电动力学.数学预备

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1、电动力学电动力学 数学预备数学预备 20072007级基地班级基地班/逸仙班逸仙班,2009.3,2009.3中山大学物理科学与工程技术学院中山大学物理科学与工程技术学院 黄迺本黄迺本电动力学电动力学 数学预备数学预备 经典电动力学的研究对象经典电动力学的研究对象 教学目标教学目标 教材和主要参考书教材和主要参考书 课程考核课程考核 矢量和张量矢量和张量电电 动动 力力 学学 教教 学学 目目 标标 与与 考考 核核 经典电动力学的研究对象经典电动力学的研究对象 电电动动力力学学是是在在电电磁磁学学基基础础上上开开设设的的理理论论性性课课程程。本本课课程程主主要要研研究究电电磁磁场场的的基基本

2、本规规律律及及其其与与物物质质的的相相互互作作用用，以以及及运运用用这这些些规规律律定量研究和处理各种电磁问题定量研究和处理各种电磁问题，包括：，包括：静电场与静磁场的边值问题静电场与静磁场的边值问题 势的物理效应与势的规范变换问题势的物理效应与势的规范变换问题 电磁波的传播与辐射问题电磁波的传播与辐射问题 电磁场与带电粒子相互作用问题电磁场与带电粒子相互作用问题 电电动动力力学学的的相相对对论论不不变变性性、电电磁磁势势和和电电磁磁场场的的相相对对论论变变换换，等等.电电 动动 力力 学学 教教 学学 目目 标标 与与 考考 核核 教学目标教学目标 通通过过本本课课程程的的学学习习，学学生生

3、应应掌掌握握电电磁磁相相互互作作用用的的基基本本规规律律，以以及及应应用用这这些些规规律律处处理理各各类类电电磁磁系系统统的的实实际际问问题题的的基基本本理理论论方方法法，为为进进一一步步学学习习相相关关专专业业课课程程、或或从从事事相相关关领领域域的的科科学学研研究究打下基础打下基础.主要数学工具主要数学工具 微积分、线性代数、矢量与张量分析、微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数数学物理方程、级数,等等.电电 动动 力力 学学 教教 学学 目目 标标 与与 考考 核核 教材和主要参考书教材和主要参考书教材教材：郭郭硕硕鸿鸿著著、黄黄迺迺本本 李李志志兵兵 林林琼琼桂桂修修订订

4、电电动动力力学学（第第三三版版）高高等等教教育出版社，育出版社，2008.主要参考书：主要参考书：1黄黄迺迺本，方奕忠本，方奕忠电动力学（第三版）学习辅导书电动力学（第三版）学习辅导书，高等教育出，高等教育出 版社，版社，2009.2Jackson.J.D.Clasical Electrodynamics.3rd ed.New York：Wiley，1998.或中译本或中译本,高等教育出版社高等教育出版社.3费恩曼物理学讲义，第费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，卷，上海科技出版社，2005.4朗道等朗道等,场论场论人民教育出版社，人民教育出版社，1959.5俞允强俞允强,电动力学简明教

5、程电动力学简明教程，北京大学出版社，北京大学出版社，1999.6蔡圣善等蔡圣善等,电动力学电动力学（第二版），高等教育出版社，（第二版），高等教育出版社，2003.7尹真尹真,电动力学电动力学（第二版），科学出版社，（第二版），科学出版社，2005.电电 动动 力力 学学 教教 学学 目目 标标 与与 考考 核核 课程考核课程考核（1 1）课程论文与平时训练课程论文与平时训练,占总成绩占总成绩40%.40%.课程论文课程论文有独到见解者加分有独到见解者加分.（2 2）期末闭卷考试期末闭卷考试，占总成绩占总成绩 60%60%.课程论文目的：课程论文目的：鼓励鼓励交流讨论、广泛涉猎、扩大视野、了解

6、知识的交流讨论、广泛涉猎、扩大视野、了解知识的应用与学科前沿发展动态；应用与学科前沿发展动态；培养培养查阅文献资料、提出和解决问题的能力；查阅文献资料、提出和解决问题的能力；学习学习科学研究的方法科学研究的方法.课程论文的要求课程论文的要求论文内容：论文内容：与电动力学相关的各种理论问题，或实际应用与电动力学相关的各种理论问题，或实际应用.论文格式：论文格式：论文论文题目题目作者姓名作者姓名 班级班级 学号学号 摘要摘要（Abstract）关键词关键词（Key Words）正文正文：引言（问题的背景与科学意义）：引言（问题的背景与科学意义）你的论述、论证，或实验和结果你的论述、论证，或实验和结

