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1、基本要求基本要求:熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算方法方法(对角线法则对角线法则),了解了解n阶行列式的定义阶行列式的定义,理解和理解和熟练掌握行列式的基本运算性质熟练掌握行列式的基本运算性质,会计算简单的会计算简单的n阶阶行列式行列式;理解和掌握克拉默法则（理解和掌握克拉默法则（Cramers rule).第第6 6章章 行行 列列 式式 (determinant)determinant)用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组6.1.1 二阶、三阶行列式第第6章章 行行 列列 式式6.1 n阶行列式的概念阶行列式的概念方程组的解为方程组的解为由方
2、程组的未知数的四个系数确定由方程组的未知数的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义1 1即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式（替代行列式替代行列式1 1）（替代行列式（替代行列式2 2）则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.补充例题补充例题补充例题补充例题1 1 1 1解解定义定义定义定义2 2记记记记（6 6）式称为数
3、表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.列标列标行标行标对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式三阶行列式展开式的另一记忆法：即即 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个
4、元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.若记若记或或记记即即（替代行列式替代行列式1 1）得得（替代行列式替代行列式2 2）得得（替代行列式（替代行列式3 3）则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:补例补例补例补例 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有补充例题补充例题补充例题补充例题3 3 3 3解解解解方程左端方程左端补充例题补充例题4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引
5、入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结三阶三阶行列式有另一种展开方法行列式有另一种展开方法“代数余子式法代数余子式法”，在后面会学到，在后面会学到一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积6.1.26.1.2 n n 阶行列式的定义阶行列式的定义（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆
6、序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列*6.1.2 n 阶行列式的定义定义定义(detetminantdetetminant)注：由于用逆序数来计算一般的行列式，比较难以理解，注：由于用逆序数来计算一般的行列式，比较难以理解，下面可用另一种方法来计算行列式下面可用另一种方法来计算行列式说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据实际的、行列式是一种特定的算式，它是根据实际的需要而定义的需要而定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一
7、阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为1.1.31.1.3 行列式的另一种计算方法（代数余子式法）及特行列式的另一种计算方法（代数余子式法）及特 的行列式的计算的行列式的计算例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式
8、等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如定理定理 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其对的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开展开或或补充例题补充例题5例例2 2 解方程组解方程组解解 方程组的系数行列式为方程组的系数行列式为所以方程组的解为：所以方程组的解为：例例3 3 将下列行列式按第一行、第三列展开计算，并比较将下列行列式按第一行、第三列展开计算，并比较结果是否相等结果是否相等.解：（1）按第一行展开，得 （2）按第三列展开，得例例4 4 计算
9、行列式解:将行列式按第一行展开,得补充例补充例6 6计算对角行列式计算对角行列式解解行列式按第一行展开，得行列式按第一行展开，得因为行列式中不为零的项只能为因为行列式中不为零的项只能为实际上，如果按实际上，如果按“逆序数逆序数”方法分析方法分析例例5 5 主主对角行列式对角行列式(diagonal determinant)(diagonal determinant)说明：由代数余子式展开法，一步步降低阶数即可得到说明：由代数余子式展开法，一步步降低阶数即可得到 结果结果 次次对角行列式对角行列式注：次对角行列式注：次对角行列式的结果，必须要考虑符号的变化的结果，必须要考虑符号的变化特殊行列式的值：特殊行列式的值：上上三角行列式三角行列式(triangle determinant (triangle determinant 三角行列式三角行列式)补充例补充例7同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式1、行列式是一种特定的算式，它是根据实际、行列式是一种特定的算式，它是根据实际需要而定义的需要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号可以由下正负号可以由下标排列的标排列的逆序数逆序数决定决定.6.1.3 小结
基本要求熟练掌握二三阶行列式的定义与计算方法对角线法则精
