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1、目录 上页 下页 返回 结束 第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 第八八章 三、实例分析三、实例分析 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间直线方程一、空间直线方程因此其一般式方程1 1.一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)直线直线L的方向向量的方向向量：平行于已知直线：平行于已知直线L的的非零向量非零向量s。目录 上页 下页 返回 结束 2.对称式方程对称式方程故有说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为已知直线上
2、一点例如,当和它的方向向量 目录 上页 下页 返回 结束 3.参数式方程参数式方程设得参数式方程:目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.是直线上一点目录 上页 下页 返回 结束 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1.两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线 L1,L2 的方向向量分别为 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取
3、锐角)目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求以下两直线的夹角解解:直线L1的方向向量为直线L2的方向向量为二直线夹角 的余弦为(参考P45 例2)从而目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角为线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;2.直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:解解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.垂 例例3.求过点(1,2,4)且与
4、平面目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 设设M0(x0,y0,z0)是是平平面面：外外一一点点，求求M0 0 到平面到平面 的距离的距离.M0Nnd=?解解1 1 可先求得过点可先求得过点M0且与平面且与平面 垂直的直线垂直的直线L的方程的方程,然后再求然后再求平面平面 与直线与直线L的交点的交点N坐标坐标,最后由两点的距离公式即得所求最后由两点的距离公式即得所求.直线直线L的方程为的方程为代入平面代入平面 的方程得的方程得于是于是M0 0 到平面到平面 的距离的距离为为于是交点于是交点N的的坐标为坐标为:解解2:2:利用投影利用投影(P(P4242)目录 上页 下页 返回 结束 3、平
5、面束、平面束平面束平面束：通过定直线：通过定直线L的所有平面的全体的所有平面的全体.设设L的一般方程为的一般方程为 A1x+B1y+C1z+D1=0，(1)A2x+B2y+C2z+D2=0，(2)其中系数其中系数A1，B1，C1与与A2，B2，C2不成比例不成比例.1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0 平面束方程平面束方程注注平面束方程平面束方程(3)中不包含平面中不包含平面A2x+B2y+C2z+D2=0。平面束方程通常写成平面束方程通常写成 A1x+B1y+C1z+D1+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)目录 上页 下页 返回 结束 解 直线L
6、在平面上的投影可视为与过L且垂直于的平面1的交线.因为1是通过L的平面束中的一个平面，于是可设1的方程为由与1垂直知 (1+)1+(1-)1+(-1+)1=0,得=-1.从而1的方程为 y-z-1=0.所以投影直线的方程为 x+y-z-1+（x-y+z+1)=0.其法向量为n=1+，1-，-1+.1L这是投影平面这是给定的平面例例5.求直线在平面上的投影直线方程.目录 上页 下页 返回 结束 三三、实实例分析例分析例例6.求与两平面 x 4 z=3 和 2 x y 5 z=1 的交线提示提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且 过点(3,2,5)的直线方程.目录 上页 下页 返
7、回 结束 例例7.求直线与平面的交点.提示提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示提示:先求二直线交点 P.化已知直线方程为参数方程,代入 式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为过已知点且垂直于已知直线目录 上页 下页 返回 结束 例例9.设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的方向余弦.提示提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量所求为目录 上页 下页 返回 结束 1.空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式
8、 内容小结内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 直线2.线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:目录 上页 下页 返回 结束 平面 :L L/夹角公式：3.面与线间的关系面与线间的关系直线 L:目录 上页 下页 返回 结束 到直线的距离为点d目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P48 2，3，5，7，8，9，14，15 P48 题2,10习题课 思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 解：解：相交,求此直线方程.的方向向量为过 A 点及 面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积.所以一直线过点 且垂直于直线 又和直线备用题备用题目录 上页 下页 返回 结束 设所求直线与 L2 的交点为待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与L2 的交点.即故所求直线方程为 则有目录 上页 下页 返回 结束 代入上式,得由点向式得所求直线方程而
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