7、果 结语结语 参考文献参考文献11作者名，作者名，文献题目（或参考书名），期刊名（或出版社），文献题目（或参考书名），期刊名（或出版社），卷卷/期，页码期，页码,年份年份.2 2 所列参考文献，必须在正文中提及，并按出现次序，用右上所列参考文献，必须在正文中提及，并按出现次序，用右上角标，如角标，如:1 1,标示序号标示序号.交课程论文的时间：交课程论文的时间：第十八周第十八周.物理学物理学 观测观测+猜想猜想+定量描写定量描写自然界各种层次自然界各种层次物质物质的结构、存在形态的结构、存在形态与与相互作用规律相互作用规律,并不断经受并不断经受实践检验实践检验的基础科学的基础科学.如果不理解它

8、的语言如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙没有人能够读懂宇宙这本书这本书,它的语言就是数学它的语言就是数学.Galileo 矢量和张量矢量和张量 1.矢量和张量代数矢量和张量代数 物理量分类物理量分类 在在三三维维空空间间转转动动下下，物物理理量量按按其其变变换换性性质质（见见教教材材P209-P209-212212），分为：），分为：0 0 阶张量阶张量，即，即标量标量(scalar)，只有，只有3 30 0=1=1个分量个分量,无空间取向无空间取向.如长度如长度l,时间时间t,质量质量 m,温度温度T,能量能量E,等等.1 1阶阶张张量量，即即矢矢量量(vector)，由由3 31 1=

9、3 3个个分分量量构构成成有有序序集集合合,有有一一定定的的空空间间取取向向.如如位位置置矢矢量量,速速度度,加加速速度度,动动量量,作作用用力力,力力矩矩,角动量角动量,电流密度电流密度,电偶极矩电偶极矩,磁偶极矩磁偶极矩,等等.2 2阶阶张张量量(tensor),由由3 32 2 =9=9个个分分量量构构成成有有序序集集合合,空空间间取取向向比比矢矢量复杂量复杂.如刚体的如刚体的转动惯量转动惯量,电四极矩电四极矩,电磁场应力张量电磁场应力张量,等等.可可以以定定义义更更高高阶阶张张量量.如如 3 3阶阶张张量量，由由3 33 3 =27=27个个分分量量构构成成有有序集合序集合.1.矢量和

10、张量代数矢量和张量代数 矢量表示矢量表示 书写书写在在字母上方加一箭头字母上方加一箭头，如，如 .印刷印刷用用黑体黑体字母表示，如字母表示，如 r,A.场概念场概念 Maxwell 提提出出的的“电电磁磁场场”（electromagnetic field）概概念念,是是19世纪物理学的伟大创举世纪物理学的伟大创举.现在我们知道现在我们知道,“场场”与与粒子粒子，是，是物质物质的的两种基本存在形态两种基本存在形态.1.矢量和张量代数矢量和张量代数 物物理理量量在在空空间间中中的的分分布布构构成成“场场”,亦亦即即场场量量是是空空间间坐坐标标（以以及时间）的函数及时间）的函数.例如例如:温度分布温

11、度分布T(x,y,z,t)标量场标量场 流体速度分布流体速度分布v(x,y,z,t)矢量场矢量场 电磁场电磁场的两个基本的两个基本场量场量 电场强度电场强度E(x,y,z,t),磁感应强度磁感应强度B(x,y,z,t)都是都是矢量场矢量场 可以用势描写电磁场可以用势描写电磁场:标势标势（scalar potential）(x,y,z,t)标量场标量场 矢势矢势 (vector potential)A(x,y,z,t)矢量场矢量场 在在相对论四维时空相对论四维时空中中：和和A统一为统一为四维协变四维协变矢量矢量.E 和和B统一为统一为四维协变四维协变张量张量.量子理论量子理论：电磁场有波粒二象性

12、：电磁场有波粒二象性,电磁场（光子场）由波函数电磁场（光子场）由波函数描述描述.光子的光子的能量能量E=h ,光子的光子的动量动量p=h /c.1.矢量和张量代数矢量和张量代数 正交坐标系的基矢量正交坐标系的基矢量 三三维维空空间间正正交交坐坐标标系系(如如直直角角坐坐标标系系,球球坐坐标标系系,柱柱坐坐标标系系)基矢量基矢量e1,e2,e3 的正交性的正交性,可表示为可表示为 (1.1)(1.1)一般矢量一般矢量A 有三个独立分量有三个独立分量A1，A2，A3，故可写成故可写成 (1.2)(1.2)u1u2u3A1.矢量和张量代数矢量和张量代数 矢量的矢量的乘积乘积 两个矢量的两个矢量的标积

