选修231.2排列与组合

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1、排列与组合排列与组合排列排列N=m1+m2+mn 做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以有有有有n n类办法类办法类办法类办法,在第一类办法在第一类办法在第一类办法在第一类办法中有中有中有中有mm1 1种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有mm2 2种不同的种不同的种不同的种不同的方法，方法，方法，方法，在第，在第，在第，在第n n类办法中有类办法中有类办法中有类办法中有mmn n种不同的方法。那么种不同的方法。那么种不同的方法。那么种不同的方法。那么完成这件事共

2、有完成这件事共有完成这件事共有完成这件事共有 .种不同的方法种不同的方法种不同的方法种不同的方法分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理N=m1m2mn 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n n个步骤个步骤个步骤个步骤，做第一步，做第一步，做第一步，做第一步有有有有mm1 1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有mm2 2种不同的方法，种不同的方法，种不同的方法，种不同的方法，做第，做第，做第，做第n n步有步有步有步有mmn n种不同的方法，

3、那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有 _种不同的方法种不同的方法种不同的方法种不同的方法.分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理 问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项名参加一项活动，其中活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？分析：把题目转化为分析：把题目转化为从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的名，

4、按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？顺序排列，求一共有多少种不同的排法？上午上午上午上午下午下午下午下午相应的排法相应的排法相应的排法相应的排法甲甲甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙乙乙乙乙甲甲甲甲丙丙丙丙丙丙丙丙甲甲甲甲乙乙乙乙甲甲甲甲丙丙丙丙甲甲甲甲乙乙乙乙乙甲乙甲乙甲乙甲乙丙乙丙乙丙乙丙丙甲丙甲丙甲丙甲丙乙丙乙丙乙丙乙 第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任名中任选选1名，有名，有3种选法种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法种方法根据分步计数原理：根据分步计数原理：32=6

5、 即共即共6种方法。种方法。把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素元素元素,于是问题于是问题于是问题于是问题就可以叙述为：就可以叙述为：就可以叙述为：就可以叙述为：从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb 问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？成一个三位数，共可得到多少个不同

6、的三位数？分析：解决这个问题分三个步骤：分析：解决这个问题分三个步骤：分析：解决这个问题分三个步骤：分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在第一步先确定左边的字母，在第一步先确定左边的字母，在第一步先确定左边的字母，在4 4个字母中任取个字母中任取个字母中任取个字母中任取1 1个，个，个，个，有有有有4 4种方法；种方法；种方法；种方法；第二步确定中间的字母，从余下的第二步确定中间的字母，从余下的第二步确定中间的字母，从余下的第二步确定中间的字母，从余下的3 3个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有3 3种方法；种方法；种方法；种方法；第三步确定右边的字母，从

7、余下的第三步确定右边的字母，从余下的第三步确定右边的字母，从余下的第三步确定右边的字母，从余下的2 2个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有2 2种方法。种方法。种方法。种方法。根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有 4324322424种不同的排法。如下图所示种不同的排法。如下图所示种不同的排法。如下图所示种不同的排法。如下图所示有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：123123，124124，132132，134134，142142，143;143;

8、213 213，214214，231231，234234，241241，243243，312312，314314，321321，324324，341341，342;342;412 412，413413，421421，423423，431431，432432。同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为：从个不同的元素从个不同的元素从个不同的元素从个不同的元素a a，b b，c c，d d中任取个，然后按中任取个，然后按中任取个，然后按中任取个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？照一定的

9、顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abcabc,abdabd,acbacb,acdacd,adbadb,adcadc;bacbac,bad,bad,bcabca,bcdbcd,bdabda,bdcbdc;cab,cad,cab,cad,cbacba,cbdcbd,cdacda,cdbcdb;dab,dab,dacdac,dbadba,dbcdbc,dcadca,dcbdcb.上面两个问题有什么共同特征？上面两个问题有什么共同特征？上面两个问题有什么共同特征？上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？可以用怎样的数学模型来刻画？

10、可以用怎样的数学模型来刻画？可以用怎样的数学模型来刻画？(1)有顺序的有顺序的(2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等?一般的，从一般的，从一般的，从一般的，从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mm(mnn)个元素，个元素，个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序排成一列，叫做从叫做从叫做从叫做从n n个不同元素中取个不同元素中取个不同元素中取个不同元素中取出出出出mm个元素的一个排列。个元素的一个排列。个元素的一个排列。个元素的一

