概率统计简明教程同济版课件

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1、第四章第四章 随机变量及其分布随机变量及其分布n重点重点随机变量的概念随机变量的概念分布函数的概念分布函数的概念第一节第一节 随机变量及分布函数随机变量及分布函数概率统计简明教程（同济版）本章，将用随机变量表示事件，以便于采用高本章，将用随机变量表示事件，以便于采用高等数学的方法描述、进而研究随机现象。等数学的方法描述、进而研究随机现象。在前面的学习中在前面的学习中,我们用字母我们用字母A、B、C.表示表示事件，并视之为样本空间事件，并视之为样本空间 的子集；的子集；概率统计简明教程（同济版）若能将样本空间数量化若能将样本空间数量化,即用数字来表示试验即用数字来表示试验的结果的结果,将会带来很

2、大的方便将会带来很大的方便,更便于用数学方法更便于用数学方法和工具来研究随机现象。和工具来研究随机现象。n 有些随机试验的结果本来就可以用数量来表示有些随机试验的结果本来就可以用数量来表示.（1）在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果用结果用1,2,3,4,5,6来表示；来表示；例如例如:掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反面反面”来表示的来表示的可规定可规定:用用 1表示表示“正面正面”，用，用 0 表示表示“反面反面”n 有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化数量化例如例如（2）抽样中出现的废品数）抽样中出现的废

3、品数概率统计简明教程（同济版）例例例例 设箱中有设箱中有1010个球，其中有个球，其中有2 2个红球，个红球，8 8个白个白球；从中任意抽取球；从中任意抽取2 2个个,观察抽球结果。观察抽球结果。取球结果为取球结果为:两个白球两个白球;两个红球两个红球;一红一白一红一白 特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了试验结果数量化了，试验结果与数建立了一个对应关系一个对应关系如果用如果用如果用如果用X X表示抽得的红球数表示抽得的红球数，则，则，则，则X X X X的取值为的取值为的取值为的取值为0 0 0 0，1 1 1 1，2 2 2 2。此时，。此时，。此时，。此时，“两只红球两只红球两

4、只红球两只红球”=“X”=“X”=“X”=“X取到值取到值取到值取到值2”,2”,2”,2”,可记为可记为 X X=2=2 “一红一白一红一白一红一白一红一白”=X”=X”=X”=X=1,=1,=1,=1,“两只白球两只白球两只白球两只白球”X=0X=0X=0X=0试验结果的数量化试验结果的数量化概率统计简明教程（同济版）随机变量的定义随机变量的定义n随机变量随机变量设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为，如果对于每一，如果对于每一个样本点个样本点 ，均有唯一的实数，均有唯一的实数 与与之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间上上的随机变量。的随机变量。概率统计简明教程（同济版）例如例

5、如:掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反反面面”来表示的来表示的可规定可规定:用用 1表示表示“正面正面”，用，用 0 表示表示“反面反面”则则为简便起见，今后我们将事件为简便起见，今后我们将事件概率统计简明教程（同济版）关于随机变量的研究，是概率论的中心内容。前关于随机变量的研究，是概率论的中心内容。前面我们所学的随机事件是从静态的观点来研究随机现面我们所学的随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。象，而随机变量则是一种动态的观点。可以看出，随机事件这个概念是包容在随机变量可以看出，随机事件这个概念是包容在随机变量这个更广的概念之

6、内。如数学中常量与变量的区分那这个更广的概念之内。如数学中常量与变量的区分那样，变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。样，变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。同样，概率论能从一些孤立事件的概念发展为一个更同样，概率论能从一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念就是随机变量。高的理论体系，其基础概念就是随机变量。概率统计简明教程（同济版）某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X X。某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.Y.在在00，11区间上随机取点，该点的坐标区间上随机取点，该点的坐标X.X.X X

7、的可能取值为的可能取值为 0,+0,+)Y Y 的可能取值为的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，.,M.,MX X 的可能取值为的可能取值为 0 0，11上的全体实数。上的全体实数。n n例例例例随机变量的实例随机变量的实例 随机变量根据其取值方式的不同，通常分为两随机变量根据其取值方式的不同，通常分为两类：离散型随机变量与连续型随机变量。后面将分类：离散型随机变量与连续型随机变量。后面将分别进行讲述。别进行讲述。概率统计简明教程（同济版）n 随机事件通常都可以用随机事件通常都可以用X的不同取值来表示的不同取值来表示.“出现的点数大于出现的点数大于2小于小于6”可表示为：可表示为：3

