信号与系统拉普拉斯变换的基本性质

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1、信号与系统 信号与系统主要内容线 性 延 时 （ 时 域 平 移 ）尺 度 变 换 s域 平 移原 函 数 积 分 原 函 数 微 分 对 s域 微 分 对 s域 积 分初 值 终 值时 域 卷 积 信号与系统对 下 列 性 质 的 熟 练 掌 握 （ 数 学 描 述 ， 应 用 ）延 时 性 质尺 度 变 换对 时 间 函 数 的 微 分 、 积 分初 值 、 终 值 性 质时 域 卷 积 信号与系统一线性性质解 ：例 ： F s F s F s s s s ss s s( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 11 11 2 11 2 12已 知 f t F s s1 1

2、 11( ) ( ) f t F s s s2 2 11 2( ) ( ) ( )( ) f t f t1 2( ) ( )求 的 拉 普 拉 斯 变 换 F s( )说 明 ： 前 面 求 正 余 弦 信 号 的 拉 普 拉 斯 变 换 时 已 经 用 到 了 线 性 性 。 1 1 2 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( ), ,( ) ( ) ( ) ( )f t F s f t F s K KK f t K f t K F s K F s L LL若 为 常 数则 信号与系统二延时（时域平移） 0 0 0 00( ) ( ) ( ) ( )e dstf

3、 t t u t t f t t u t t t L 0 0( )e dstt f t t t 0 t t 令 00 ( )e e dst sf 0( )e stF s 证 明 ： 00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )e stf t F sf t t u t t F s LL若则 0 0e ( )e dst sf 0 0t 信号与系统二延时（时域平移）0 0 00 0 0 ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t u t ttf t t f t u t t f t t u t 。， ，注 意 ：(1)一 定 是 的 形 式 的 信 号 才 能 用 时 移 性

4、 质(2)信 号 一 定 是 右 移(3)表 达 式 等 所 表 示 的 信 号 不 能 用 时 移 性 质 信号与系统例 ： 已 知 01 0 ( ) 0 t tf t 其 余 求 F s( )()()( 0ttututf 0( ) ( ) ( ) ( )F s f t u t u t t L L L因 为所 以解 ：二延时（时域平移） 0 01 1 1(1 )st ste es s s 信号与系统解 ： 4种 信 号 的 波 形 如 图例 ： 21 0 2 0 3 04 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )t u t sf t t t f

5、 t t t u t f t tu t tf t t t u t t ， ， ，已 知 单 位 斜 变 信 号 的 拉 普 拉 斯 变 换 为求 的 拉 普 拉 斯 变 换二延时（时域平移） 信号与系统只 有 信 号 可 以 用 延 时 性 质 4( )f t 01 0 02 211 1( ) stF s t t ts s s L 02 0 1 21( ) ( ) ( ) ( ) stF s t t u t F s s L 04 0 0 21( ) ( ) ( ) stF s t t u t t es L 0 03 0 0 0 0 00 04 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( )

6、st stF s tu t t t t u t t t u t tt stF s e es s L L 二延时（时域平移） 信号与系统 2 2 21 1( ) 1 1 1s sF s s s s ( ) 2cos( ) ( ), ( )4f t t u t F s已 知 求 。解 ： ( ) 2cos cos 2sin sin ( ) cos sin ( )4 4f t t t u t t t u t 例二延时（时域平移）不 能 采 用 时 延 性 质 计 算 信号与系统二延时（时域平移）时 移 性 质 的 一 个 重 要 应 用 是 求 单 边 周 期 信 号 的 拉 普 拉 斯 变 换 。

7、 1 1 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )Tf t f t u tf t u t f t T u t T f t T u t T 21 1 1 1 01( ) ( ) ( ) ( ) = ( )1 ( ) 1 Ts Ts nTsnTsF s F s F s e F s e F s eF se 结 论 ： 单 边 周 期 信 号 的 拉 普 拉 斯 变 换 等 于 第 一 周 期 波 形 的 拉 普 拉 斯 变 换 乘 以 Tse1 1 信号与系统的 拉 普 拉 斯 变 换求 周 期 冲 激 序 列 )()( tutT TsT Tetut ttut1

