信号与系统之传输算子

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1、输 入 -输 出 模 型 是 系 统 的 一 种 外 部 描 述 ， 凡 是 能 从 外 部 端 口 通 过测 量 得 到 的 描 述 就 是 一 种 外 部 描 述 。（ 系 统 的 微 分 算 子 方 程 和 传 输 算 子 ）什 么 是 内 部 描 述 ？ 内 部 描 述 有 能 力 提 供 在 系 统 中 全 部 可 能 出 现的 信 号 的 完 整 信 息 ， 外 部 描 述 不 能 给 出 系 统 的 完 整 信 息 。（ 状 态 空 间 方 程 ）1. 系 统 的 内 部 和 外 部 描 述 系 统 模 型 系 统 的 微 分 算 子 方 程 与 传 输 算 子引 入 如 下 算

2、 子 ： 微 分 算 子 : tp dd积 分 算 子 : tpp 1 d) (1 则 ： )()(dd)( tfptfttf )()(dd)( )( tfptfttf nnnn )()(1d )( 1 tfptfpft 对于微分方程 )(4d )(d)(6d )(d5d )(d 22 tfttftyttyt ty 算 子 形 式 )(4)()(6)(5)( 2 tftfptytyptyp 微 分 算 子 方 程 ： )()4()()65( 2 tfptypp 微 分 方 程 的 一 种 表 示 ， 含 义 是 在 等 式 两 边 分 别 对 变 量 y(t)和 f(t)进 行 相 应 的 微

3、 分 运 算 。 形 式 上 是 代 数 方 程 的 表 示 方 法 。 可 用 来在 时 域 中 建 立 与 变 换 域 相 一 致 的 分 析 方 法 。 微分算子的运算性质：性 质 1 以 p的 正 幂 多 项 式 出 现 的 运 算 式 ， 在 形 式 上 可 以 像 代 数 多项 式 那 样 进 行 展 开 和 因 式 分 解 。2( 5 6) ( ) ( 2)( 3) ( )p p y t p p y t 性 质 2 设 A(p)和 B(p)是 p的 正 幂 多 项 式 ， 则 )()()()()()( tfpApBtfpBpA ( 3)( 2) ( ) ( 2)( 3) ( )p

4、 p y t p p y t 性 质 3 微 分 算 子 方 程 等 号 两 边 p的 公 因 式 不 能 随 便 消 去 。 如 ： p y(t)= p f(t) y(t)= f(t)+c(c为 常 数 ) y(t)= f(t) )()( )()()()( )()( tfpB pAtfpBpD pApD )()( )()()()()( )( tfpB pAtfpDpBpD pA )(d)(dd)(1 tffttfpp t )()()(d)(dd)(1 tfftfftfpp t 例 ： 函 数 乘 、 除 算 子 p的 顺 序 不 能 随 意 颠 倒 ， 对 函 数 进 行 “ 先 除 后 乘

5、 ”算 子 p的 运 算 时 ， 分 式 的 分 子 与 分 母 中 公 共 p算 子 (或 p算 式 )才 允许 消 去 。 性 质 4 设 A(p)、 B(p) 和 D(p)都 是 p的 正 幂 多 项 式 系 统 模 型 ： 输 入 -输 出 描 述依 据 输 入 和 输 出 端 测 量 值 的 系 统 描 述 称 为 输 入 -输 出 描 述 。分 析 任 何 系 统 的 第 一 步 是 构 建 一 个 系 统 模 型 ， 它 应 该是 能 满 意 地 逼 近 这 个 系 统 动 态 行 为 的 一 种 数 学 表 达 式 。本 章 只 讨 论 连 续 时 间 系 统 。系 统 H(.