8、 X 5如在掷骰子试验中，用如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数表示出现的点数,则则“出现偶数点出现偶数点”可表示为：可表示为：X=2 X=4 X=6“出现出现2点点”可表示为：可表示为：X=2概率统计简明教程（同济版）对于有关求随机变量的问题，通常要解决两点：对于有关求随机变量的问题，通常要解决两点：1、在一道题目当中随机变量可能取些什么值？、在一道题目当中随机变量可能取些什么值？2、随机变量取这些值以及随机变量属于数轴上、随机变量取这些值以及随机变量属于数轴上任一集合任一集合S（即（即 ）或区间的概率是多少？）或区间的概率是多少？若解决了这两个问题（即对任若解决了这两个问题（即对任 都知都

9、知道），就说确定了随机变量道），就说确定了随机变量X的概率分布。的概率分布。概率统计简明教程（同济版）例例 设袋中装着标有设袋中装着标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球。从中任数字的六个球。从中任取一个，用取一个，用X表示取得的球号，求表示取得的球号，求X取任一数字的概取任一数字的概率及率及 的概率。的概率。解解 X可能的取值为可能的取值为-1，2，3，根据古典概率计算公式，根据古典概率计算公式:概率统计简明教程（同济版）一般地，一般地，X落在某区间落在某区间 上的概率可以表示为：上的概率可以表示为：因此，对于一切因此，对于一切 ，只要算出概率，只要算出概率 ，就，就能算出能算出X落在任意

10、区间落在任意区间 的概率了，也就相当于的概率了，也就相当于找到了找到了X的概率分布。的概率分布。因当因当 确定时，概率确定时，概率 就有确定的对应就有确定的对应值，因而值，因而 是是 的函数。记作：的函数。记作：称称 为随机变量为随机变量X的概率分布函数，简称分的概率分布函数，简称分布函数。布函数。本质上是一个累积函数。本质上是一个累积函数。概率统计简明教程（同济版）例（前）设袋中装着标有例（前）设袋中装着标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球。从数字的六个球。从中任取一个，用中任取一个，用X表示取得的球号，求表示取得的球号，求X的分布函数。的分布函数。解解X：-1，2，3P：x-1023x

11、xxx当当 时，时，是不可能事件，是不可能事件，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，为必然事件，为必然事件，概率统计简明教程（同济版）即即xF(x)-11231概率统计简明教程（同济版）分布函数的性质：分布函数的性质：(1)(2)对于任意两点对于任意两点 ，当，当 时，有时，有即任一分布函数都是单调不减的。即任一分布函数都是单调不减的。(3)(4)即分布函数是一个右连续函数。即分布函数是一个右连续函数。概率统计简明教程（同济版）引进分布函数引进分布函数F(x)F(x)后，事件的概率都可后，事件的概率都可以用以用F(x)F(x)的函数值来表示。的函数值来表示。概率统计简明教程（同济版）已知

12、已知 X X 的分布律为的分布律为 求求X X的分布函数，的分布函数，并画出它的图形。并画出它的图形。概率统计简明教程（同济版）第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量n重点重点理解离散型随机变量及分布律的概念理解离散型随机变量及分布律的概念会用分布律或分布函数的概念和性质计会用分布律或分布函数的概念和性质计算有关事件的概率算有关事件的概率概率统计简明教程（同济版）随机变量的类型随机变量的类型n 离散型离散型n 非离散型非离散型随机变量的所有取值是有限个或可数个随机变量的所有取值是有限个或可数个随机变量的取值不能一一列举随机变量的取值不能一一列举连续型随机变量连续型随机变量概率统计简明教程（