13、标积与与矢积矢积，三个矢量的，三个矢量的混合积混合积与与矢积矢积分分别满足别满足 (1.3)(1.3)(1.4)(1.4)(1.5)(1.5)(1.6)(1.6)AABBABq qAcosq qBcosq qq qABCAB1.矢量和张量代数矢量和张量代数 并矢量与二阶张量并矢量与二阶张量 两个矢量两个矢量A 和和B 并置并置,构成并矢量构成并矢量 (1.7)(1.7)它有它有9 9个分量个分量AiBj 和和9 9个基个基ei ej.一般地一般地u1u2u31.矢量和张量代数矢量和张量代数 三三维维空空间间二二阶阶张张量量也也有有9 9个个分分量量Tij，它它的的并并矢矢量量形形式式与与矩矩阵

14、阵(matrix)形式形式分别为分别为 (1.8)(1.8)(1.9)(1.9)u1u2u31.矢量和张量代数矢量和张量代数 张量的迹张量的迹,是其是其主对角线全部元素主对角线全部元素(分量分量)之和之和：(1.10)(1.10)trT =0 的张量的张量,称为称为无迹张量无迹张量.单位张量单位张量,其并矢量形式与矩阵形式分别是其并矢量形式与矩阵形式分别是 (1.11)(1.11)(1.12)(1.12)因此因此(1.1)(1.1)式中的符号式中的符号 ij,实际上是单位张量的分量实际上是单位张量的分量.1.矢量和张量代数矢量和张量代数 对称张量与反对称张量对称张量与反对称张量 若若Tij=T

15、ji,称之为称之为对称张量对称张量，它有，它有6 6个个独立分量独立分量.若对称张量的迹若对称张量的迹 trT=0，则它只有，则它只有5 5个个独立分量独立分量.单位张量单位张量是一个特殊的对称张量是一个特殊的对称张量.若若Tij=-Tji称称之之为为反反对对称称张张量量,由由于于T T11=T T22=T T33=0,反反对对称称张张量量只有只有3 3个个独立分量独立分量.任何张量任何张量Tij 均可写成一个均可写成一个对称张量对称张量Sij 与一个与一个反对称张量反对称张量Aij 之和，即之和，即Tij=Sij+Aij，只需使，只需使 Sij=(Tij+Tji)/2 ，Aij=(Tij-T

16、ji)/2 1.矢量和张量代数矢量和张量代数 二阶张量与矢量二阶张量与矢量点乘点乘，结果，结果降阶降阶为为矢量矢量.由由(1.1)(1.1)式，有式，有 (1.13)(1.13)(1.14)(1.14)一般地一般地 .但但单位张量单位张量与与任何矢量任何矢量点乘点乘，均给出原矢量：，均给出原矢量：(1.15)(1.15)1.矢量和张量代数矢量和张量代数 并并矢矢量量与与并并矢矢量量、或或二二阶阶张张量量与与二二阶阶张张量量双双点点乘乘，结结果果降降阶阶为为标量标量.运算规则运算规则:先将先将靠近的两个靠近的两个矢量矢量点乘点乘，再将，再将另两个另两个矢量矢量点乘点乘：(1.16)(1.16)2

17、.矢量和张量分析矢量和张量分析（1 1）算符）算符 和和 2 表表示示“场场”的的物物理理量量,一一般般地地是是空空间间坐坐标标（和和时时间间）的的连连续续函数函数，也可能有，也可能有间断点间断点，甚至会有，甚至会有奇点奇点.温度温度T 的分布的分布,静电势静电势 的分布的分布,都构成都构成标量场标量场.电电流流密密度度J,电电场场强强度度E,磁磁感感应应强强度度B,矢矢势势A 的的分分布布,都都构构成成矢量场矢量场.(读读“deldel”)是对场量作是对场量作空间空间一阶偏导数运算一阶偏导数运算的的矢量算符矢量算符.=2 是是二阶齐次偏导数运算二阶齐次偏导数运算的的标量算符标量算符，即，即拉