6、) y(t)x(t) y(t) = H (x(t) ) 电气系统 电 路 元 件 伏 安 关 系 (VAR)的 微 分 算 子 形 式 称 为 算 子 模 型 ， 电 压 、电 流 比 为 算 子 感 抗 和 算 子 容 抗 元 件 名 称 电 路 符 号 ui关 系 (VAR) VAR的 算 子 形 式 算 子 模 型 电 阻 u(t)=Ri(t) u(t)=Ri(t) 电 感 电 容 电 路 元 件 的 算 子 模 型 i(t) R )(tu i(t) R )(tui(t) L )(tu )(tui(t) 1/pC )(tui(t) C i(t) pL )(tuttiLtu d )(d)(

7、 t diCtu )(1)( )(1)( tipCtu ( ) ( )u t i tpL 例 1： 电 路 如 图 (a)所 示 ， 激 励 为 f(t)， 响 应 为 i2(t)。 试 列 写 其 微分 算 子 方 程 。 (a)1+f(t)- i1 53F i22H 4H 1+f(t)- i1 5 1 3p i22p 4p(b)回 路1 回 路2画 出 其 算 子 模 型 电 路 如 图 (b)所 示 。 由 回 路 法 可 列 出 方 程 为 ： 0)()5431()(31 )()(31)()3121( 21 21 tipptip tftiptipp 2 3 2( ) 1/3( )( )

8、 8 14 7 2i t H pf t p p p H(p)代 表 了 系 统 将 激 励 转 变 为 响 应 的 作 用 ， 或 系 统 对 输 入的 传 输 作 用 ， 故 将 H(p)称 为 响 应 y(t)对 激 励 f(t)的 传 输 算 子 或系 统 的 传 输 算 子 2 3 21/3( ) ( )8 14 7 2i t f tp p p 11 1 011 1 0 ( )( ) ( )m mm mn nnb p b p b p b N pH p p a p a p a D p 练 习 题 册 2-1， 2-3（ 3） 2. LTI连 续 系 统 的 响 应 特 性LTI系 统 全

9、 响 应 可 作 如 下 分 解 ： 1、 y(t) = 自 由 响 应 + 强 制 响 应 ； 2、 y(t) = 瞬 态 响 应 + 稳 态 响 应 ； 3、 y(t) = 零 输 入 响 应 yx(t) + 零 状 态 响 应 yf (t) 输 入 u(t)=0时 的 系 统 响应 ， 是 系 统 内 部 条 件（ 如 能 量 存 储 ， 初 始 条件 ） 单 独 作 用 的 结 果 ，与 f(t)无 关 。 当 系 统 在 零 状 态 （ 意 味着 系 统 内 部 能 量 存 储 不存 在 ， 所 有 初 始 条 件 都为 0时 系 统 对 f(t)产 生 的响 应 。 求 零 状 态

10、 响 应 yf (t) （ 1） 求 单 位 冲 激 响 应 h(t)（ 2） 求 dthf )()( 卷 积 积 分卷 积 的 运 算 规 律卷 积 的 主 要 性 质 系 统 全 响 应 的 求 解 方 法 ：求 零 输 入 响 应 yX (t) )()()( x tytyty f 一 、 系 统 初 始 条 件LTI系 统 在 激 励 作 用 下 ， 全 响 应 y(t)及 其 各 阶 导 数 在 t=0处 可 能发 生 跳 变 或 出 现 冲 激 信 号 ， 因 此 需 要 考 察 初 始 观 测 点 前 一 瞬 间t=0-和 后 一 瞬 间 t=0+时 情 况 y(0-)= yx(0

11、-)+yf(0-) y(0+)= yx(0+)+yf(0+) 对 于 因 果 系 统 ： yf(0-)=0； 对 于 时 不 变 系 统 ： yx(0+)= yx(0-)；y(0 -)= yx(0-)= yx(0+)； y(0+)= y(0-)+ yf(0+) y (j)(0-)= y(j)x(0-)= y(j)x(0+)； y (j)(0+)= y (j)(0-)+ y (j) f(0+) 二 、 通 过 系 统 微 分 算 子 方 程 求 零 输 入 响 应零 输 入 下 LTI连 续 系 统 的 微 分 算 子 方 程 为 : 0 , 0)()( x0111 ttyapapap nnn

