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1、2022-2023学年河南省信阳市高二下学期7月月考数学试题一、单选题1已知集合，则使成立的实数的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】根据集合之间的包含关系，即可列出不等式，求解即可.【详解】若满足，由已知条件得，解得 ，故选：B【点睛】本题考查由集合之间的包含关系，求参数范围的问题，属基础题.2若关于的不等式的解集为，则的取值范围是ABCD【答案】D【分析】在关于的不等式展开后可以得到一个一元二次不等式，又因为它的解集是，所以二次项系数应该是小于0的【详解】因为不等式的解集为所以二次项的系数小于0，【点睛】在计算一元二次不等式时，可根据函数图像性质来推断出二次项系数的大小3设 ，则的值为
2、（）A0B1C2D3【答案】C【分析】根据分段函数的解析式，先计算的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案.【详解】 ，故，故选：C4在中，点是上一点，且，又，则的值为ABCD【答案】A【详解】分析：先由条件以及两个向量的加减法的原则，以及其几何意义，可得，从而得到答案.详解：由题意可得,又，.故选：A.点睛：向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”5把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和
3、后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）A，BCD【答案】B【分析】由题可知，即可求出，再根据对应的坐标即可得出它的辐角主值.【详解】由题可知，则，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B.【点睛】本题考查复数的三角形式，属于基础题.6在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分布如下：分组频数126731分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（）A10%B20%C30%D40%【答案】B【解析】由频数分布表可计算得到样本的优秀率，由此可估计得到班级的优秀率.【详解】由表可知：优秀的人数为，则优秀率为：据此估计该
4、班的优秀率约为故选：【点睛】本题考查利用样本估计总体的问题，属于基础题.7圆：与圆：外切，则m的值为（）A2B5C2或5D1或2【答案】C【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解的值.【详解】由圆：与圆：，得，圆的半径为3，圆的半径为2，因为两圆外切，所以，化简得，所以，所以或，故选：C.8在等腰三角形中，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（）ABCD【答案】D【分析】设线段的中点为，连接，可知轴，求出点的坐标，进而可求得直线的点斜式方程.【详解】设线段的中点为，连接，则轴，则点，故点，所以，直线的斜率为，所以直线的点斜式方程为故选：D二、多选题
5、9已知与是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（）ABCD【答案】AC【分析】设，根据复数的运算，可得A正确；分别求出，得到B不正确；根据，可得C正确；根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解【详解】设，由，所以，所以A正确；则，所以B不正确；由，所以C正确；由不一定是实数，所以D不一定正确.故选：AC10如图所示，在正方体中，分别为棱，的中点，其中正确的结论为A直线与是相交直线；B直线与是平行直线；C直线与是异面直线：D直线与所成的角为.【答案】CD【解析】根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可.【详解】结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线
6、与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为,综上正确的结论为C D.【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题.11若定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，则下列函数是“H函数”的有（）ABCD【答案】BC【分析】由题意可知是R上的增函数，进而结合导数判断函数的单调性即可得出结果.【详解】由题意可知是R上的增函数.对于A，由，得，所以在区间上为增函数，故A中函数不是“H函数”；对于B，又，所以恒成立，故B中函数是“H函数”；对于C，恒成立，故C中函数是“H函数”；对于D，易知为偶函数，所以它不可能为R上的增函数，故D中函数不是“
7、H函数”.故选：BC.12将甲乙丙丁4名医生随机派往，三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往村庄”；表示事件“医生乙派往村庄”；表示事件“医生乙派往村庄”，则（）A事件与相互独立B事件与不相互独立CD【答案】BD【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D作答.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往，三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为，则，同理，事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，对于A，即事件A与B相互不独立，A不正确；对于B，即事件A与C相互不独立，B正确
8、；对于C，C不正确；对于D，D正确.故选：BD三、填空题13已知函数若有三个零点，则实数m的取值范围是 【答案】【详解】有三个零点，根据题意可得时，函数有一个零点；时，函数有两个零点.当时，恒成立，故；当时，要使得有两个零点，需满足，解得，综上可得，故答案为.14甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是 【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率
9、的计算公式求解题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算15已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .【答案】【分析】求函数导函数，由已知可得有两个不相等的正实数根，利用导数研究函数的性质，作出其图象，由此可求a的取值范围.【详解】函数的定义域为，导函数，由已知有两个
10、不相等的正实数根，所以有两个不相等正实数根，令，则，由，得.当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减.又，当时，当时，当时，由以上信息可得，函数的图象大致如下：所以a的取值范围是.故答案为：.16在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，则截面面积等于 .【答案】【分析】连接交于点，连接、，过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使，证明出平面平面，计算出的面积，即可得解.【详解】如图，连接交于点，连接、.因为且，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以，平面，同理可证平面，因为，、平面，所以，平面平面，故