18、普拉斯算符拉普拉斯算符.2.矢量和张量分析矢量和张量分析在直角坐标系中在直角坐标系中，(2.1)(2.1)当当P P点位置变化点位置变化时，时，三个基矢量三个基矢量的的方向保持不变方向保持不变，即，即ex,ey,ez 均是均是常矢量常矢量.xyzP2.矢量和张量分析矢量和张量分析（2 2）标量场的梯度）标量场的梯度(gradient of a scalar field)标量场标量场 在某点在某点P P 的的梯度梯度 (2.2)是一个是一个矢量矢量，它在数值上等于，它在数值上等于 沿其沿其等值面等值面的的法向导数法向导数，方向，方向沿沿 增加的方向增加的方向，即，即 (2.3)(2.3)en是等

19、值面的是等值面的法向单位矢量法向单位矢量.例如例如,静电势静电势 的分布是一个的分布是一个标量场标量场,-=E 即变成即变成矢量矢量场场静电场静电场.xyzP2.矢量和张量分析矢量和张量分析（3 3）矢量场的散度）矢量场的散度(divergence of a vector field)矢量场矢量场A通过某曲面通过某曲面S 的的通量通量(flux),定义为定义为 (2.4)其中其中dS=dSen 是曲面是曲面某点某点P 附近的附近的面积元矢量面积元矢量，方向沿曲面在，方向沿曲面在该点的该点的法向法向en.对于对于闭合曲面闭合曲面(closed surface)，规定规定:dS 的方向沿曲面的的方

20、向沿曲面的外外法向法向.PP2.矢量和张量分析矢量和张量分析对于矢量场对于矢量场A中包含任一点中包含任一点P(x,y,z)的的小体积小体积 V,其闭合曲面为其闭合曲面为S，定义极限，定义极限 (2.5)为为矢量场矢量场A 在该点的在该点的散度散度,它是它是标量标量.在直角坐标系中在直角坐标系中 (2.6)若若处处处处均均有有A=0，就就称称A为为无无散散场场(solenoidal field),或或无无源源场场,它它的的场场线线必必定定是是连连续续而而闭闭合合的的曲曲线线.例例如如，磁磁场场的的B线线总总是是连连续续而闭合（遵从而闭合（遵从磁通连续性磁通连续性）,故故B是是无散场无散场,即即

21、B=0P2.矢量和张量分析矢量和张量分析高斯定理高斯定理(Gauss theorem)对任意闭合曲面对任意闭合曲面S 及其包围的体积及其包围的体积V，下述积分变换定理成立，下述积分变换定理成立 (2.7)由由此此推推知知，若若A 是是无无散散场场，即即处处处处有有A=0 ,则则A 场场通通过过任任何何闭合曲面闭合曲面S 的的净通量均为零净通量均为零.例如磁场例如磁场B.P2.矢量和张量分析矢量和张量分析（4 4）矢量场的旋度）矢量场的旋度(curl of a vector field)矢量场矢量场A沿闭合路径沿闭合路径(closed contour)的积分的积分称称为为A沿沿L 的的环环量量(

22、circulateon).其其中中dl 是是路路径径L的的线线元元矢矢量量.若若对对任意闭合路径任意闭合路径L，均有，均有 (2.8)则则A 称为称为保守场保守场（conservative field）.L2.矢量和张量分析矢量和张量分析当闭合路径当闭合路径L 所围成的面积元所围成的面积元S 是某点是某点P P 的无限小邻域，的无限小邻域，我们我们约定约定：路径积分的绕行方向即路径积分的绕行方向即dl 的方向的方向，与其，与其所所围围成成的的面面积积元元矢矢量量S =S en 的的法法向向en成成右右手手螺螺旋旋关关系系.并并定定义义极限极限 (2.9)为为矢量场矢量场A 在在P P点的点的旋

23、度旋度A 在在en方向的方向的分量分量.在直角坐标系中在直角坐标系中 (2.10)它是它是矢量矢量.LP P 2.矢量和张量分析矢量和张量分析如果所有点上均有如果所有点上均有A=0 称称A 为为无旋场无旋场(irrotational field).例如例如,静电场静电场E 就是就是无旋场无旋场,即即处处有处处有E=0.斯斯托托克克斯斯定定理理(stokes theorem)对对任任意意的的闭闭合合路路径径L 所所围围的的曲面曲面S，下述积分变换成立，下述积分变换成立 (2.11)LSAdl2.矢量和张量分析矢量和张量分析（5 5）矢量场的几个定理）矢量场的几个定理 标量场的梯度必为无旋场标量场

