B )+ PP (X = 1)= P (AB )= P (A) P (B )=

25、1 1- 2 = 1 ，23 6 X 的分布列为：X-101P131216E (X )= -1 1 + 0 1 +1 1 = - 1 326612由1 p =，16p = P (X = 0) P (X = 1)+ P (X = 1)(P (X = 0)+ P (X = 1)2= 1 1 + 1 1 + 1 = 7 266 26 36经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种状况：甲 3 轮各得 1 分；甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得 0 分；甲3 轮中有 1 轮得 1 分，2 轮各得 0 分；甲3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得-1 分 1 3 1 211 1 2 1 2143

26、p = + C2 + C1 + C2 =，3 6 3 6 236 2 3 6 3216规定 p0 = 0 ，且有 pi = Api+1 + Bpi-1 ，6 p = Ap+ Bp A = 761 120 代入得： p =p+ p， p = Ap+ Bp1i7i+17i-12 p- p31= 1 (p - pB = 7)，数列p - p是等比数列，i+1i6ii-1nn-11公比为q =，首项为 p - p10= 1 ， p - p 1 n=66nn-1 6 + (p -1() () 1 n 1 n-111 1 P =p - p+ p- p+p= + +=1-nnn-1n-1n-20 6 6 6

27、5 6n 【点睛】61关键点睛：利用待定系数法得到 p =p+p后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.i7i+17i-1变式 2-1为迎接 2020 年国庆节的到来，某电视台举办爱国学问问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次答复，答复每个问题相互独立.假设答对一题可以上升两个等级， 答复错误可以上升一个等级，最终看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的12概率为 ，答错的概率为 .33（1） 假设甲答复完 5 个问题后，甲上的台阶等级数为 X ，求 X 的分布列及数学期望；（2） 假设甲在答复过程中消灭在第i (i 2)个等级的概率为P ，证明：P - P 为等比数列.iii-1【答案】1分

28、布列答案见解析，数学期望： 20 ；2证明见解析.3【解析】【分析】（1） 首先确定 X 的全部可能取值 X = 5,6,7,8,9,10 ，依据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（2） 依据的关系，求出P与 P ， P的关系式P= 2 P + 1 P，再通过化简和i+1等比数列的定义求解即可.【详解】ii-1i+13i3i -1解：1依题意可得， X = 5,6,7,8,9,10 ， 2 5 2 532 2 4 1 2 4180P( X = 5) = C5 = =， P( X = 6) = C 4 = 5 =，5 3 3 2435 3 3 3 3243 2 3 1

29、 280() 2 2 1 340P( X = 7) = C3 =， P332435 3 3 243X = 8= C 2 =，5 () 2 1 410() 1 51P X = 9= C1 =， P5 3 3 243X = 10= C 0 =，5 3 243X5678910P则 X 的分布列如表所示.32808040101243243243243243243E( X ) = 5 32 + 6 80 + 7 80 + 8 40 + 9 10 +101= 20 .24324324324324324332处于第i1个等级有两种状况：由第i 等级到第i1等级，其概率为 2 P ；3i由第i - 1等级到第

30、i1等级，其概率为1 P；3 i-1所以P= 2 P + 1 P，所以P- P = - 1 (P - P)，i+13i3i-1P- P1i+1i3ii -1即 i +1i = -.P - P3ii -1所以数列P - P为等比数列.i【点睛】i-1此题考察概率公式随机变量的分布列及数学期望，考察运算求解力量数据处理能力，考察数学运算规律推理核心素养.其中其次问解题的关键在于查找P与P ，Pi+1ii-1的关系式，即： P= 2 P + 1 P(i 2)，进而依据等比数列的定义证明.i+13i3i-1变式 2-2为抢占市场，特斯拉电动车近期进展了一系列优待促销方案.要保证品质兼优，特斯拉上海工厂

31、在车辆出厂前抽取 100 辆Model3 型汽车作为样本进展了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进展分析，得到如下图的频率分布直方图：（1） 估量这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).(（2） 依据大量的测试数据，可以认为 Model3 这款汽车的单次最大续航里程 X 近似地听从正态分布Nm,s 2)，经计算第1问中样本标准差 s 的近似值为 50.用样本平均数 x 作为m 的近似值，用样本标准差 s 作为s 的估量值，现从生产线下任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在 250 千米到 400 千米之间的概率.（3） 为快速抢占市场进展促销活

