欧拉临界应力屈曲计算

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1、一、稳定与失稳1.压 杆稳定性： 压 杆 维 持 其 自 身 平 衡 状 态 的 能 力 ； 2.压 杆失稳： 压 杆 丧 失 其 自 身 平 衡 状 态 ， 不 能 稳 定 地 工 作 。 3.压 杆 失 稳 原 因 ： 杆 轴 线 本 身 不 直 (初 曲 率 )； 加 载 偏 心 ； 压 杆 材 质 不 均 匀 ； 外 界 干 扰 力 。二、中心受压直杆稳定性分析 1.临 界 状 态 ： 由 稳 定 平 衡 向 微 弯 平 衡 (不 稳 平 衡 )过 渡 的 状 态 ； 2.临 界 载 荷 P cr： 描 述 压 杆 的 稳 定 能 力 ， 压 杆 临 界 状态 所 受 到 的 轴 向

2、压 力 。 12-1 压 杆 稳 定 性 的 概 念 Q QQ PPcrQQ QQ Q 一 、 两 端 铰 支 压 杆 的 临 界 力 1.思 路 ： 求 Pcr临 界 状 态 (微 弯 )弯 曲 变 形 挠 曲 线 微 分 方 程 ； 2.推 导 ： 3.两 端 铰 支 压 杆 的 临 界 力 (欧 拉 公 式 )： 22cr LEIP 4.注 意 ： （ 1） 弯 矩 以 最 终 平 衡 位 置（ 2） I 应 为 压 杆 横 截 面 的 最 小 惯 性 矩 12-2 细 长 中 心 受 压 直 杆 临 界 力 的 欧 拉 公 式 PcrL xyx yx xPcrM(x)=Py Py)x(

3、MEIy 挠 曲 线 微 分 方 程 ： 0ykyEIPk 22 ， 得 ：引 用 记 号 ： kxcosBkxsinAy 该 微 分 方 程 的 通 解 为 ：为 积 分 常 数、式 中 BA 0yLx 0y0 x杆 的 边 界 条 件 ： 0kLsin0kLsinA 0B代 入 通 解 得 ： )210n(L EInP )210n(nLEIPkL 222 ， ， 欧 拉 公 式临 界 力 为 最 小 压 力 ：22cr LEIP 失稳模式如图 11-3 不 同 杆 端 约 束 下 细 长 压 杆 临 界 力 的欧 拉 公 式 . 压 杆 的 长 度 系 数欧 拉 公 式 的 统 一 形 式

4、 22cr )L( EIP L： 相 当 长 度称 为 长 度 系 数表111 压杆的长度系数压 杆 约 束 条 件 长 度 系 数 两 端 铰 支 =1一 端 固 定 ， 另 一 端 自 由 =2 一 端 固 定 ， 另 一 端 铰 支 =0.7两 端 固 定 =0.5 例121 一 端 固 定 ， 另 一 端自 由 的 细 长 压 杆 如 图 所 示 。 试 导出 其 临 界 力 的 欧 拉 公 式 。 A PcrLBd 例122 导 出 一 端 固 定 、 另一 端 铰 支 压 杆 临 界 力 的 欧 拉 公式 。 22cr )L7.0( EIP ABPcrL3.例 题 ： 例123 试

5、 导 出 两 端 固 定 压 杆的 欧 拉 公 式 。 Pcr L PcrL AB dP crMA=Pcrd y x PcrBA LLC 失稳模式如图 d dd 0EI )L(MyyLx kEIPEIMy0y0y0 x 2crA，： ，：边 界 条 件 ： 0CCCC000kLcoskkLsink 11LkLcoskLsin k00k0 0010k 01010 432122 22 d 分 方 程 的 通 解 得 ：将 边 界 条 件 代 入 统 一 微 0kLcos 为 ：解 得 压 杆 失 稳 特 征 方 程 ： 系 数 行 列 式 值 为 零 ；有 非 零 解 的 充 要 条 件 为 )2

6、10n(2nLEIPkL cr ， 22cr )L2( EIP1n 为 ：压 杆 临 界 力 的 欧 拉 公 式， 得 一 端 固 定 一 端 自 由取 相 当 于 2L长 两 端 铰 支 压 杆 的 临 界 力 失稳模式如图 0EI )L(My0yLx 0y0y0 x ，： ，：边 界 条 件 ： 0CCCC00kLcoskkLsink 1LkLcoskLsin 010k 1010 432122 分 方 程 的 通 解 得 ：将 边 界 条 件 代 入 统 一 微 kLtgkL， 解 得 ：利 用 系 数 行 列 式 值 为 零 7.0P4.4LEIPkL cr 22cr )L7.0( EI