12、要 使 上 式 成 立 ， 需 满 足 D(p)=0（ 特 征 方 程 ） 针 对 特 征 根 两 种 情 况 来 求 yx(t) 1 特 征 根 为 n个 单 根 p1 , p2 , , pn (可 为 实 根 、 虚 根 或 复 根 ) 1 2x 1 2( ) e e e , 0nnp t p t p ty t A A A t 将 yx(0-)、 yx(0-)、 、 yx(n-1)(0-)代 入 上 式 ， 确 定 积 分 常 数 A1、A2、 、 An 。 (举 n=2为 例 ) 共 轭 复 根 或 虚 根 时 ， 可 用 欧 拉 公 式 化 简 为 三 角 实 函 数 形 式 1 2e

13、 ( cos sin )t A t A t 2特 征 根 含 有 重 根 设 特 征 根 p1为 r重 根 ， 其 余 特 征 根 为 单 根 ，, , , , 2 1 nrr ppp 则 yx(t)的 通 解 表 达 式 为 : (举 r=2为 例 ) 1 1x 12 11 2 3 ( ) e e , 0( ) rn rr rn p tp tp ty t AA A t At t A t eA 将 yx(0-)、 yx(0-)、 、 yx(n-1)(0-)代 入 上 式 ， 确 定 积 分 常 数 A1、A2、 、 An 。 例 2 电 路 如 图 (a)所 示 ， 已 知 uC (0-) =

14、 1V， iL(0-) = -1A， 求 t0时 的零 输 入 响 应 uCx(t)。 1H12F CuCi 21R 42R Li CuCi 2 4 LiP2 P1解 (1)画 出 算 子 模 型 电 路 ,由 节 点 电 流 法 可 列 出 方 程 为 : 0)()4 1212( tuPP cx 化 简 可 得 : 0)()65( x2 tupp C由 D(p)=0， 解 得 特 征 根 : p1=-2， p2=-3 2 3 x 1 2() e e , 0C t tu t A A t 2 3 x 1 2() 2 e 3 e , 0C t tu t A A t Ri Ri uC x (t),

15、V0 t, s41-3 0.5 1V1 A12 4 (2) 0- 瞬 时 的 等 效 电 路 sV1)0(1)0( 21)1(21)0( x x x CC C iCu i 343211 2121 21 AAAAAA 2 3 x( ) 4 3 V, 0 .C t tu t e e t x(0 )Ci 代 入 初 始 条 件 2 3 x 1 2() e e , 0C t tu t A A t 2 3 x 1 2() 2 e 3 e , 0C t tu t A A t 总 结 ： 求 解 零 输 入 响 应 yx(t)的 基 本 步 骤 ： (2)通 过 微 分 算 子 方 程 得 D(p)求 系

16、统 的 特 征 根 ; (3)写 出 yx(t)的 通 解 表 达 式 ; (4)由 系 统 的 0-状 态 值 与 0-瞬 时 的 零 输 入 系 统 求 得 初 始 条 件 yx(j )(0-), j=0, 1, 2, , n-1。(5 ) 将 0 -初 始 条 件 代 入 yx(t)的 通 解 表 达 式 ,求 得 积 分 常 数 A1 , A2 , , An 。(6) 写 出 所 得 的 解 y x(t)， 画 出 yx(t)的 波 形 。 (1)建 立 系 统 微 分 算 子 方 程 LTI连 续 系 统 的 零 状 态 响 应 一 、 零 状 态 响 应 零 状 态 LTI连 续

17、系 统 H(p)(tf )(tyf)()( )()()()( tfpD pNtfpHtyf )( )()()()( 非 齐 次 微 分 方 程tfpNtypD f 非 齐 次 微 分 方 程 的 解 由 通 解 和 特 解 组 成 ， f(t) 形 式 简 单 特 解 还易 确 定 ， 如 形 式 复 杂 ， 则 特 解 很 难 确 定 。 一 般 情 况 下 零 状 态 响应 可 通 过 将 f(t)分 解 为 更 为 简 单 的 单 元 信 号 ， 将 各 单 元 激 励 下的 响 应 进 行 叠 加 来 求 解 。 (举 例 说 明 ) 信 号 的 时 域 分 解 ： 2 30 t)(t