32、动，特斯拉销售公司现面对意向客户推出“玩玩耍 ，赢大奖，送车模”活动，客户可依据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进， 假设车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优待券 6 万元；假设最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.硬币消灭正反面的概率都是 0.5，方格图上标有第 0 格第 1 格第 2 格第 20 格.车模开头在第 0 格，客户每掷一次硬币， 车模向前移动一次.假设掷出正面，车模向前移动一格(从 k 到 k+1)，假设掷出反面，车模向前移动两格(从 k 到 k+2)，直到移到第 19 格(幸运之神)或第 20 格(赠送车模)时玩耍结束.设车模移到第n (1 n 19)格的

33、概率为P ，试证明P - P,(n 2)是等比数列；假设nnn-1有 6 人玩玩耍，每人参与一次，求这 6 人获得优待券总金额的期望值(结果准确到 1万元).参考数据：假设随机变量x 听从正态分布N (m,s 2 )，则P (m -s x m + s ) 0.6827P (m - 2s x m + 2s ) 0.9544, P (m - 3s x m + 3s ) 0.9973【答案】1300 (千米)；2 0.8186 ；3证明见解析，优待券总金额的期望24 万元.【解析】（1） 利用频率分布直方图能估量这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值（2） X 听从正态分布 N (300,50

34、 2) ，由此能求出它的单次最大续航里程恰在250 千米到 400 千米之间的概率（3） 遥控车开头在第 0 格为必定大事， P0= 1，第一次掷硬币消灭正面，遥控车移到第一格，其概率为 12，即 P1= 1 遥控车移到第 n(2 n 19) 格的状况是以下两种，2而且也只有两种遥控车先到第n - 2 格，又掷出反面，其概率为1 P，遥控车2n-2先到第n - 1 格，又掷出正面，其概率为1 P，从而P - P= - 1 (P- P) ，进而能2n-1nn-12n-1n-2证明当2 n 19 时，数列Pn- Pn-1是公比为- 1 的等比数列，由此能求出结果2【详解】1 x = 0.002 5

35、0 205 + 0.004 50 255 + 0.009 50 305+0.00450355+ 0.00150 405 = 300千米（2） 由于 X 听从正态分布 N (300,50 2)所以P(250 X 400) 0.9544 - 0.9544 - 0.6827 = 0.81862（3） 第一次掷硬币消灭正面，车模从第0 格移到第一格，其概率为1 , 即P= 1 移动212到其次格有两类状况 P= 1 1 + 1 =3 .车模移到第n ( 3 n 19 )格的状况是以下两种，而且也只有两种.22224车模先到第n - 2 格，又掷出反面，其概率为1 P2n-2车模先到第n - 1 格，又

36、掷出正面，其概率为 1 P2n-1所以P = 1 P+ 1 P， P - P= - 1 (P- P)，n2n-22n-1nn-12n-1n-2 当3 n 19 时，数列Pn- Pn-1是公比为- 1 的等比数列.2P = 1 , P - P = - 1 2 , P - P = - 1 3 ，阅历证n = 2 也满足.P - P 是公比为- 1 的12212322 nn-12等比数列. P = 1 , P- P = - 1 2 , P - P = - 1 3 , P - P= - 1 n12212 322 nn-12 以上各式相加，得P - P = - 1 2 + - 1 3 +- 1 nn12

37、 2 2 P -= - 1 + - 1 2 + - 1 3 +- 1 n= - 1 1 n即1 1- - n2 2 2 2 3 2 P = 2 - - 1 n+1 ( n = 2,19 )，经检验=时也符合.n3 12 n1 P = 2 - - 1 n+1 n = 1,2,19n3 12 ，P= 2 1 20 获得优待券的概率1 - -3219获得车模的概率P= 1 P= 1 + 1 19 202183 1 2 2 1 20 设参与玩耍的 6 人获得优待券的有 X 人，由题可知 XB 6,1- - X 的期望E(X ) = 6 2 - - 1 20 - - 1 20 3 2 3 12 =4 1