7、P 临 界 力 的 欧 拉 公 式 为 ：一 端 固 定 一 端 铰 支 压 杆相 当 于 0.7L长 两 端 铰 支 压 杆 的 临 界 力yx 0.7Ly xPcrL A BQB P crMAQA A端 QA、 MA及 B端 QB不 为 零 。 失稳模式如图 0y0yLx 0y0y0 x ，： ，：边 界 条 件 ： 0CCCC01kLsinkkLcosk 1LkLcoskLsin 010k 1010 4321 分 方 程 的 通 解 得 ：将 边 界 条 件 代 入 统 一 微 0kLsin 0kLcos1， 解 得 ：利 用 系 数 行 列 式 值 为 零 2LEIPkL cr 22c

8、r )L5.0( EIP 欧 拉 公 式 为 ：两 端 固 定 压 杆 临 界 力 的 相 当 于 0.5L长 两 端 铰 支 压 杆 的 临 界 力L PcrM M Pcr 0.5L yx 两 端 M均 不 为 零 。 柔 度 (细 长 比 )： iL 一 、 欧 拉 临 界 应 力 公 式 及 使 用 范 围 1.临 界 应 力 ： 临 界 力 除 以 压 杆 横 截 面 面 积 得 到 的 压 应 力 ，用 scr表 示 ； 2222 )/()( iL EALEIAPcrcr s 横 截 面 对 微 弯 中 性 轴 的 惯 性 半 径 ； AIi 欧 拉 临 界 应 力 公 式 ： 22

9、cr Es 2.欧 拉 公 式 应 用 范 围 ： 线 弹 性 状 态 ： scrsp， 即 p22E s p2pp2 EE ss ， 则 p细 长 杆 (大 柔 度 杆 )， 欧 拉 公 式 的 适 用 范 围 ； 对 于 A3钢 ， E=200G Pa， sp=200MPa： 10010200 10200 6 92p 用 柔 度 表 示 的 临 界 压 力 ：AEP 22cr 二、中柔度杆临界应力的经验公式1.ssscrsp时 采 用 经 验 公 式 ： 直 线 公 式 ： s bacr1) scrn。一、安全系数法作稳定校核 2、 稳 定 条 件 可 写 成 ： ssssss 即 sts

10、tcrn sst稳 定 许 用 应 力 ； s许 用 压 应 力 ； 1折 减 系 数 ， 与 柔 度 和 材 料 有 关 ， 可 查 规 范 。 例124 确 定 图 示连 杆 的 许 用 压 力 Pcr。 已 知 连 杆 横 截 面 面积 A=720mm2， 惯 性矩 Iz=6.5 104mm4，Iy=3.8 104mm4，s p = 2 4 0 M P a ，E=2.1 105MPa。 连杆 用 硅 钢 制 成 ， 稳 定安 全 系 数 nst=2.5。 xx 580700y z PP z580 PP Ly 若 在 xy面 内 失 稳 ， =1，柔 度 为 ： 解 ： (1)失 稳 形

11、式 判 断 ： 7.73720/105.6 7001A/I LiL 4zz 若 在 x-z平 面 内 失 稳 ，=0.5， 柔 度 为 ：所 以 连 杆 将 在 xy平 面 内 失 稳 ， 其 许 用 压 力 应 由 z决 定 。 9.39720/108.3 5805.0A/I LiL 4yy (2)确 定 许 用 压 力 ： 由 表 11-2查 得 硅 钢 ： a=578MPa， b=3.744MPa，ss=353MPa， 计 算 有 关 的 p和 0为 ： s s 60744.3 353578ba 93240 101.2Es0 52p2p可 见 连 杆 为 中 柔 度 杆 。 其 临 界

12、载 荷 为 ：由 此 得 连 杆 的 许 用 压 力 为 ： (3)讨 论 ： 在 此 连 杆 中 ： z=73.7， y=39.9， 两 者 相 差 较 大。 最 理 想 的 设 计 是 y= z， 以 达 到 材 尽 其 用 的 目 的 。kNbaAPcr 218)( kN3.875.2218nPP wcrcr 1.细 长 压 杆 ： 提 高 弹 性 模 量 E2.中 粗 压 杆 和 粗 短 压 杆 ： 提 高 屈 服 强 度 ss二 、 提 高 稳 定 性 的 措 施1.采 用 合 理 的 截 面 形 状 ： 各 方 向 约 束 相 同 时 ： 1)各 方 向 惯 性 矩 I相 等 采

13、用 正 方 形 、 圆 形 截 面 ； 2)增 大 惯 性 矩 I采 用 空 心 截 面 ； 压 杆 两 方 向 约 束 不 同 时 ： 使 两 方 向 柔 度 接 近 相 等 ， 可采 用 两 个 主 惯 性 矩 不 同 的 截 面 ， 如 矩 形 、 工 字 形 等 。（二）、从柔度方面考虑（一）、从材料方面考虑 2.减 少 压 杆 支 承 长 度 ： 直 接 减 少 压 杆 长 度 ； 增 加 中 间 支 承 ； 整 体 稳 定 性 与 局 部 稳 定 性相 近 ； P P PL a角 钢 缀 条 xy3.加 固 杆 端 约 束 ： 尽 可 能 做 到 使 压 杆 两 端 部 接 近 刚 性 固 接 。