11、个排列。排列的定义：排列的定义：排列的定义：排列的定义：排列的特征排列的特征排列的特征排列的特征(1)(1)排列问题实际包含两个过程：排列问题实际包含两个过程：排列问题实际包含两个过程：排列问题实际包含两个过程：先从先从先从先从n n个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出mm个不同的元素个不同的元素个不同的元素个不同的元素;再把这再把这再把这再把这mm个不同元素按照一定的顺序排成一列个不同元素按照一定的顺序排成一列个不同元素按照一定的顺序排成一列个不同元素按照一定的顺序排成一列.(2)(2)两个排列相同的条件：两个排列相同的条件：两个排列相同的条件：两个排列相同的条件

12、：元素完全相同元素完全相同元素完全相同元素完全相同;元素的排列顺序也相同元素的排列顺序也相同元素的排列顺序也相同元素的排列顺序也相同.例如例如例如例如123123与与与与213213为什么是为什么是为什么是为什么是不同的排列。不同的排列。不同的排列。不同的排列。例例例例1 1 下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？（1 1 1 1）1010名学生中抽名学生中抽名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会的选法；名学生开会的选法；名学生开会的选法；名学生开会的选法；（2 2 2 2）1010名学生中选名学生中选名学生中选名学生中选2 2名

13、做正、副组长的选法；名做正、副组长的选法；名做正、副组长的选法；名做正、副组长的选法；（3 3 3 3）从）从）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘积的个数；中任取两个数相乘积的个数；中任取两个数相乘积的个数；中任取两个数相乘积的个数；（4 4 4 4）从）从）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除商的个数；中任取两个数相除商的个数；中任取两个数相除商的个数；中任取两个数相除商的个数；（5 5 5 5）2020位同学互通一次电话的次数；位同学互通一次电话的次数；位同学互通一次电话的次数；位同学互通一次电话的次数；（6 6 6 6）以圆上的）以圆

14、上的）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦的条数；个点为端点作弦的条数；个点为端点作弦的条数；个点为端点作弦的条数；（7 7 7 7）以圆上的）以圆上的）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作过另个点中的某一点为起点，作过另个点中的某一点为起点，作过另个点中的某一点为起点，作过另 一个点的射线的条数；一个点的射线的条数；一个点的射线的条数；一个点的射线的条数；（8 8 8 8）有）有）有）有1010个车站，共需要多少种车票；个车站，共需要多少种车票；个车站，共需要多少种车票；个车站，共需要多少种车票；（9 9 9 9）安排）安排）安排）安排5 5个学生为班里的个学生为班里的个学

15、生为班里的个学生为班里的5 5个班干部，每人一个职位个班干部，每人一个职位个班干部，每人一个职位个班干部，每人一个职位.那那那那些些些些是是是是全全全全排排排排列列列列？排列中的注意点：排列中的注意点：排列中的注意点：排列中的注意点：1、元素不能重复。、元素不能重复。n个中不能重复，个中不能重复，m个中也不能重复。个中也不能重复。2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题就是与位置有关，这是判断一个问题是是 否是排列问题的关键。否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相 同，而且元素的排列顺序也完全相

16、同。同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、mn时的排列叫全排列。时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好 采用采用“树形图树形图”。排列数：排列数：从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列个元素的所有排列的个数，叫做从的个数，叫做从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的排列个元素的排列数。用符号数。用符号 表示。表示。“排列排列排列排列”和和和和“排列数排列数排列数排列数”有什么区别和联系？有什么区别和联系？有什么区别和联系？有什么区别和联系？“一个排列一个排列一个排列一个排列”是

17、指：从是指：从是指：从是指：从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取mm个个个个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数排列数排列数排列数”是指从是指从是指从是指从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取mm个元素的个元素的个元素的个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号所有排列的个数，是一个数；所以符号所有排列的个数，是一个数；所以符号所有排列的个数，是一个数；所以符号 只表示排列只表示排列只表示排列只

18、表示排列数，而不表示具体的排列数，而不表示具体的排列数，而不表示具体的排列数，而不表示具体的排列.问题问题1 中是求从中是求从3个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的个元素的排列数，记为排列数，记为:问题问题2 中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的排个元素的排列数，记为列数，记为:从从n个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的排列数个元素的排列数 是多少？是多少？第第1位位第第2位位nn-1第第1位位第第2位位第第3位位n-2nn-1同理同理 可以这样计算可以这样计算 第第第第1 1位位位位第第第第2 2位位位位第第第第3 3位位位位第第第第m m m m位位位位