8、 1)()( 1 )()()( ， 所 以 有它 的 拉 普 拉 斯 变 换 为 ，的 第 一 个 周 期 信 号 为周 期 冲 激 序 列 信号与系统求 图 所 示 单 边 周 期 矩 形 脉 冲 序 列 的 拉 普 拉 斯 变 换 第 一 个 周 期 的 信 号 为 )()()( 1 tututf)1(1)(1 sessF sTssT es esFesF 1 )1(1 1)( 1 所 以 信号与系统三尺度变换 时 移 和 尺 度 变 换 都 有 : 1( ) ( ) ( )e 0, 0 ( )sbasf at b u aat b Fa a b L 0( ) ( )e dstf at f a

9、t t L at令 ( )0 ( )e d( )s a f a ( )01 ( )e ds af a 1 ( )sFa a证 明 ： () ( )1 ( ) ( ) ( )0f t F s sf at Fa a a LL若则 信号与系统四s 域平移( ) 0 0( )e ( )e e d ( )e d ( )t t st s tf t f t t f t t F s L证 明 ： ( ) ( )( )e ( )tf t F sf t F s LL若则 0 2 20: cos( ) ( ) s t u t s 已 知 L 0 2 20 e cos( ) ( ) ( )t s t u t s 所

10、以 00 2 20:e sin( ) ( ) ( )t t u t s 同 理例 ： 求 的 拉 氏 变 换0e cos( ) ( ) t t u t解 ： 信号与系统五时域微分定理 22 2d ( ) d ( ) (0 ) ( ) (0 ) (0 )d d( ) (0 ) (0 )f t f ts f s sF s f ft ts F s sf f L L 1 1 ( )0d ( ) ( ) (0 )dn nn n r rn rf t s F s s ft L推 广 ： 证 明 ： 00 0( )e d ( )e ( )e d (0 ) ( )st st stf t t f t sf t t

11、f sF s ( ) ( )d ( ) ( ) (0 )df t F sf t sF s ft LL若则 信号与系统六时域积分定理证 明 ： 0 0( )d ( )d ( )dt tf f f 0 ( )df 0 0 ( )d e dt stf t 0 00e 1( )d ( )e dst t stf f t ts s 01 ( )e dstf t ts 01 ( )df s ( )F ss ( ) ( )f t F sL 0( ) 1( )d ( )dt F sf f s s L若则 1、 因 为 第 一 项 与 t 无 关 ， 是 一 个 常 数 。2、 如 果 f ( t )是 一 个

12、因 果 信 号 ， 则 这 一 项 为 0 信号与系统例 ： 求 图 示 信 号 的 拉 普 拉 斯 变 换 求 导 得 1 1( ) ( ) ( 2) ( 2) ( 2) ( 4)2 2f t t u t u t t u t u t d ( ) 1 1( ) ( 2) ( 2) ( 4) d 2 2f t u t u t u t u tt 2 2 4 2 21d ( ) 1 1 1 1( ) (1 )d 2 2 2s s s sf t e e eF s et s s s 2 21 21 1( ) ( ) (1 )2 sF s F s es s 所 以 解 ：六时域积分定理 信号与系统若则 取

13、 正 整 数七s 域微分定理 d ( )( ) dF stf t s常 用 形 式 ： L ( ) ( )d ( )( ) d d ( )( ) ( ) dnn nf t F sF stf t s F st f t ns LLL证 明 ： 对 拉 普 拉 斯 正 变 换 定 义 式 求 导 得 0 0d ( ) d ( ) d ( ) ( ) d ( )d d st stF s f t e t t f t e t tf ts s L即 得 证 。 信号与系统七s 域微分定理f t t u t( ) ( ) 2 1例 u t s( ) 1解 ： 因 为所 以 22 2 3 2d 1 2 2 1(