13、同济版）对于求离散型随机变量的问题，通常要解决两点：对于求离散型随机变量的问题，通常要解决两点：1、在一道题目当中随机变量可能取些什么值？、在一道题目当中随机变量可能取些什么值？2、随机变量取这些值的概率是多少？、随机变量取这些值的概率是多少？概率统计简明教程（同济版）设离散型随机变量设离散型随机变量 X X 的所有可能取值是的所有可能取值是 x x1 1,x,x2 2,x,xk k,，而而X X 取值取值 x xk k 的概率为的概率为 p pk k 称以上为离散型随机变量称以上为离散型随机变量X X的的分布律分布律。随机变量随机变量X X的概率分布的概率分布全面表达了全面表达了X X的可能

14、的可能取值以及取各个值的概率情况取值以及取各个值的概率情况 p1，p2 ，p K P x1，x2，xk，X其中其中概率统计简明教程（同济版）例（课本）设离散型随机变量例（课本）设离散型随机变量X的分布律为的分布律为其中，其中，求，求p的值。的值。解解由于由于由等比级数公式得由等比级数公式得概率统计简明教程（同济版）例例 若离散型随机变量可能取的值为若离散型随机变量可能取的值为0、1、2、3、4，且其概率分布为，且其概率分布为 ，求，求 。解解即即概率统计简明教程（同济版）例例 设有一批产品设有一批产品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中任意抽取件次品，从中任意抽取2 2件，如果用件，

15、如果用X X表示抽得的次品数，求随机变量表示抽得的次品数，求随机变量X X的分布的分布律及律及X X的分布函数。的分布函数。解解：X的可能取值为的可能取值为 0，1，2=P(抽得的两件全为正品抽得的两件全为正品)P(X=1)P(X=2)=P(只有一件为次品只有一件为次品)=P(抽得的两件全为次品抽得的两件全为次品)P(X=0)概率统计简明教程（同济版）故故X X的分布律为的分布律为由此可得由此可得X的分布函数的分布函数对于离散型随机变量，对于离散型随机变量，概率统计简明教程（同济版）几种常见的重要分布几种常见的重要分布n 0-1分布分布 1p p P 0 1 X 则称则称X的分布为的分布为0-

16、1分布（两点分布）。分布（两点分布）。背景背景：样本空间只有两个样本点的情况样本空间只有两个样本点的情况 都可以用都可以用0-1分布来计算。分布来计算。如：抛硬币一次。如：抛硬币一次。定义：定义：定义：定义：若随机变量若随机变量X X的分布律为的分布律为:概率统计简明教程（同济版）例例设一个袋中装有设一个袋中装有3 3个红球和个红球和7 7个白球，现在从中个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数并且用数“1”“1”代表取得红球，代表取得红球，“0”“0”代表取得代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型白球，则随机抽取一球所

17、得的值是一个离散型随机变量随机变量则则X X服从服从0-10-1分布，其分布律为分布，其分布律为:P 0 1 X概率统计简明教程（同济版）其中其中0 p 0,则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布XP()n定义定义概率统计简明教程（同济版）服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目体积

18、相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实际问题中若干随机变量实际问题中若干随机变量X X是服从或近似服从是服从或近似服从 PoissonPoisson分布的分布的概率统计简明教程（同济版）已知广州学院三饭堂一菜式西兰花炒牛肉，一勺西已知广州学院三饭堂一菜式西兰花炒牛肉，一勺西兰花中牛肉的数目兰花中牛肉的数目X X服从服从 的泊松分布，分别求（的泊松分布，分别求（1 1）一勺西兰花中恰好有三片牛肉的概率；（一勺西兰花中恰好有三片牛肉的概率；（2 2）一勺西兰花）一勺西兰花中牛肉不超过四片的概率。中牛肉不超过四片的概率。例例解解概率统计简明

19、教程（同济版）查表查表概率统计简明教程（同济版）泊松定理泊松定理泊松定理泊松定理 二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似 实际应用中实际应用中：当当n20,p0.05n20,p0.05时，时，即可用近似公式即可用近似公式,其中其中 。概率统计简明教程（同济版）某人骑摩托车上街某人骑摩托车上街,出事故率为出事故率为0.020.02，独立重，独立重复上街复上街400400次，求出事故至少两次的概率次，求出事故至少两次的概率.400400400400次上街次上街次上街次上街400400400400重重重重BernouliiBernouliiBernouliiBernoulii实验实验实验实验记记记记X

