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1、比例线段：在四条线段中，假如其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段线段a、b、c、d成比例，表示为或abcd（称其为比例式），其中a、b、c、d叫做组成比例的项，a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项若作为比例内项是两条相同的线段，即abbc或，那么线段b叫做线段a和c的比例中项例1、假如，且xyz12，求x，y，z的值解：设，则x3k4，y2k3，z4k8代入xyz12中，得3k42k34k812，解得k3x3k43345，y2k32333，z4k84384比例的基本性质其中（3）称为合比性质，（4）称为等比性质例
2、2、已知a,b,c分别是ABC的三边长，且，试猜想ABC的形态，并说明理由解：因为a+b+c0, 且,所以，同理，因为 a0,b0,c0，所以a-b=0, b-c=0, c-a=0,即a=b,b=c,c=a,所以 a=b=c所以ABC是等边三角形例3、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形是正方形，那么边长是多少？若这个矩形的长是宽的两倍，则边长是多少？解：（1）设正方形边长为xmm， PQAD，PNBC，依据平行线分线段成比例得，由题意知PN=PQ=x，AD=80，BC=120
3、，两式相加得解得x=48.这个正方形的边长为48mm（2）设长方形的宽为xmm，长为2xmm， PQAD，PNBC，依据平行线分线段成比例得，若PN=2x， PQ=x，AD=80，BC=120，两式相加得解得x=若PN=x， PQ=2x，AD=80，BC=120，两式相加得解得x=30（mm），2x=60(mm). 答：矩形的长为宽为或长为60mm，宽为30mm相像多边形1）相像图形定义：形态相同的图形称为相像图形2）相像多边形定义：一般地，各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相像多边形相像多边形对应边的比叫做它们的相像比3）相像多边形的性质及判定相像多边形的性质：对应角相等，对应边成比例
4、相像多边形的判定：(1)边数相同；(2)对应角相等；(3)对应边成比例判定两个多边形相像，这三个条件缺一不行，另外，形态相同的图形也是相像图形相像三角形的判定1、相像三角形定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形叫相像三角形其中对应边的比称为相像比，当相像比等于1时，两个相像三角形全等2、相像三角形的判定（1）假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相像（3）假如两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相像（4）假如两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角
5、形相像（5）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相像.例4、已知，如图，在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线解析式为(1)在x轴上存在这样的点M，使MAB为等腰三角形，求出全部符合要求的点M的坐标；(2)动点P从点C起先在线段CO上以每秒个单位长度的速度向点O移动，同时，动点Q从点O起先在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动设P、Q移动的时间为t秒是否存在这样的时刻t，使OPQ与BCP相像，并说明理由；设BPQ的面积为S，求S与t间的函数关系式，并求出t为何值时，S有最小值解：(1)如图，易知A(0,1)，AB为底边，则，AB为腰且MA=AB时，由题意可知，由对称性知
6、AB为腰且MB=AB时，由题意可知由对称性知(2)假设存在这样的时刻t，使OPQ与BCP相像如图所示，OQ=t，由得，即t2t1=0或3t=2，解得又0t1，当时，OPQ与BCP相像当时，面积S有最小值，最小值是例5、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：；（2）设，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，求x的值（1）证明：在正方形ABCD中，在中，（2）解：，当时，y取最大值，最大值为10（3）解：，要使，必需有
7、，由（1）知，当点M运动到BC的中点时，此时黄金分割设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上，且AC为b 近似值为0.618例6、已知点C是线段AB的黄金分割点，AC，且ACBC，求线段AB与BC的长。解：设AB=x，BC=x-55+5，由AC/AB=BC/AC，得x（x-55+5）=（55-5）x-55x+5x+505-150=0x=（55-5）5（5-5）/2x1=10，x2=55-15(小于0舍去）。AB=10，BC=15-55.相像三角形的性质（1）相像三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相像三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比（3）相像三角形
8、的周长的比等于相像比（4）相像三角形的面积的比等于相像比的平方例7、如图，ABC中，DEBC，BE和CD相交于点F，且SEFC=3SEFD求SADESABC解： 位似1、位似变换的定义若两个图形不仅是相像图形，而且每组对应点的连线都经过同一个点，则这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心，这时的相像比又称位似比从定义可看出，位似图形确定是相像图形，但相像图形不愿定是位似图形2、位似图形的性质位似图形的随意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比例8、如图ABC中，AB80cm，高CD60cm，矩形EFGH中E、F在AB边上，G在BC边上，H在三角形内，且EF:GF2:1（1）在ABC内画出矩
9、形GFEH的位似形，使其顶点在ABC的边上（保留作图痕迹）（2）求所作的矩形的面积解：（1）矩形GFEH的位似形其长与宽的比为2:1，设其宽为x，则长为2x，依据相像三角形的性质可知：，两式左右两边分别相加得：，解得：x24，由此先找出点I，然后作IJAB于点J，作IKAB交AC于点K，再过点K作KLAB于点L，连接各顶点，四边形IJLK即为所求所画图形如下所示：（2）由（1）可知，该矩形的长为48，宽为24，3、在平面直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称后，各点的坐标会发生相应变更，同样，图形经过位似变换后，点的坐标也会发生相应变更变更规律为：在平面直角坐标系中，假如位似变换是以原点为位
10、似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标值的比等于k或k警示：（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形坐标的变更规律（2）当对应点在同一象限内时，对应点坐标的比（指横坐标与横坐标，纵坐标与纵坐标的比）等于k（3）当一个点在x轴上，它的对应点仍在x轴上，且横坐标的比等于k或k（这时纵坐标为0，比值不存在），在y轴上的情形类似例9、如图，ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，4）、B（-3，1）、C（-1，1），以坐标原点O为位似中心，相像比为2，在其次象限内将ABC放大，放大后得到ABC（1）画出放大后的ABC，并写出点A、B、C的坐标（点A、B、C的对应点为A、B、C）（2）求ABC的面积 解：（1）如图所示，ABC即为所求A（-4，8）；B（-6，2）；C（-2，2）（2）SABC=23=3，又ABC与ABC的相像比为21，SABC=4SABC=12
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