18、f将 f(t)分 解 为 无 穷 多 个 宽 度 为 的 矩 形 脉 冲 信 号 之 和 fa(t) )1()()( )3()2()2( )2()()( )()()0()( ntntnf ttf ttf ttftf a )1()()()( 0 ntntnftf nna )1()()()( 0 ntntnftf nna dtf tdftftf a )()( )()()()( 000lim 任 意 信 号 可 分 解 为 无 穷 多 个 不 同 时 刻 出 现 的 冲 激 强 度为 该 时 刻 函 数 值 的 冲 激 信 号 之 和 dtftf )()()( 0 零 状 态 响 应 的 求 解 过

19、 程 dthfty f )()()( 零 状 态 LTI)(t )(th 冲 激 响 应零 状 态 LTI)( t )( th 时 不 变 性零 状 态 LTI)()( tf )()( thf 齐 次 性 由 上 述 过 程 可 看 出 求 解 零 状 态 响 应 可 通 过 下 列 两 步 完 成 ：（ 1） 求 单 位 冲 激 响 应 h(t)（ 2） 求 dthf )()( 卷 积 积 分零 状 态 LTI dtftf )()()( 叠 加 性 二 、 冲 激 响 应 h(t)h(t)定 义 ： 零 状 态 LTI H (p)(t )(th )()()( )()()()( 0111 01

20、11 tapapap bpbpbpbtpD pNtpHth nnn mmmm 通 过 多 项 式 的 长 除 法 ， H (p)可 以 化 为 某 个 多 项 式 与 一 个 有 理 真分 式 之 和 。 233)22(23 79972)( 222 234 pp ppppp pppppH例 1： 依 据 D(p)根 的 不 同 ， 有 理 真 分 式 H (p)可 展 开 为 不 同 的 部 分 分 式 )()( )()( )()( 21 npppppp pNpD pNpH nnjj ppKppKppKppK 2211 njpHppK jppjj , , 2 , 1 , )()( )()()(

21、)()( 2211 tppKtppKtppKtppKth nnjj ),()( tppKth jjj 令 第 j 项 为 )()()( tKthpp jjj )()()( tKthpdttdh jjjj （ 一 阶 微 分 方 程 ） 1 当 D(p) 有 n个 单 特 征 根 p1 , p2 , , pn (可 为 实 根 、 虚 根 或 复 根 ) () () ()j j jp t p t p tj j j jdh t e p h t e K t edt () ()j jp t p tj jd h t e K t edt ( ) ( )j jt tp pj jd h e d K e ddt

22、 () () jp t tj jh t e K t ( )() ( ) ()j jp t pj j jh t e h e K t ( )( ) 0 , () ()j jp p tj j jh e h t K e t 冲 激 响 应 h(t)为 )(e)(e)(e)( 2 1 21 tKtKtKth tpntptp n 2 当 D(p)特 征 根 有 重 根 时 ：设 p1为 r重 根 ， 其 余 (n-r)个 为 单 根 pj(j=r+1, r+2, , n)， 则 有 理真 分 式 H(p)可 展 开 为 ： )()()( )()( )()( 11 nrr pppppp pNpD pNpH

23、nnrrrrr ppKppKppKpp KppK 11111112111 )()( 1)()( 111 pppHppK r 1)()(dd 112 pppHpppK r 1( 1)1 1( 1)d1 ( ) ( )( 1)!d r rr r p pK p p H pr p 与 重 根 相 关 的 部 分 分 式 项 的 冲 激 响 应 1 1( 1) 11 e ( ) , 1 , 2 , , ( 1)!r r j p tjj K t t j rj 3、 H(p)为 某 个 关 于 pj多 项 式 时 （ 长 除 法 得 到 的 部 分 ） ：rjtpkth jrj j , , 2 , 1 ,

24、)()( 1 rjtkth jrj j , , 2 , 1 , )()( )(1 总 结 ： 求 解 单 位 冲 激 响 应 的 步 骤 ：（ 1） 据 算 子 微 分 方 程 求 出 传 输 算 子 H (p)；（ 2） 长 除 法 化 为 多 项 式 与 严 格 有 理 真 分 式 之 和 ；（3 ）严 格 有 理 真 分 式 部 分 分 式 展 开 ；（ 4） 根 据 D(p)特 征 根 的 不 同 情 况 ， 确 定 分 式 中 的 系 数 ；（ 5） 对 照 不 同 情 况 写 出 单 位 冲 激 响 应 。 4 3 222 7 9 9 7( ) 3 2p p p pH p p p