20、 X X X为出事故的次数，则为出事故的次数，则为出事故的次数，则为出事故的次数，则P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)n 结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！会发生的！例例 解解概率统计简明教程（同济版）第三节第三节 连续型随机变量连续型随机变量n重点重点掌握正态分布，了解均匀分布与指数分布掌握正态分布，了解均匀分布与指数分布会用分布函数的性质计算有关事件的概率会用分布函数的性质计算有关事件的概率概率统计简明教

21、程（同济版）在高数中我们学习过一个特殊的函数，在高数中我们学习过一个特殊的函数，积分上限函数：积分上限函数：其中，其中，x是自变量，是自变量，t是积分变量。是积分变量。定理定理 若函数若函数 在区间在区间 上连续，则积分上限函数上连续，则积分上限函数在在 上可导，并且它的导数上可导，并且它的导数概率统计简明教程（同济版）上一节讨论的离散型随机变量只可能取有限多个上一节讨论的离散型随机变量只可能取有限多个值，除了离散型随机变量，上一节我们还提过还有值，除了离散型随机变量，上一节我们还提过还有一类随机变量，叫连续型随机变量，如：一类随机变量，叫连续型随机变量，如：2、在、在0，1区间上随机取点，该

22、点的坐标区间上随机取点，该点的坐标X.1、某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命、某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X。X X 的可能取值为的可能取值为 0,+0,+)X X 的可能取值为的可能取值为 0 0，11上的全体实数。上的全体实数。对这种变量的概率分布，不能像离散型随机变量一对这种变量的概率分布，不能像离散型随机变量一样由分布律给出，因为这种变量充满了一个区间，样由分布律给出，因为这种变量充满了一个区间，无法一一排出，我们要寻求一种与离散型随机变量无法一一排出，我们要寻求一种与离散型随机变量的分布函数相应的描述方法。的分布函数相应的描述方法。概率统计简明教程（同济版）n 定义定义 则称则

23、称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)称为称为X 的的概概率密度函数率密度函数,简称简称密度函数密度函数.定义 设 X 是随机变量,若存在一个非负可积函数 f(x),使得概率统计简明教程（同济版）对于离散型随机变量，对于离散型随机变量，对于连续型随机变量，对于连续型随机变量，概率统计简明教程（同济版）概率密度函数的性质概率密度函数的性质n非负性非负性n必然事件的概率必然事件的概率常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量密度函数的条件概率统计简明教程（同济版）n密度函数的区间上的积分密度函数的区间上的积分 =区间上的概率区间上的概率概率统计简明教程（同济版）由分布函数与密度函

24、数的性质可得以下结论：由分布函数与密度函数的性质可得以下结论：设设X是任意一个连续型随机变量，是任意一个连续型随机变量，F(x)与与f(x)分别分别是它的分布函数与密度函数，则是它的分布函数与密度函数，则(1)F(x)是连续函数，且在是连续函数，且在f(x)的连续点处有的连续点处有(2)对任意一个常数对任意一个常数c，有，有P(a X b)=P(aX b)=P(a X b)=P(aXb)(3)概率统计简明教程（同济版）n Step1:利用密度函数的性质求出利用密度函数的性质求出 a例：已知密度函数求概率例：已知密度函数求概率n Step2:密度函数在区间的积分即是此区间的概率密度函数在区间的积

25、分即是此区间的概率概率统计简明教程（同济版）例：已知分布函数求密度函数例：已知分布函数求密度函数（2)2)求求X X 的密度函数的密度函数（2 2）密度函数为）密度函数为概率统计简明教程（同济版）解解:当当 x1 时时01 2 3 4 5yxx当当1 x 5 时时例：已知密度函数求分布函数例：已知密度函数求分布函数已知连续型随机变量已知连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为求求 X X 的分布函数的分布函数概率统计简明教程（同济版）当当 x 5 时时所以所以0 1 51概率统计简明教程（同济版）已知连续型随机变量已知连续型随机变量X X的密度函数为的密度函数为（2 2）求求 X X 的分