11、截面平行于平面.过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使.，.因为平面，平面，所以，平面，又因为，平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，易得，故，因为，易知是边长为的等边三角形，所以，因此，.故答案为：.四、解答题17已知数列的首项（1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；（2）若对一切都成立，求的取值范围.【答案】（1） ；（2）.【分析】（1）根据条件取倒数，变形可得，即可证得数列是等比数列，从而可求数列的通项公式，即可求的通项公式；（2）由知，故，得，根据数列的通项公式，可得不等式，从而可求的取值范围【详解】（1） 由题意知，所以数列是首项为，公比为的等比数列； ，
12、（2）由（1）知，由知，故得即得，又，则.【点睛】由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造新数列.18如图，三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACB=ACD=45，DC =2BC （I）证明：EFDB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值【答案】（I）证明见解析；（II）【分析】（）方法一：作交于，连接，由题意可知平面，即有，根据勾股定理可证得，又，可得，即得平面，即证得；（II）方法
13、一：由，所以与平面所成角即为与平面所成角，作于，连接，即可知即为所求角，再解三角形即可求出与平面所成角的正弦值【详解】（）方法一：几何证法作交于，连接平面平面，而平面平面，平面，平面，而平面，即有，在中，即有，由棱台的定义可知，所以，而，平面，而平面，方法二【最优解】：空间向量坐标系方法作交于O平面平面，而平面平面，平面，平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.设OC=1,，,，,BCBD,又棱台中BC/EF,EFBD；方法三：三余弦定理法平面ACFD平面ABC，,，又DC =2BC,即,又，（II）方法一：几何法因为，所以与平面所成角即为与平面所成角作于，连接，由（1）可知，平面，因为所
14、以平面平面，而平面平面，平面，平面即在平面内的射影为，即为所求角在中，设，则，故与平面所成角的正弦值为方法二【最优解】：空间向量坐标系法设平面BCD的法向量为,由（）得,令,则,，,由于，直线与平面所成角的正弦值为 方法三：空间向量法以为基底,不妨设，则(由（）的结论可得）设平面的法向量为，则由得取，得设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角也为，由公式得方法四：三余弦定理法由，可知H在平面的射影G在的角平分线上设直线与平面所成角为，则与平面所成角也为由由（）的结论可得，由三余弦定理，得，从而方法五：等体积法设H到平面DBC的距离为h，设,则,设直线与平面所成角为，由已知得与平面所成角也为由，
15、,求得，所以【整体评价】（）的方法一使用几何方法证明，方法二利用空间直角坐标系方法，简洁清晰，通性通法，确定为最优解；方法三使用了两垂直角的三余弦定理得到，进而证明，过程简洁，确定为最优解（II）的方法一使用几何做法，方法二使用空间坐标系方法，为通性通法，确定为最优解；方法三使用空间向量的做法，避开了辅助线的求作；方法四使用三余弦定理法，最为简洁，确定为最优解；方法五采用等体积转化法，避免了较复杂的辅助线.19已知直线和圆.(1)求证：对任意实数，直线和圆总有两个不同的交点；(2)设直线和圆交于，两点.若，求的倾斜角；求弦的中点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析(2)或；，其中【分析】（1）
16、解法1，联立消元，根据，即可得证；解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明；解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明；（2）求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可；联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数，即可得解；【详解】（1）解法1：将代入，得，因为，故直线和圆C总有两个不同的交点.解法2：圆心到直线的距离，于是直线和圆C总有两个不同的交点.解法3：由已知，直线，令，解得，所以直线恒过定点，因为，所以点P在圆C内，于是直线和圆C总有两个不同的交点.（2）圆心到直线的距离，由弦长公式，即，解得，即直线的斜率为，于是的倾斜角为或.将代入
17、，得，设，显然，所以，则，则，所以，消去得，即，其中.20某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路，余下的外围是抛物线的一段，的中垂线恰是该抛物线的对称轴，是的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形区域种植草坪，其中均在该抛物线上.经测量，直路段长为60米，抛物线的顶点到直路的距离为40米.以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.(1)求该段抛物线的方程；(2)当长为多少米时，等腰梯形草坪的面积最大？【答案】(1)(2)20米【分析】(1)，把两点坐标代入求解即可；(2)，由梯形的面积公式，可得梯形的面积为，构造函数，求导可知当时，该函数有唯一的极大值点，则改点也是
18、函数的最大值点，即可求解.【详解】（1）设该抛物线的方程为，由条件知，所以，解得，故该段抛物线的方程为.（2）由（1）可设，所以梯形的面积，设，则，令，解得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值.故当长为20米时，等腰梯形草坪的面积最大.21设函数(1)设，求函数的最大值和最小值；(2)设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间【答案】(1)，；(2)，【分析】(1)化简f(x)解析式，利用正弦函数的图像特性即可求其最大值和最小值；(2)根据正弦型函数为偶函数可知，据此即可求出，再根据正弦函数单调性即可求g(x)的单调增区间.【详解】（1），函数的最大值为
19、，最小值为（2），该函数为偶函数，得，又，k取0，令，解得，从而得到其增区间为22已知函数(其中为自然对数的底数).（1）求证：当时，；（2）若不等式对成立，求实数a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用导数判断单调性，求出的最小值，再证明其大于；（2）令，先讨论，与题意不符；当时：先求出，分类讨论：若， ，使得，在上单调递减，与题意不符；若， ，使得，在上单调递增，与题意不符；若，判断在上单调递减，在上单调递增，恒成立，符合题意.【详解】解：（1），当时，当时，故当时，单调递增.，而，故；（2）令，即对成立，若，则，与题意不符；故只需考虑的情况：，显然当时，在上单调递增，若，则，故，使得，在上单调递减，与题意不符，舍；若，则，当时，故，单调递增，又，故，使得，在上单调递增，与题意不符，舍；若，则，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，恒成立.综上，.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（3）利用导数证明不等式.
2022-2023学年河南省信阳市高二下学期7月月考数学试题【含答案】