25、例 2： 求 出 下 面 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 ：4 3 2 22 222 7 9 9 7 3( ) (2 2)3 2 3 22 1 ( ) 2 2 1 2p p p p pH p p pp p p pH p p p p p 解 ： 2( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) (2e e ) ( )t th t t t t t 3 234 16 23 13( ) ( 1) ( 2)p p pH p p p 例 3： 求 出 下 面 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 ：1311 12 23 2( ) 1( 1) ( 1) 2KK K KH p pp p p 解 ： 311 1( 1

26、) ( )| 2pK p H p 312 1( 1) ( )| 1pdK p H pdp 2 313 121 ( 1) ( )| 32 pdK p H pdp 2 2( 2) ( )| 1pK p H p 2 2( ) ( 3) ( )t th t t t e e t 1 1( 1) 11( ) e ( ) ( 1)!r r j p tjj Kh t t tj 注 ： 当 D(p)有 共 轭 复 数 根 时 ： 【 P42： 表 2-2】 1 1 1| | | |( ) ( ) 2| |e cos( ) ( )j j tK KH p h t K t tp p 2 20.5 0.5(1) ( )

27、 j j( ) e cos ( )t pH p p p ph t t t 2 20.5 0.5(2) ( ) j j( ) e cos 2 ( ) e sin ( )t tj jH p p p ph t t t t t 2 2(3) ( ) ( ) cos ( )pH p h t t tp 2 2(4) ( ) ( ) sin ( )H p h t t tp 2 . 阶 跃 响 应 0( ) ( )tg t h d 阶 跃 响 应 g(t)的 求 解 方 法 ： 对 冲 激 响 应 进 行 积分 ( )h t 根 据 LTI系 统 特 性 ， 对 输 入 信 号 积 分 后 作 为 系 统 的

28、 新 输入 ， 得 到 的 新 输 出 为 原 输 出 信 号 的 积 分求 解 零 状 态 响 应 通 过 下 列 两 步 完 成 ：（ 1） 求 单 位 冲 激 响 应 h(t)（ 2） 求 dthf )()( 卷 积 积 分 三 卷 积 积 分 ( ) ( ) ( ) (*)fy t f h t d 上 述 积 分 可 看 作 f(t),h(t)经 过 如 下 过 程 完 成(1)将 f(t),h(t)的 自 变 量 t换 为 ， f(),h()波 形 不 变 ；(2)将 h()折 叠 ， 得 到 h(-)；(3)将 h(-)沿 轴 平 移 t， t为 参 变 量 ， 得 到 h-(-t

29、) 即 h(t-), t 0为 右移 ， t 0为 左 移 ；(4)将 f() 与 h(t-) 相 乘 得 到 相 乘 信 号 f() h(t-) ；(5)将 f() h(t-) 在 区 间 （ -， +） 上 积 分 得 到 零 状 态 响 应 y f(*)。定 义 : (*) )()()()()( 2121 dtfftftfty 卷 积 积 分 简 称 卷 积 ,求 解 步 骤 如 上 . 卷积积分上下限的确定是关键，讨论如下：(3)若 f 1(t) ,f2(t) 都 为 因 果 信 号 积 分 上 下 限 为 (0-, t) 1 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (*

30、)ty t f t f t f f t d (2)若 f1(t)为 因 果 信 号 , f2(t) 为 无 时 限 信 号 ,积 分 上 下 限 为 (0-,) 1 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (*)y t f t f t f f t d (1)若 f1(t) 为 无 时 限 信 号 ,f2(t) 为 因 果 信 号 ,积 分 上 下 限 为 (-, t) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (*)ty t f t f t f f t d (4)若 f1(t) ,f2(t)都 为 时 限 信 号 则 卷 积 后 仍 为 时 限 信 号 ， 其 左