19、nn-1n-2n-(m-1)一般地一般地一般地一般地 可以这样计算：可以这样计算：可以这样计算：可以这样计算：排列数公式排列数公式排列数公式排列数公式观察观察观察观察排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：（1 1）第一个因数是第一个因数是第一个因数是第一个因数是n n，后面每一个因数比它前面一，后面每一个因数比它前面一，后面每一个因数比它前面一，后面每一个因数比它前面一个因数少个因数少个因数少个因数少1 1（2 2）最后一个因数是最后一个因数是最后一个因数是最后一个因数是n nmm1 1（3 3）共有共有共有共有mm个因数个因数个因数个因数 n n个不

20、同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素全部取出的一个排列，叫做n n个元素个元素个元素个元素的一个全排列，这时公式中的的一个全排列，这时公式中的的一个全排列，这时公式中的的一个全排列，这时公式中的n=mn=m，即有，即有，即有，即有:就是说，就是说，就是说，就是说，n n个不同元素全部取出的排列数，等于正个不同元素全部取出的排列数，等于正个不同元素全部取出的排列数，等于正个不同元素全部取出的排列数，等于正整数整数整数整数1 1到到到到n n的连乘积，的连乘积，的连乘积，的连乘积，正整数正整数1到到n的连乘积，叫做的连乘积，叫

21、做n的阶乘的阶乘，用，用n!表示，表示，所以所以n个不同元素的全排列数公式可以写成个不同元素的全排列数公式可以写成另外，我们规定另外，我们规定0!1例例1 计算：计算：我们发现：我们发现：我们发现：我们发现：这个结果有一般性吗？这个结果有一般性吗？这个结果有一般性吗？这个结果有一般性吗？例例例例2 (1)2 (1)若若若若,则则则则n=n=，m=m=解：（解：（解：（解：（1 1）n=17n=17，m=14 m=14 (2)(2)若若若若则则则则用排列数符号表示为用排列数符号表示为用排列数符号表示为用排列数符号表示为 例例例例3 3 某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（某年全

22、国足球甲级（A A组）联赛共有组）联赛共有组）联赛共有组）联赛共有1414个队参个队参个队参个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛共要进行多少场比赛共要进行多少场比赛共要进行多少场比赛.解：任意两队间进行解：任意两队间进行解：任意两队间进行解：任意两队间进行1 1次主场比赛与次主场比赛与次主场比赛与次主场比赛与 1 1 次客场比赛，次客场比赛，次客场比赛，次客场比赛，对应于从对应于从对应于从对应于从1414个元素中任取

23、个元素中任取个元素中任取个元素中任取2 2个元素的一个排列因此，比个元素的一个排列因此，比个元素的一个排列因此，比个元素的一个排列因此，比赛的总场次是赛的总场次是赛的总场次是赛的总场次是=1413=182.=1413=182.例例例例4 4（1 1）从）从）从）从5 5本本本本不同的书中选不同的书中选不同的书中选不同的书中选3 3本送给本送给本送给本送给3 3名同学，每人名同学，每人名同学，每人名同学，每人各各各各1 1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？（2 2）从）从）从）从5 5种种种种不同的书中买不同的书中买不同的书中

24、买不同的书中买3 3本送给本送给本送给本送给3 3名同学，每人各名同学，每人各名同学，每人各名同学，每人各1 1本，本，本，本，共有多少种不同的送法？共有多少种不同的送法？共有多少种不同的送法？共有多少种不同的送法？(种种)(种种)百位百位百位百位十位十位十位十位个位个位个位个位解法一：直接法解法一：直接法解法一：直接法解法一：直接法0 0 0 0是是是是“特殊元素特殊元素特殊元素特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。，特殊元素要特殊（优先）处理。，特殊元素要特殊（优先）处理。，特殊元素要特殊（优先）处理。有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题1 1

25、 特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题 例例例例5 5 用用用用 0 0 到到到到 9 9 这十个数字，可以组成多少个没有重这十个数字，可以组成多少个没有重这十个数字，可以组成多少个没有重这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？复数字的三位数？复数字的三位数？对排列方法对排列方法对排列方法对排列方法分步思考分步思考分步思考分步思考。解法三：解法三：解法三：解法三：间接法间接法间接法间接法.所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是:求以求以求以求以0 0 0 0为排头的排列数为为排

26、头的排列数为为排头的排列数为为排头的排列数为:从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数求总数：从求总数：从求总数：从求总数：从0 0到到到到9 9这十个数字中任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为:解法二：直接法解法二：直接法解法二：直接法解法二：直接法 第一类：每一位数字都不是第一类：每一位数字都不是第一类：每一位数字都不是第一类：每一位数字都不是0 0的三位数有的三位数有的三位数有的三位数有第二类：个位数字是第二类：个