24、的梯度必为无旋场：(2.12)【证证】对对任意标量场任意标量场 的的梯度梯度取旋度取旋度，可得，可得 ,2.矢量和张量分析矢量和张量分析逆定理：逆定理：无旋场必可表示成某一标量场的梯度，即无旋场必可表示成某一标量场的梯度，即 若若 A=0,必可令必可令 A=例如例如,静电场强度静电场强度E,可用可用标势标势 的负梯度描写的负梯度描写:E=-.矢量场的旋度必为无散场：矢量场的旋度必为无散场：(2.13)(2.13)【证证】逆定理：逆定理：无散场必可表成另一矢量场的旋度，即无散场必可表成另一矢量场的旋度，即 若若 B=0,必可令必可令 B=A例如例如,磁感应强度磁感应强度B，就可用就可用矢势矢势A

25、 的的旋度旋度描写描写.2.矢量和张量分析矢量和张量分析（6 6）算符运算）算符运算 标标量量函函数数 的的梯梯度度 是是矢矢量量,矢矢量量函函数数f 的的散散度度 f 是是标标量量，旋度旋度 f 是是矢量矢量，而，而 f 是是二阶张量二阶张量：(2.14)(2.14)若若 和和 是是标量标量函数，函数，f 和和g 是是矢量矢量函数函数，有，有 (2.15)(2.15)(2.16)(2.16)(2.17)(2.17)(2.18)(2.18)(2.19)(2.19)(2.20)(2.20)(2.21)(2.21)(2.22)(2.22)上上述述运运算算,不不必必采采用用化化成成分分量量的的方方法

26、法进进行行，只只要要抓抓住住算算符符 的的微微分分作用作用及其及其矢量性质矢量性质，便可快捷准确地写出结果，便可快捷准确地写出结果.当当 作作用用于于两两个个函函数数的的乘乘积积（或或两两个个函函数数之之和和）时时,表表示示它它对对每每一一个个函函数数都都要要作作微微分分运运算算,可可以以先先考考虑虑 对对第第一一个个量量的的作作用用，并并将将这这个个量量记记为为 的的下下标标，以以示示算算符符只只对对此此量量执执行行微微分分运运算算，第第二二个个量量则则视视为为常常数数，再再考考虑虑 对对第第二二个个量量的的作作用用，此此时时亦亦将将第第二二个个量量记记为为 的的下下标标，第第一一个个量量则

27、则视视为为常常数数.必必须须注注意意的的是是，算算符符 不能不能与其与其微分运算对象微分运算对象掉换次序掉换次序.2.矢量和张量分析矢量和张量分析 例例如如(2.16)式式，(f)是是对对矢矢量量 f 求求散散度度，故故运运算算结结果果的的每每一项都必须是一项都必须是标量标量，我们有，我们有又又如如(2.20)式式,(f g)是是对对标标量量 f g 求求梯梯度度，结结果果的的每每一一项项都都必必须须是是矢量矢量，先把它写成，先把它写成再根据三矢量的矢积公式再根据三矢量的矢积公式(1.6)式，但结果中必须式，但结果中必须体现体现 f 对对 f 的的微分作用微分作用，以及，以及 g 对对g 的微

28、分作用的微分作用，故有，故有右方右方所得结果中所得结果中,第二项第二项实际上是实际上是g f，第四项第四项是是 f g.2.矢量和张量分析矢量和张量分析2.矢量和张量分析矢量和张量分析（7）积分变换）积分变换 （高斯定理）（高斯定理）(2.23)(2.24)（斯托克斯定理）（斯托克斯定理）(2.25)（格林公式）（格林公式）(2.26)（格林公式）（格林公式）(2.27)3.d.d函数函数 一维一维 函数函数定义为定义为 (3.1)当当 (3.2)主要性质主要性质：(x-x)为为偶函数偶函数，其，其导数导数是是奇函数奇函数.又又,若函数若函数f(x)在在x=x 附近连续，有附近连续，有 ，当，

29、当 (3.3)这一性质由中值定理可以证明这一性质由中值定理可以证明.x xab3.d.d函数函数 三维三维 函数函数定义为定义为 (3.4)，当当 x 在在V 内内 (3.5)因此，位于因此，位于x 的的单位点电荷单位点电荷(q=+1单位单位)的的密度密度可表示为可表示为 (3.3)式可推广到式可推广到三维情形三维情形，若，若函数函数f(x)在在x=x 附近连续附近连续，便有，便有 ，当，当 x在在V内内 (3.6)x yxzxV4.球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 直直角角坐坐标标系系 当当坐坐标标(x,y,z)变变化化时时,三三个个基基矢矢ex,ey,ez 的的方方向向保保持不变持不变

