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1、第九章第九章 电子自旋电子自旋（一）（一）Stern-Stern-GerlachGerlach 实验 (二）光二）光谱线精精细结构构（三）（三）电子自旋假子自旋假设（四）回（四）回转磁比率磁比率1 1 电子的自旋电子的自旋（1 1）实验描述）实验描述Z处于于 S S 态的的氢原子原子（2 2）结论）结论I I。氢原子有磁矩原子有磁矩 因在非均匀磁因在非均匀磁场中中发生偏生偏转IIII。氢原子磁矩只有两种取向原子磁矩只有两种取向 即空即空间量子化的量子化的S S 态的的氢原子束流，原子束流，经非均匀磁非均匀磁场发生偏生偏转，在感光板上呈，在感光板上呈现两条分立两条分立线。NS（一）（一）Ster
2、n-Stern-GerlachGerlach 实验实验（3 3）讨论）讨论原子原子 Z Z 向受力向受力分析分析若原子磁矩可任意取向，若原子磁矩可任意取向，则 coscos 可在可在 （-1-1，+1+1）之）之间连续变化，化，感光板将呈感光板将呈现连续带但是但是实验结果是：出果是：出现的两条分立的两条分立线对应 coscos =-1 =-1 和和 +1+1，处于于 S S 态的的氢原子原子 =0=0，没有，没有轨道磁道磁矩，所以原子磁矩来自于矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。子的固有磁矩，即自旋磁矩。3p3s58933p3/23p1/23s1/2D1D25896 5890钠原
3、子光原子光谱中的中的一条亮黄一条亮黄线 58935893，用高分辨率的光用高分辨率的光谱仪观测，可以看到，可以看到该谱线其其实是由靠的很近的两是由靠的很近的两条条谱线组成。成。其他原子光其他原子光谱中中也可以也可以发现这种种谱线由更由更细的一些的一些线组成的成的现象，象，称之称之为光光谱线的精的精细结构。构。该现象只有考象只有考虑了了电子的子的自旋才能得到解自旋才能得到解释（二）光谱线精细结构（二）光谱线精细结构UhlenbeckUhlenbeck 和和 GoudsmitGoudsmit 1925 1925年根据上述现象提出了年根据上述现象提出了电子自旋假设电子自旋假设（1 1）每个）每个电子
4、都具有自旋角子都具有自旋角动量，它在空量，它在空间任何方向上任何方向上的投影只能取两个数的投影只能取两个数值：（2 2）每个）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系量的关系为：自旋磁矩，在空自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数任何方向上的投影只能取两个数值：Bohr Bohr 磁子磁子（三）电子自旋假设（三）电子自旋假设（1 1）电子回子回转磁比率磁比率我我们知道，知道，轨道角道角动量与量与轨道磁矩的关系是：道磁矩的关系是：（2 2）轨道回道回转磁比率磁比率则，轨道回道回转磁比率磁比率为：可可见电子回子回转磁比率是磁比率是轨道道回回转磁比率的二倍磁比率
5、的二倍（四）回转磁比率（四）回转磁比率2 2 电子的自旋算符和自旋波函数电子的自旋算符和自旋波函数自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别通通常常的的力力学学量量都都可可以以表表示为坐标和动量的函数示为坐标和动量的函数而而自自旋旋角角动动量量则则与与电电子子的的坐坐标标和和动动量量无无关关，它它是是电电子子内内部部状状态态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为也是用一个算符描写，记
6、为自旋角动量自旋角动量 轨道角动量轨道角动量 异同点异同点与坐与坐标、动量无关量无关不适用不适用同是角同是角动量量满足同足同样的角的角动量量对易关系易关系（一）自旋算符（一）自旋算符由于由于自旋角自旋角动量量在空在空间任意方向上的投影只能取任意方向上的投影只能取 /2/2 两个两个值所以所以的本征的本征值都是都是/2/2，其平方，其平方为 /2/22 2算符的本征算符的本征值是是仿照仿照自旋量子数自旋量子数 s s 只有一个数只有一个数值（2 2）PauliPauli 算符算符1.Pauli 算符的引进算符的引进分量分量形式形式因因为S Sx x,S Sy y,S Sz z的本征的本征值都是都