27、位数字是第二类：个位数字是第二类：个位数字是0 0的三位数有的三位数有的三位数有的三位数有第三类：十位数字是第三类：十位数字是第三类：十位数字是第三类：十位数字是0 0的三位数有的三位数有的三位数有的三位数有 符合条件的三符合条件的三符合条件的三符合条件的三位数的个数是位数的个数是位数的个数是位数的个数是:小小小小 结一：结一：结一：结一：对于对于对于对于“在在在在”与与与与“不在不在不在不在”等有特殊元素或等有特殊元素或等有特殊元素或等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是特殊位置的排列问题，通常是特殊位置的排列问题，通常是特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位

28、置先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位置，称为称为称为称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法（优限法优限法优限法优限法）。）。）。）。练习练习练习练习 用用用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的1)1)五位数；五位数；五位数；五位数；2)2)六位偶数；六位偶数；六位偶数；六位偶数；3)3)大于大于大于大于213045213045的自然数的自然数的自然数的自然数.1)1)解解解解1 1 位置分析法：首位是特殊位置，位

29、置分析法：首位是特殊位置，位置分析法：首位是特殊位置，位置分析法：首位是特殊位置，0 0不能排，不能排，不能排，不能排，有有有有5 5种排法种排法种排法种排法,其余其余其余其余4 4个位置有个位置有个位置有个位置有A A4 45 5种排法，种排法，种排法，种排法，由乘法原理知共有由乘法原理知共有由乘法原理知共有由乘法原理知共有 5 A5 A4 45 5=55432=600=55432=600 1)1)解解解解2.2.（间接法）（间接法）（间接法）（间接法）6 6个数中取个数中取个数中取个数中取5 5个数的排列中有不满个数的排列中有不满个数的排列中有不满个数的排列中有不满足要求的数如足要求的数如

30、足要求的数如足要求的数如0213402134等，等，等，等，OO这样的数共有这样的数共有这样的数共有这样的数共有:A A5 56 6-A-A4 45 5=600=600 第二类个位不是第二类个位不是第二类个位不是第二类个位不是0,0,个位有两种排法，首位有个位有两种排法，首位有个位有两种排法，首位有个位有两种排法，首位有4 4种排种排种排种排法，中间四位有法，中间四位有法，中间四位有法，中间四位有A A4 44 4种排法，第二类共有种排法，第二类共有种排法，第二类共有种排法，第二类共有24A24A4 44 4=192,=192,2)2)可分为两类，可分为两类，可分为两类，可分为两类，第一类是个

31、位为第一类是个位为第一类是个位为第一类是个位为0 0的有的有的有的有A A5 55 5个个个个;由加法原理共有由加法原理共有由加法原理共有由加法原理共有 A A5 55 5+192=312+192=312 练习练习练习练习 用用用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的大于可组成多少个无重复数字的大于可组成多少个无重复数字的大于可组成多少个无重复数字的大于213045213045的自然数的自然数的自然数的自然数.A A1 13 3AA5 55 5A A1 13 3AA4 44 4A A1 12 2AA3 33 3A A1 12 2AA2 22 2第五类：形如第五类

32、：形如第五类：形如第五类：形如213054213054有有有有一个一个一个一个因此满足要求的数共有因此满足要求的数共有因此满足要求的数共有因此满足要求的数共有449449个个个个 第一类：形如第一类：形如第一类：形如第一类：形如3 3,4,4,5,5,这样这样这样这样的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：第二类：形如第二类：形如第二类：形如第二类：形如 2323，2424，2525这样这样这样这样的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：第三类：形如第三类：形如第三类

33、：形如第三类：形如214214,215,215这样的数都是满足这样的数都是满足这样的数都是满足这样的数都是满足条件的数共有：条件的数共有：条件的数共有：条件的数共有：第四类：形如第四类：形如第四类：形如第四类：形如21342134,2135,2135的数有的数有的数有的数有A A6 66 6=720.=720.共有共有共有共有A A6 61 1 A A6 66 6=4320.=4320.,共有共有共有共有A A6 61 1 A A6 66 6=4320.=4320.所以所以所以所以共有共有共有共有 A A7 77 7-A-A6 66 6=7 A=7 A6 66 6-A-A6 66 6=4320

34、.=4320.例例例例6 6 7 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？位同学站成一排，共有多少种不同的排法？位同学站成一排，共有多少种不同的排法？位同学站成一排，共有多少种不同的排法？A A7 77 75040.5040.7 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的6 6个元素的全排列个元素的全排

35、列个元素的全排列个元素的全排列解：问题可以看作：解：问题可以看作：解：问题可以看作：解：问题可以看作：7 7个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列 7 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？少种不同的排法？少种不同的排法？少种不同的排法？解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有A A6 61 1种，种，种，种，其余其余其余其余6 6人全排列有人全排列有人全排列有人全排