30、.常用的微分运算表达式为常用的微分运算表达式为 (4.1)(4.2)(4.3)(4.4)4.球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 曲曲线线正正交交坐坐标标系系 任任一一点点P的的坐坐标标(x,y,z),也也可可用用曲曲线线正正交交坐坐标标系描述，沿系描述，沿三个坐标三个坐标(u1,u2,u3)增加方向的增加方向的基矢量基矢量e1,e2,e3 互互相相正正交交.随随着着P点点坐坐标标变变化化，一一般般地地三三个个基基矢矢量量的的取取向向将将会会改改变变.无无限限小小线线元元矢矢量量dl 、坐坐标标ui的的标标度度系系数数hi,以以及及微微分分算算符符分分别别为为(4.5)(4.6)yzxP4.球

31、坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 (4.7)(4.7)(4.8)(4.8)yzxP4.球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 球坐标系球坐标系 三个基矢量三个基矢量 e1=er,e2=e ,e3=e 的的方方向向均均与与坐坐标标q q 和和f f 有有关关，而而与与r 无无关关.与与直角坐标系基矢的变换为直角坐标系基矢的变换为 (4.9)(4.9)yzxr4.球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 球坐标系球坐标系 (4.10)坐标变换为坐标变换为 ，(4.11)yzxr4.球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系常用的微分运算表达式为常用的微分运算表达式为 (4.12)(4.13)(4.14)(4

32、.15)4.球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 立体角元立体角元dW W、球面积元、球面积元dSr 与体积元与体积元dV分别为分别为(4.16)(4.17)(4.18)yzxrdd4.球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系柱坐标系柱坐标系 三个基矢量三个基矢量e1=er,e2=e,e3=ez ,er和和e的的方方向向均均与与坐坐标标f f 有有关关,ez则则为为常常矢矢量量.与直角坐标系基矢的变换为与直角坐标系基矢的变换为 (4.19)yzxrdz4.球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系柱坐标系柱坐标系 (4.20)坐标变换为坐标变换为 (4.21)yzxrdz常用的微分运算表达式为常用的微分

33、运算表达式为(4.22)(4.23)(4.24)(4.25)体积元为体积元为 (4.26)4.球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系5.例题例题例例1设设u 是空间坐标是空间坐标 x,y,z 的函数，证明：的函数，证明：(1)(2)(3)【证证】对于对于 f(u)，注意到，注意到 f/u=df/du ，有，有在直角坐标系中在直角坐标系中,将矢量将矢量A写成分量形式，便可证明写成分量形式，便可证明(2)式和式和(3)式式.例例2从源点（即电荷电流分布点）从源点（即电荷电流分布点）x 到场点到场点x 的距离的距离r 和矢径和矢径r 分别为分别为对对源变数源变数x 和和场变数场变数x 求微商的算符分别

34、为求微商的算符分别为证明下列结果，并体会证明下列结果，并体会算符算符 与与 的关系的关系：yxzxr x 5.例题例题5.例题例题 (单位矢量单位矢量)(1)(2)(3)(单位张量单位张量)(4)(5)(当当r 0 )(6)(7)yxzxrx 5.例题例题【证证】将算符将算符 与与 分别分别作用作用于于r 和矢径和矢径r 的表达式，可得到的表达式，可得到(1)(1)至至(4)(4)式的结果式的结果.利用前面例利用前面例1 1的第的第一式，和本例一式，和本例(1)(1)至至(4)(4)式的结果，得式的结果，得 （当（当r 0 ）同理可证同理可证 ；，当，当r 0 ；.yxzxrx 5.例题例题事实上，对任意的事实上，对任意的标量函数标量函数 f(r)和和矢量函数矢量函数 f(r)r ，不难证明，不难证明:即算符即算符 与与 存在存在代换关系代换关系 -.这代换将会这代换将会经常用到经常用到.例例3.证明积分变换证明积分变换 (1)(2)【证证】取取任一常矢量任一常矢量c(数值及取向均不变数值及取向均不变)点乘点乘 ,则则 是个是个矢量矢量，而且有，而且有于是据于是据高斯定理高斯定理 即有即有由由c的任意性的任意性，得，得 同理可证（同理可证（2）式）式.第一章习题第一章习题:1,2,4，5,6题题.5.例题例题