7、是/2/2，所以所以x x,y y,z z的本征的本征值都是都是1 1；x x2 2,y y2 2,Z Z2 2 的本征的本征值都是都是 。2.2.反对易关系反对易关系基于基于的对易关系，可以证明的对易关系，可以证明 各分量之间满足反对易关系各分量之间满足反对易关系:证：证：我们从对易关系我们从对易关系:出发出发左乘左乘y y右乘右乘y y二式相加二式相加同理可证同理可证:x,y 分量的反对易分量的反对易关系亦成立关系亦成立.证毕证毕 或或由由对易关系和反易关系和反对易关系易关系还可以得到关于可以得到关于 PauliPauli 算符算符的如下非常有用性的如下非常有用性质：y2=13.3.Pau
8、liPauli算符的矩阵形式算符的矩阵形式根据定义根据定义求求 Pauli 算符的算符的 其他两个分量其他两个分量令令利用反对易利用反对易关系关系X 简化为：简化为：令：令：c=expi c=expi(为实），则为实），则得：得：b=c*(或或c=b*)x2=I求求y 的矩阵形式的矩阵形式这里有一个相位不定性，里有一个相位不定性，习惯上取上取=0=0，于是得到于是得到 PauliPauli 算符的矩算符的矩阵形式形式为：从自旋算符与从自旋算符与 PauliPauli 矩矩阵的关系自然得到自旋算符的矩的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：表示：写成矩阵形式写成矩阵形式因因为自旋是自旋是电子内部运子内
9、部运动自由度，所以描写自由度，所以描写电子运子运动除了用除了用 (x,y,z)(x,y,z)三个坐三个坐标变量外，量外，还需要一个自旋需要一个自旋变量量 (S(SZ Z），），于是于是电子的含自旋的波函数需写子的含自旋的波函数需写为：由于由于 S SZ Z 只取只取 /2/2 两个值，两个值，所以上式可写为两个分量：所以上式可写为两个分量：写成列矩写成列矩阵规定列矩阵规定列矩阵 第一行对应于第一行对应于S Sz z=/2/2，第二行对应于第二行对应于S Sz z=-=-/2/2。若若已已知知电子子处于于S Sz z =/2/2或或S Sz z =-/2/2的的自旋自旋态，则波函数可分波函数可分
10、别写写为：（二）含自旋的状态波函数（二）含自旋的状态波函数（1 1）归一化）归一化电 子子 波波 函函数表示成数表示成矩矩阵形形式后，式后，波函数的波函数的归一化一化时必必须同同时对自旋求和和自旋求和和对空空间坐坐标积分，即分，即（2 2）几率密度）几率密度表示表示 t t 时刻在时刻在 r r 点附近点附近 单位体积内找到电子的几率单位体积内找到电子的几率表示表示 t t 时刻刻 r r 点点处 单位体位体积内找到自旋内找到自旋 S Sz z=/2/2的的电子的几率子的几率表示表示 t t 时刻时刻 r r 点处单位点处单位 体积内找到体积内找到 自旋自旋 S Sz z=/2/2 的电子的几
11、率的电子的几率在全空间找在全空间找到到Sz=/2的的电子的几率电子的几率在全空间找到在全空间找到 Sz=/2 的电子的几率的电子的几率（四）含自旋波函数的归一化和几率密度（四）含自旋波函数的归一化和几率密度波函数波函数这是是因因为，通通常常自自旋旋和和轨道道运运动之之间是是有有相相互互作作用用的的，所所以以电子子的的自自旋旋状状态对轨道道运运动有有影影响响。但但是是，当当这种种相相互互作作用用很很小小时，可可以以将将其其忽忽略略，则1 1 ,2 2 对 (x,y,z)(x,y,z)的依的依赖一一样，即函数形式是相同的。此，即函数形式是相同的。此时可以写成如下形式：可以写成如下形式：求：自旋波函数求：自旋波函数(S(Sz z)S SZ Z 的本征方程的本征方程令令一般情况下，一般情况下，1 1 2 2，二者二者对(x,y,z)(x,y,z)的依的依赖是不一是不一样的。的。（五）自旋波函数（五）自旋波函数similarly平均值的计算例:粒子在电磁场中的运动:Pauli方程无自旋粒子电子:不考虑自旋轨道耦合可分离变量:磁共振旋转变换讨论:(1)周期性变化;(2)共振条件:
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