36、列有A A6 66 6 种，种，种，种，解二：从其他解二：从其他解二：从其他解二：从其他6 6人中先选出一人站首位，有人中先选出一人站首位，有人中先选出一人站首位，有人中先选出一人站首位，有 A A6 61 1剩下剩下剩下剩下6 6人人人人(含甲含甲含甲含甲)全排列全排列全排列全排列,有有有有A A6 66 6解三：解三：解三：解三：7 7人全排列有人全排列有人全排列有人全排列有 A A7 77 7,甲在首位的有甲在首位的有甲在首位的有甲在首位的有A A6 66 6解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步 甲甲甲甲,乙站在

37、两端有乙站在两端有乙站在两端有乙站在两端有则则则则共有共有共有共有A A2 22 2 A A5 55 5=240=240种种种种排列方法排列方法排列方法排列方法甲甲甲甲乙乙乙乙乙乙乙乙甲甲甲甲 a ab bc cd de e e eb bd dc ca aA A5 55 5A A5 55 5A A2 22 2A A2 22 2 例例例例6 (4)76 (4)7位同学站成一排甲、乙只能站在两端的位同学站成一排甲、乙只能站在两端的位同学站成一排甲、乙只能站在两端的位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？排法共有多少种？排法共有多少种？排法共有多少种？A A2 22 2种种种种.第二步第二

38、步第二步第二步 余下的余下的余下的余下的5 5名同学进行全排列有名同学进行全排列有名同学进行全排列有名同学进行全排列有 A A5 55 5种种种种所以所以所以所以一共有一共有一共有一共有A A5 52 2 A A5 55 5 24002400种排列方法种排列方法种排列方法种排列方法 例例例例6 (5)76 (5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？排尾的排法共有多少种？排尾的排法共有多少种？排尾的排法共有多少种？解：第一步解：第一步解：第一步解：第一步 从（除去甲

39、、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的5 5位同学中选位同学中选位同学中选位同学中选2 2位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有A A5 52 2种方法种方法种方法种方法第二步第二步第二步第二步 从余下的从余下的从余下的从余下的5 5位同学中选位同学中选位同学中选位同学中选5 5位进行排列（全排列）有位进行排列（全排列）有位进行排列（全排列）有位进行排列（全排列）有A A5 55 5种方法种方法种方法种方法例例6 (6)若甲不在排头若甲不在排头,乙不在排尾乙不在排尾,有多少种不同的排法有多少种不同的排法?

40、解法一（直接法）：解法一（直接法）：解法一（直接法）：解法一（直接法）：以甲作为分类标准以甲作为分类标准以甲作为分类标准以甲作为分类标准,分为两类：分为两类：分为两类：分为两类：第一类：先安排甲在中间第一类：先安排甲在中间第一类：先安排甲在中间第一类：先安排甲在中间,再安排乙再安排乙再安排乙再安排乙,有有有有第二类：先安排甲在排尾第二类：先安排甲在排尾第二类：先安排甲在排尾第二类：先安排甲在排尾,再安排其他人再安排其他人再安排其他人再安排其他人,有有有有共有：共有：共有：共有：37203720种方法种方法种方法种方法例例6 (6)若甲不在排头若甲不在排头,乙不在排尾乙不在排尾,有多少种不同的排

41、法有多少种不同的排法?解法二（间接法）：解法二（间接法）：所有排法中除去不符合的所有排法中除去不符合的.所有排法：所有排法：甲在排头：甲在排头：乙在排尾：乙在排尾：甲在排头、乙在排尾：甲在排头、乙在排尾：共有：共有：3720种方法种方法(7)7(7)7位同学站成两排位同学站成两排位同学站成两排位同学站成两排(前前前前3 3后后后后4),4),共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？解解解解:根据分步计数原理根据分步计数原理根据分步计数原理根据分步计数原理:7654321:76543217 7！=5040.=5040.有限制条件的排列问题有限制条件

42、的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题2 2 相邻问题相邻问题相邻问题相邻问题(9)(9)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？例例例例6 (8)6 (8)甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？解解:甲、乙合在一起有甲、乙合在一起有A22种排法种排法,与另五个同学全排列有与另五个同学全排列有A66种排法，种排法，共有共有N=A22 A66=720捆捆 绑绑 法法3 3 不相