38、2 设优待卷总金额为Y 万元，Y = 6X 优待券总金额的期望E(Y ) = E(6 X ) = 4- - 1 20 6 = - - 1 20 24 万元12 24 12 【点睛】关键点睛：由于频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且全部矩形的面积之和为 1.变式 2-3某校园格局呈现四排八栋分布，学生从高一入学到高三毕业需踏着层层台阶登攀，这其中寓意着学校对学生的期盼与鼓励现假设台阶标有第 0，1，2， 50 级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进展登攀台阶玩耍，这位同学开头时位于第 0 级，假设掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，假设掷

39、格外数点，则向上一步登两级台阶，直到登上第 49 级成功或第 50 级失败，玩耍完毕设 X (n) 为登攀至第 n 级的步数(1 n 50)，这位同学登到第 n 级的概率为P nI求 X (3) 的分布列与数学期望；证明：Pn- Pn-1(2 n 49) 为等比数列【答案】分布列见解析， 11 ；证明见解析.5【解析】【分析】由题意，X (3) 登至第 3 级的根本大事3 次偶数，1 次奇数 1 次偶数，即X (3)可能取值为 2，3，每次掷奇数、偶数的概率都为12，依据二项分布，并结合古典概型求概率，写出分布列并出求期望；从第n - 2 级登至第n 级的概率为 12，从第n - 1 级登至第

40、n 级的概率为 12，由条件概率及概率加法公式得P= 1 (P+ P)并整理，又P= 1,P= 1 即可证等比数列.【详解】n2n-1n-2012由定义知， X (3) 可能取值为 2，3C 1 1 1 111 依据条件概率计算公式得： P(X (3) = 2) =2 2 2 = 2 = 4 ，C 1 1 1 11 2 2 1 355+ 2 8 1 32 1 2 1P( X (3) = 3) = 8 =C 1 1 1 11 2 2 1 355+ 2 82 X (3)的分布列为X (3)23P4515E(X (3) = 2 4 + 3 1 = 11 555证明：由题意， P = 1 (P+ P)

41、，则P - P= - 1 (P- P)(2 n 49) ；n2n-1又P - P = 1 -1 = - 1 ，n-2nn-12n-1n-21022数列Pn【点睛】- Pn-1(1 n 49) 是首项、公比均为- 1 的等比数列2关键点点睛：（1） 由登至第n 级的各个根本大事都是独立试验，应用二项分布公式求概率，再由概率加法公式，结合古典概率求登至第 n 级概率；（2） 理解登至第n 级可以从第n - 2 级或第n - 1 级一次性完成，结合概率加法公式确定P , P, P的关系式.nn-1n-2稳固练习练习一 与数列相结合问题1. 某景点上山共有 999 级台阶，寓意长长期久.甲上台阶时，可

42、以一步上一个台阶，1也可以一步上两个台阶，假设甲每步上一个台阶的概率为 ，每步上两个台阶的概率3为 2 ，为了简便描述问题，我们商定，甲从 0 级台阶开头向上走，一步走一个台阶3记 1 分，一步走两个台阶记2 分，记甲登上第n 个台阶的概率为P ，其中n N*，且nn 998 .(1) 假设甲走 3 步时所得分数为 X，求 X 的概率分布；(2) 证明：数列Pn+1- P 是等比数列；n(3) 求甲在登山过程中，恰好登上第 99 级台阶的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)证明见解析(3) 3 -4 2 98515 3 【解析】【分析】（1） 考虑甲走 3 步时,是一步上一个台阶还是一步上两

43、个台阶,从而写出 X 的全部可能取值，求出每一个值对应的概率，即可得 X 的分布列；（2） 由题意可得到递推式P= 1 P+ 2 P ，构造数列，从而证明结论；n+23n+13n（3） 利用2的结论，承受累加求和，结合等比数列的前 n 项和公式，求得答案. (1)由题意可得 X 的全部可能取值为 3，4，5，6，() 1 31()2 1 22P X = 3 = 3 = 27 ， P X = 4= C1 =，33 3 9() 2 214() 2 38P X = 5= C 2 3 3 = 9 ， PX = 6= 3 = 27 ，3X 的分布列为：X3456P1272949827(2)证明：由题可得P12=P+P ，n+23n+13n P- P= - 2 (P- P )， P1=， P21 2=+= 7 ， P4，- P = 0n+2n+13n+1n1323 3 9219数列P- P 42- 为公比的等比数列.(3)n+1n是以 9 为首项， 3由2可得P= (P- P )+ (P- P )+ (P- P )+ P994 2 989998989721191- - 3 34 2 98=