14、 1) ( ) ( )d s st u t e es s s s s sestu 1)1( 信号与系统八s 域积分定理 0( ) ( ) e dstF s f t t 两 边 对 s 积 分 ： 0( )d ( ) e d dts sF f t t 交 换 积 分 次 序 : 0 ( ) e d dtsf t t ( ) ( )( ) ( )dsf t F sf t Ft LL 0 1( ) e dt sf t tt 0 ( ) e ds tf t tt 证 明 ：若则 信号与系统若 拉 氏 变 换 存 在 ， 且九初值定理和终值定理( ) ( ) ( )f t f t F s 终 值 存 在

15、 的 条 件 : 0lim ( ) lim ( )t sf t sF s d ( )( ), ( ) ( )df tf t f t F st L若 的 拉 氏 变 换 存 在 ， 且则 初 值 定 理 ( )sF s 的 所 有 极 点 有 负 实 部终 值 定 理初 值 定 理 应 用 的 条 件 : f (t)不 包 含 冲 激 信 号 及 其 各 阶 导 数 项则 0lim ( ) (0 ) lim ( )t sf t f sF s 信号与系统d ( )( ) (0 ) df tsF s f t L 0 d ( )e dd stf t tt 00 0d ( ) d ( )e d e dd

16、 dst stf t f tt tt t 0 d ( )( ) (0 ) e dd stf tsF s f tt 0 0d ( ) d ( )lim e d lime d 0d dst sts sf t f tt tt t 由 时 域 微 分 定 理 可 知 0 d ( )(0 ) (0 ) e dd stf tf f tt 所 以 九初值定理和终值定理初 值 定 理 证 明 ： 所 以 0lim ( ) (0 ) lim ( )t sf t f sF s 信号与系统终 值 定 理 证 明 0 d ( )( ) (0 ) e dd stf tsF s f tt 00 0 d ( )lim (

17、) (0 ) lim e dd sts s f tsF s f tt (0 ) lim ( ) (0 )lim ( )ttf f t ff t 根 据 初 值 定 理 证 明 时 得 到 的 公 式九初值定理和终值定理 信号与系统例 ： 确 定 下 列 拉 普 拉 斯 变 换 所 对 应 的 时 域 因 果 信 号 的 初 值 和 终 值初 值 终 值 I s ss s( ) ( ) 22 H s s s( ) 810 1692 V s ss s( ) ( ) 2 101331)2( 2lim)(lim)0( ss ssssIi ss 1)(lim)( 0 ssIi s初 值 终 值 0169

18、108lim)(lim)0( 2 ss sssHh ss 0169108lim)(lim)( 200 ss sssHh ss注 意 应 用 终 值 定 理 的 条 件 是 满 足 的 。 解 ：九初值定理和终值定理 信号与系统初 值 2)1( )102(lim)(lim)0( 3 3 ss ssssVv ss( ) s 0 ( )sV s v t因 为 有 两 重 极 点 ， 并 不 具 有 负 实 部 ，因 此 不 能 应 用 终 值 定 理 ， 即 的 终 值 不 存 在九初值定理和终值定理例 ： 1: ( ) , (0 ) ?F s fs 已 知 求0(0 ) lim ( ) lim (

19、 ) 1t sf f t sF s 解 ： 即 单 位 阶 跃 信号 的 初 始 值 为1。 信号与系统十时域卷积若 为 因 果 信 号则 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F s F s L 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )f t F s f t F s f t f t ， ，L L证 明 ： 1 2 1 20( ) ( ) ( ) ( )d e dstf t f t f f t t L交 换 积 分 次 序 1 20 0( ) ( )e d dstf f t t 1 20 ( ) ( )e dsf F s 1 2( ) ( )F s F s 1 2 1 20 0( ) ( ) ( ) ( )d e dstf t f t f f t t L 信号与系统作 业 (13-06-08)P181 5-3（ 2） 、 （ 4） 、 （ 6） 、 （ 8） 5-4 （ 1） 、 （ 3） 5-5 （ a) 5-6 （ 3） 、 （ 5）