43、邻问题不相邻问题不相邻问题不相邻问题(9)(9)解法一：间接法解法一：间接法解法一：间接法解法一：间接法(11)(11)甲、乙、丙按指定顺序排列。甲、乙、丙按指定顺序排列。甲、乙、丙按指定顺序排列。甲、乙、丙按指定顺序排列。(10)(10)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解法二：先将其余五个同学排好有解法二：先将其余五个同学排好有解法二：先将其余五个同学排好有解法二：先将其余五个同学排好有:再将甲、乙同学分别插入这六个再将甲、乙同学分别插入这六

44、个再将甲、乙同学分别插入这六个再将甲、乙同学分别插入这六个“空位空位空位空位”有有有有:所以一共有所以一共有所以一共有所以一共有种方法种方法种方法种方法种方法，种方法，种方法，种方法，此时他们留下六个此时他们留下六个此时他们留下六个此时他们留下六个“空位空位空位空位”，种方法种方法种方法种方法,插空法插空法A44A53=1440其余四人在其余四人在7个位置中选个位置中选4个，有个，有:A74方法，方法，甲、乙和丙三个同学在其余甲、乙和丙三个同学在其余甲、乙和丙三个同学在其余甲、乙和丙三个同学在其余3 3个位置中，只有一种方法个位置中，只有一种方法个位置中，只有一种方法个位置中，只有一种方法共有

45、共有N=A741=840种站法种站法.练习练习练习练习1 1 若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若其中的若其中的若其中的若其中的A A小孩必须站在小孩必须站在小孩必须站在小孩必须站在B B小孩的左边，有多少小孩的左边，有多少小孩的左边，有多少小孩的左边，有多少种不同的排法？种不同的排法？种不同的排法？种不同的排法？所以在全排列中，所以在全排列中，所以在全排列中，所以在全排列中，A A在在在在B B左边与左边与左边与左边与A A在在在在B B右边的排法数相等右边的排法数相等右边的排法数相

46、等右边的排法数相等解解解解:A:A在在在在B B左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着A A在在在在B B右边的一种排法右边的一种排法右边的一种排法右边的一种排法种排法。种排法。种排法。种排法。因此有：因此有：因此有：因此有：插空法插空法 若三个女孩要站在一起，四个男孩也若三个女孩要站在一起，四个男孩也若三个女孩要站在一起，四个男孩也若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一要站在一要站在一要站在一起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？不同的排法有：不同的排法有：不同的排法有：不同的排法

47、有：（种）捆捆绑绑法法若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有A A4 44 4种排法，种排法，种排法，种排法，五个空档五个空档五个空档五个空档(包括两端包括两端包括两端包括两端)再把三个女孩插入空档中有再把三个女孩插入空档中有再把三个女孩插入空档中有再把三个女孩插入空档中有A A5 53 3种方法种方法种方法种方法共有：共有：共有：共有：种排法。种排法。种排法。种排法。插

48、空法插空法若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？练习练习练习练习2 2 某人射击某人射击某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中枪，命中枪，命中4 4枪，枪，枪，枪，4 4枪命种恰好枪命种恰好枪命种恰好枪命种恰好3 3枪枪枪枪连在一起的不同种数有多少？连在一起的不同种数有多少？连在一起的不同种数有多少？连在一起的不同种数有多少？解：连续命中的解：连续命中的解：连续命中的解：连续命中的3 3枪和命中的另一枪被未命中的枪和命中的另一枪被未命中的枪和命中的另一枪被未命中的枪和命中的

49、另一枪被未命中的4 4枪所隔开枪所隔开枪所隔开枪所隔开 ，如图，如图，如图，如图表示没有命中，表示没有命中，表示没有命中，表示没有命中，_ _ _ _ _ _ 命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有元素插到五个空档中有元素插到五个空档中有元素插到五个空档中有A A5 52 2=54=20=54=20种排法种排法种排法种排法 练习练习练习练习3 3 一排一排一排一排8 8个座位，个座位，个座位，个座位，3 3人去坐，每人两边至少有人去坐，每

50、人两边至少有人去坐，每人两边至少有人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种一个空座的坐法有多少种一个空座的坐法有多少种一个空座的坐法有多少种？练习练习练习练习4 4 一排长椅上共有一排长椅上共有一排长椅上共有一排长椅上共有1010个座位，现有个座位，现有个座位，现有个座位，现有4 4人就座，人就座，人就座，人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为 。（用数。（用数。（用数。（用数字作答）字作答）字作答）字作答）480A63 练习练习练习练习5 5 同室同室同室同室4 4名学生各写一张贺卡，放在一起，然名学生各写