31、边 界 为原 两 左 边 界 之 和 ， 右 边 界 为 原 两 右 边 界 之 和 例3：求图示f1 (t)， f2 (t)的卷积（重点） f2(-)02-2f2(t-) 02t-2 tf 1() f2(t-)02t-2 t 1(t0)0 2 1)(1 tf t 02 2)(2 tf t)(1 f )(2 f (1) t0时 , f1() f2(t-)=0 0)()( 21 dtff )1()(2)(1 f )()2()(2 f )()2()()(2 ttttf (2 ) 0 t1 时f1() f2(t-) 02t-2 t1(1t2)t 1f1() f2(t-)02 t-2 t(2t3)t-

32、1 f1() f2(t-)02t-2 t 1(0t1)t 20200 21 2)(2 )()( ttdt dtff ttt (3) 1t2时 122)(2 )()( 1021010 21 ttdt dtff (4) 2t3 时1f1() f2(t-)02 t-2 t(t3) 0)()( 21 dtff .3 , 0 ; 32 ),3)(1( ; 21 , 12 ; 10 , ; 0 , 0 )()()( 2 21 t ttt tt tt ttftfty0 1 2 313 y(t) t练 习 题 册 2-10 卷 积 的 运 算 规 律 据 卷 积 的 定 义 和 积 分 的 性 质 ， 可 推

33、 知 卷 积 有 如 下 的 运 算规 律 :1 交 换 律 : )()()()( 1221 tftftftf * 2 分 配 律 : )()()()()()()( 3121321 tftftftftftftf * 3结合律 )()()( )()()()()()( 231 321321 tftftf tftftftftftf * * 卷 积 的 主 要 性 质1 f(t)与 奇 异 信 号 的 卷 积(1) f(t)* (t)=f(t),即 f(t)与 (t)卷 积 等 于 f(t)本 身 (2) f(t)* (t)=f(t) ,即 f(t)与 (t)卷 积 等 于 f(t)导 数 。 (3)

34、 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tf t t f t t f d f 2 卷 积 的 微 分 和 积 分 ：(1) 积 分 f1(t)*f2(t) -1 = f1-1(t)*f2(t)= f1(t)*f2-1(t) (2) 微 分 f1(t)*f2(t) = f1(t)*f2(t)= f1(t)*f2(t) (3) 微分-积分: f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2-1(t)=f1-1(t)*f2(t)3 卷 积 时 移 ：设 f1(t)*f2(t)=y(t)， 则 ： f1(t)*f2(t-t0)=f1(t-t0)*f2(t)=y(t-t0) f1(t-t1)*f2

35、(t-t2)=y(t-t1-t2); 推 论 ： f(t-t1)* (t-t2)=f(t-t1-t2) (t-t 1)* (t-t2)= (t-t1-t2); 记 住 一 些 常 用 的 卷 积 （ P45:表 2-3） 就 可 利 用 卷 积 性 质 求 解 较复 杂 的 卷 积 。 11 2 1 21 2( ) ( ) ( )( )t t t t t t tr t t t 0)( ; 0)( 21 ff若 f1(t)， f2(t)左 收 敛 ， 即 例 :已知: )1()(2)(1 tttf )2()()(2 ttttf )2()1(2)()1(2- )2()(2)()(2)()( 21

36、tttttt tttttttftf 求 卷 积 ： )3(2)1(2- )2(2)(2)()( 1 21 0 2 021 tdtd tdtdtftf tt tt (卷 积 时 的 (t)的 存 在 只 是 确 定 被 积 信 号 的 起 始 位 置 ， 卷 积 结 果 要考 虑 起 始 位 置 ,即 加 (上 限 -下 限 )所 以 有 )3()32()1()12(- )2()4()( 22 22 tttttt tttt 0 1 2 313 y(t) t2 2 ( ) ( 1)(2 1) ( 1) ( 2) ( 2 3) ( 2) ( 3)t t tt t tt t t t 结 果 与 前 面