26、布函数的分布函数概率统计简明教程（同济版）均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为则称则称X在区间在区间（a，b）上服从均匀分布其中）上服从均匀分布其中a，b为两个参数，为两个参数，记为记为 X R(a,b)。n定义定义n分布函数分布函数均匀分布即是区间上的几何概型。均匀分布即是区间上的几何概型。概率统计简明教程（同济版）指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为则称则称X X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布，记为：记为：n定义定义n分布函数分布函数概率统计简明教程（同济版）解解概率统计简明教程（同济版）概率统计简明教程

27、（同济版）指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为则称则称X X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布，记为：记为：n定义定义n分布函数分布函数概率统计简明教程（同济版）正态分布正态分布 则称则称X X服从参数为服从参数为n若连续型随机变量若连续型随机变量X X的密度函数为的密度函数为概率统计简明教程（同济版）关于关于 x=x=对称对称（-，）升，（）升，（，+）降）降n单调性单调性n对称性对称性n最大值最大值中间高中间高两边低两边低y-+x性质性质概率统计简明教程（同济版）2q f(x)的两个参数：的两个参数：位置参数即固定 ,对于不同的 ,对应的 f(x

28、)的形状不变化，只是位置不同 概率统计简明教程（同济版）形状参数固定 ，对于不同的，f(x)的形状不同.几何意义 大小与曲线陡峭程度成反比数据意义 大小与数据分散程度成正比小大q f(x)的两个参数：的两个参数：概率统计简明教程（同济版）正态变量的条件 若随机变量 X 受众多相互独立的随机因素影响 每一因素的影响都是微小的 且这些正、负影响可以叠加这样的 X 为正态随机变量概率统计简明教程（同济版）可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；概率统计简明教程（同济版）标准正态分布标准

29、正态分布n定义定义X N（0，1）分布称为标准正态分布）分布称为标准正态分布 n密度函数密度函数n分布函数分布函数概率统计简明教程（同济版）标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算n公式公式n查表查表如如概率统计简明教程（同济版）xx概率统计简明教程（同济版）n例例求求 1)但对于一般的正态分布，如何求其分布函数值呢？但对于一般的正态分布，如何求其分布函数值呢？XN（0，1）概率统计简明教程（同济版）n概率计算概率计算查标准正态分布表概率统计简明教程（同济版）一般正态分布的区间概率一般正态分布的区间概率n。n。n。X概率统计简明教程（同济版）设设XN（1，4），求），求 P(0X1.6)解

30、解例例概率统计简明教程（同济版）设设XN（2，9），求），求 1)P(-1X5)概率统计简明教程（同济版）X X的取值几乎都落入以的取值几乎都落入以 为中心，以为中心，以3 3 为半径的为半径的区间内。这是因为：区间内。这是因为：0.9974F(x)3 3 准则准则 可以把区间可以把区间 作为作为X实际可能的取值实际可能的取值区间。通常称这一结论为区间。通常称这一结论为 规则。规则。概率统计简明教程（同济版）第四章作业P46P47 习题四 2、3、4、5、10、12、15、概率统计简明教程（同济版）习题课概率统计简明教程（同济版）1、一袋中装有、一袋中装有5只球，编号为只球，编号为1，2，3，

31、4，5。在袋。在袋中同时取中同时取3只，以只，以X表示取出的表示取出的3只球中的最大号码，只球中的最大号码，写出随机变量写出随机变量X的分布律及分布函数。的分布律及分布函数。2、纺纱厂女工照顾、纺纱厂女工照顾800个纺锭，某一纺锭在一段时个纺锭，某一纺锭在一段时间内损坏的概率为间内损坏的概率为0.005，求在这段时间内损坏个数，求在这段时间内损坏个数不大于不大于2的概率。的概率。概率统计简明教程（同济版）3、某型号电子管，其寿命（按小时计）为一随机变、某型号电子管，其寿命（按小时计）为一随机变量，密度函数为量，密度函数为某一电子设备内配有三个这样的电子管，求电子管某一电子设备内配有三个这样的电子管，求电子管使用使用150小时都不需要更换的概率。小时都不需要更换的概率。概率统计简明教程（同济版）