51、一张贺卡，放在一起，然名学生各写一张贺卡，放在一起，然名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？有多少种拿法？有多少种拿法？有多少种拿法？第一个同学从中拿一张贺第一个同学从中拿一张贺第一个同学从中拿一张贺第一个同学从中拿一张贺卡，满足要求的拿法有卡，满足要求的拿法有卡，满足要求的拿法有卡，满足要求的拿法有3 3种种种种解：第一步解：第一步解：第一步解：第一步 考虑被第一个同学拿走贺考虑被第一个同学拿走贺考虑被

52、第一个同学拿走贺考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有卡的那个同学也有卡的那个同学也有卡的那个同学也有3 3种拿法，种拿法，种拿法，种拿法，第二步第二步第二步第二步第三步、第四步各有一种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，由乘法原理共有由乘法原理共有由乘法原理共有由乘法原理共有3311=93311=9 如如如如果果果果女女女女生生生生全全全全排排排排在在在在一一一一起起起起，有有有有多少种不同排法？多少种不同排法？多少种不同排法？多少种不同排法？如如如如果果果果女女女女生生生生全全全全分分分分开开开开，有有有有多多多多少少少少种不同排法？种

53、不同排法？种不同排法？种不同排法？如如如如果果果果两两两两端端端端都都都都不不不不能能能能排排排排女女女女生生生生，有多少种不同排法？有多少种不同排法？有多少种不同排法？有多少种不同排法？如如如如果果果果两两两两端端端端不不不不能能能能都都都都排排排排女女女女生生生生，有多少种不同排法？有多少种不同排法？有多少种不同排法？有多少种不同排法？A A6 66 6 A A3 33 3=4320 =4320 A A5 55 5A A6 63 3=14400=14400 A A5 52 2A A6 66 6=14400=14400 A A5 52 2A A6 66 6+2A+2A3 31 1A A5 5

54、1 1A A6 66 6=36000=36000或或或或A A8 88 8-A-A3 32 2 A A6 66 6=36000=36000练习练习练习练习6 6 三名女生和五名男生排成一排，三名女生和五名男生排成一排，三名女生和五名男生排成一排，三名女生和五名男生排成一排，某些元素某些元素某些元素某些元素不能在或必须排列在不能在或必须排列在不能在或必须排列在不能在或必须排列在某一位置；某一位置；某一位置；某一位置；某些元素要求某些元素要求某些元素要求某些元素要求连排（即必须相邻）连排（即必须相邻）连排（即必须相邻）连排（即必须相邻）；某些元素要求某些元素要求某些元素要求某些元素要求分离（即不能

55、相邻）分离（即不能相邻）分离（即不能相邻）分离（即不能相邻）；某某某某些些些些元元元元素素素素要要要要求求求求必必必必须须须须相相相相邻邻邻邻时时时时，可可可可以以以以先先先先将将将将这这这这些些些些元元元元素素素素看看看看作作作作一一一一个个个个元元元元素素素素，与与与与其其其其他他他他元元元元素素素素排排排排列列列列后后后后，再再再再考考考考虑虑虑虑相相相相邻邻邻邻元元元元素素素素的的的的内内内内部部部部排列，这种方法称为排列，这种方法称为排列，这种方法称为排列，这种方法称为“捆绑法捆绑法捆绑法捆绑法”；某某某某些些些些元元元元素素素素不不不不相相相相邻邻邻邻排排排排列列列列时时时时，可可

56、可可以以以以先先先先排排排排其其其其他他他他元元元元素素素素，再再再再将将将将这这这这些些些些不不不不相相相相邻邻邻邻元元元元素素素素插插插插入入入入空空空空挡挡挡挡，这这这这种种种种方方方方法法法法称称称称为为为为“插插插插空空空空法法法法”。有有有有特特特特殊殊殊殊元元元元素素素素或或或或特特特特殊殊殊殊位位位位置置置置的的的的排排排排列列列列问问问问题题题题，通通通通常常常常是是是是先先先先排排排排特特特特殊殊殊殊元元元元素素素素或或或或特特特特殊殊殊殊位位位位置置置置，称称称称为为为为优优优优先先先先处处处处理理理理特特特特殊殊殊殊元元元元素素素素（位位位位置置置置）法法法法“优限法优

57、限法优限法优限法”；2 2 2 2基本的基本的基本的基本的解题方法解题方法解题方法解题方法：1 1 1 1对有对有对有对有约束条件的排列问题约束条件的排列问题约束条件的排列问题约束条件的排列问题，应注意如下类型：，应注意如下类型：，应注意如下类型：，应注意如下类型：小结小结小结小结：数学、体育均不排在第一节和第六节，有数学、体育均不排在第一节和第六节，有数学、体育均不排在第一节和第六节，有数学、体育均不排在第一节和第六节，有 种种种种,例例例例7 7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政