37、 图 解 法 所 得 的 分 段 表达 式 一 致 。 2 20 22 1 2 10 21 12 ( ) 2 ( 2)2 21 1 -2 ( 1) 2 ( 3)2 2t tt tt tt t 若 f1(t)， f2(t)收 敛 ， 利 用 微 分 -积 分 性 质 使 被 卷 积 的 一 个 信 号 尽量 化 为 冲 激 信 号 以 及 其 延 时 ， 再 利 用 任 一 信 号 与 (t)卷 积 等 于 该信 号 本 身 及 其 时 移 性 质 ， 可 计 算 简 化 。上 例 中 两 信 号 都 有 界 ， 因 此 可 利 用 微 分 -积 分 性 质)2()()1(2)(2 )()()(

38、)( 1 2121 ddtt tftftftf tt )2()221()(21)1(2)(2 22 tttttt 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) ( 4) ( 2) ( 1) 4 ( 3)t t t t t t t t 结 果 与 前 面 一 致)1()(2)(1 tttf )2()()(2 ttttf 例 试计算常数K与信号f(t)的卷积积分 解 直 接 按 卷 积 定 义 ， 可 得 )( )()()( 下 的 净 面 积tfK KdfKtftfK 如 果 用 微 分 -积 分 性 质 来 求 解 将 导 致 错 误 结 果 0)(dd)( t dfKttfK 常 数 K 不

39、收 敛 且 任 意 信 号 f(t)也 并 非 一 定 收 敛 。 f(t)0 t2 42)()sin()()cos1()( 02 tttdth t )4()2(2)()( ttttf )4()2(2)()( ttttf )4()4sin()4( )2()2sin()2(2)()sin( )4()2(2)()()sin( )()( )()( )()()( 21 ttt tttttt tttttt tfth tfth tfthty * 例 已 知 某 系 统 的 冲 激 响 应 h(t)=sint(t)， 激 励 f(t)的 波 形 如 图 所示 ， 试 求 系 统 的 零 状 态 响 应 yf

40、(t)。可 利 用 卷 积 的 微 分 -积 分 性 质 来 求 解 )()cos1()(sin)( 01 ttdth t () () ( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 4 )f t t t t t t t 练 习 题 册 2-15 四、系统全响应的求解方法：（ 1） 求 单 位 冲 激 响 应 h(t)（ 2） 求 卷 积 积 分 dthf )()( （ 3） 求 零 输 入 响 应 yX (t) （ 4） 全 响 应 ： )()()( x tytyty f 得 到 零 状 态 响 应 yf (t) 例 10 图 示 电 路 已 知 i1(0-) = i2(0-) =1A， f1(t)

41、 = t (t)， f2(t) = (t)-(t-1)， 求 全 响 应 y(t) 。 1i1(t)+f1(t)- +f2(t)-1 1 +y(t)-i2(t)1H 1H解 ： 1)先 求 系 统 的 传 输 算 子 及 冲 激 响 应 。 由 网 孔 法 )()()2()( )()()()()2( 221 2121 tftipti tftftitip 1 222 1 22 22 ( ) ( )1 ( ) 11( ) 1 ( ) ( ) ( )2 1 4 3 4 31 2f p f t f tf t py t i t f t f tp p p p pp )(e)( 31)3)(1( 1)( )

42、()ee(21)( 35.015.0)3)(1( 1)( 322 311 tthppp ppH tth pppppH ttt 2） 卷 积 积 分 求 零 状 态 响 应 yf (t) )1()()(e)()()ee(21 )()()()()( 33 2211 tttttt tfthtfthty tttf * * V. )1(e131 )()e187e21913( )1(e131)()e1(31 )()31e(181)1e(21 )1(e)(e )()(ee(21 )1(3 3 )1(33 3 0 3 0 3 0 3 1 ttt tt ttt tdtd tdt ttt tt tt ttt )1

43、()()(e )()()ee(21 )()()()()( 33 2211 tttttt tfthtfthty tttf * 3 ) 求零输入响应yX (t)： 上 面 已 求 得 p1 =-1， p2 =-3 sV1)0(0)(1)0( ,V111)0( 0 222 / Ludttdiy yx x电 路 得由 ttx ttx AAty AAty 321 321 e3e)( ee)( 1 2 11 2 21 1 1 3 0( ) e V, 0tx A A AA A Ay t t .V)1(e131)()e187e21913()(e )()()( )1(33 tttt tytyty tttt xf 4 ) 求 全 响 应 y (t)： 练 习 题 册 2-17