58、治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？第一类第一类第一类第一类数学排在第一节、体育排在第六节有数学排在第一节、体育排在第六节有数学排在第一节、体育排在第六节有数学排在第一节、体育排在第六节有 种种种种,第三类第三类第三类第三类第四类第四类第四类第四类其他

59、有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共有共有共有 种；种；种；种；其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，一一第二类第二类第二类第二类共有共有共有共有 种；种；种；种；数学排在第一节、体育不在第六节有数学排在第一节、体育不在第六节有数学排在第一节、体育不在第六节有数学排在第一节、体育不在第六节有 种，种，种，种，其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共有共有共有 种；种；种；种；数学不排在第一节、体育排在第六节有数学不排在第一节、体育排在第六节有数学不排在第一节、体育排在第六节有数学不排在第一节、体育排在第六节有 种，种，种，种，其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共

60、有共有共有 种；种；种；种；所以符合条件的排法共有所以符合条件的排法共有 种种对特殊元素对特殊元素对特殊元素对特殊元素:数学和体育进行分类解决数学和体育进行分类解决数学和体育进行分类解决数学和体育进行分类解决.第一节和第六节均不排数学、体育，有第一节和第六节均不排数学、体育，有第一节和第六节均不排数学、体育，有第一节和第六节均不排数学、体育，有 种种种种 例例例例7 7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共

61、六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？第一类第一类第一类第一类第一节排数学、第六节排体育有第一节排数学、第六节排体育有第一节排数学、第六节排体育有第一节排数学、第六节排体育有 种，种，种，种，第三类第三类第三类第三类第四类第四类第四类第四类其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共有共有共有 种；种；种；种；其他有其他有其他有其

62、他有 种，种，种，种，一一第二类第二类第二类第二类共有共有共有共有 种；种；种；种；第一节排数学、第六节不排体育有第一节排数学、第六节不排体育有第一节排数学、第六节不排体育有第一节排数学、第六节不排体育有 种，种，种，种，其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共有共有共有 种；种；种；种；第一节不排数学、第六节排体育有第一节不排数学、第六节排体育有第一节不排数学、第六节排体育有第一节不排数学、第六节排体育有 种，种，种，种，其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共有共有共有 种；种；种；种；所以符合条件的排法共有所以符合条件的排法共有 种种解法二：对特殊位置解法二：对特殊位置解

63、法二：对特殊位置解法二：对特殊位置:第一节和第六节进行分类解决第一节和第六节进行分类解决第一节和第六节进行分类解决第一节和第六节进行分类解决.例例例例7 7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最

64、后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？本题也可采用间接排除法解决本题也可采用间接排除法解决本题也可采用间接排除法解决本题也可采用间接排除法解决解法解法解法解法3 3：不考虑任何限制条件共有不考虑任何限制条件共有不考虑任何限制条件共有不考虑任何限制条件共有 种排法，种排法，种排法，种排法，不符合题目要求的排法有：不符合题目要求的排法有：不符合题目要求的排法有：不符合题目要求的排法有：（1 1）数学排在第六节有）数学排在第六节有）数学排在第六节有）数学排在第六节有 种；种；种；种；（2 2）体育排在第一节有）体育排在第一节有）体育排在第一节有）体育排

65、在第一节有 种；种；种；种；考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况排在第一节的情况排在第一节的情况排在第一节的情况 种种种种 所以符合条件的排法共有所以符合条件的排法共有所以符合条件的排法共有所以符合条件的排法共有 种。种。种。种。例例例例8 8 某校高三年级举行一次演讲赛共有某校高三年级举行一次演讲赛共有某校高三年级举行一次演讲赛共有某校高三年级举行一次演讲赛共有1010位同学参位同学参位同学参位同学参赛，其中一班有赛，其中一班有赛，其中一

66、班有赛，其中一班有3 3位，二班有位，二班有位，二班有位，二班有2 2位，其它班有位，其它班有位，其它班有位，其它班有5 5位，若采位，若采位，若采位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3 3位同学位同学位同学位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2 2位同位同位同位同学没有被排在一起的概率为多少？学没有被排在一起的概率为多少？学没有被排在一起的概率为多少？学没有被排在一起的概率为多少？第一步第一步第一步第一步:将一班的将一班的将一班的将一班的3 3位同学位同学位同学位同学“捆绑捆绑捆绑捆绑”成一个大元素成一个大元素成一个大元素成一个大元素;第二步第二步第二步第二步:这个大元素与其它班这个大元素与其它班这个大元素与其它班这个大元素与其它班5 5位同学共位同学共位同学共位同学共6 6个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列个