二维图形几何变换

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1、第 4章 图 形 变 换 (二 维 )提 出 问 题 ：v如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换v如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察 图 形 的 几 何 变 换 是 指 对 图 形 的 几 何 信 息 经 过 平 移 、 比例 、 旋 转 等 变 换 后 产 生 新 的 图 形 ， 是 图 形 在 方 向 、 尺寸 和 形 状 方 面 的 变 换 。基 本 概 念几 何 变 换 二 维 图 形 几 何 变 换n 平 移 变 换n 旋 转 变 换n 比 例 变 换 基 本 几 何 变 换 都 是 相 对 于 坐 标 原 点 和 坐 标轴 进 行 的 几 何 变 换 二 维 变 换

2、 矩 阵 sml qdc pbayxTyxyx D 111 2T1： 比 例 、 旋 转 、 对 称 、 错 切T2： 平 移T3： 投 影T4： 整 体 缩 放 T1 T3T2 T4 平 移 是 一 种 不 产 生 变 形 而 移 动 物 体 的刚 体 变 换 （ r i g i d - b o d y transformation）Y XTx Ty图 6-1 平 移 变 换 PP T 平 移 变 换平 移 是 指 将 p点 沿 直 线 路 径 从 一 个 坐 标 位 置 移 到 另 一 个 坐 标 位 置 的 重 定 位 过 程 。 Tyyy Txxx Tx， Ty称 为 平 移 矢 量

3、1010 001 yx TT推 导 ：矩 阵 ：平 移 变 换 sml qdc pbayxTyxyx D 111 2x =x+Tx,y =y+Ty 比 例 变 换 比 例 变 换 是 指 对 p点 相 对 于 坐 标原 点 沿 x方 向 放 缩 Sx倍 ， 沿 y方向 放 缩 Sy倍 。 其 中 Sx和 Sy称 为 比例 系 数 。 Y X图 6-2 比 例 变 换 (Sx=2,Sy=3)P(4,3)P(2,1) yxysy xsx 推 导 ：矩 阵 ： 100 00 00 yx SS 比 例 变 换 sml qdc pbayxTyxyx D 111 2x =Sx*X,y =Sy*Y (a)

4、Sx=Sy比 例 原图 (b) SxSy比 例 原图 图 6-3 比 例 变 换 SxSySx=Sy1Sx=Sy1时 缩 还 是 放 ？ sml qdc pbayxTyxyx D 111 2x y 1=x y s=x/s y/s s/s 旋 转 变 换 二 维 旋 转 是 指 将 p点 绕 坐 标 原 点 转 动 某 个 角 度 （ 逆 时 针 为 正 ，顺 时 针 为 负 ） 得 到 新 的 点 p 的 重 定 位 过 程 。 Y X图 6-4 旋 转 变 换 P Pr r X = rcos(a+ ) = rcosacos -rsinasin = x cos -y siny = rsin(a

5、+ ) = rcosasin +rsinacos = x sin +y cos 推 导 ：矩 阵 ： 逆 时 针 旋 转 角 100 0cossin 0sincos 顺 时 针 旋 转 角 ? 旋 转 变 换 sml qdc pbayxTyxyx D 111 2X = rcos(a+ ) = rcosacos -rsinasin = x cos -y sin y = rsin(a+ ) = rcosasin +rsinacos = x sin +y cos 简 化 计 算 （ 很 小 ） 100 01 0111 yxyx旋 转 变 换 对 称 变 换对 称 变 换 后 的 图 形 是 原 图

6、形 关 于 某 一 轴 线 或 原 点 的 镜 像 。 X Y (a)关 于 x轴 对 称 X Y (b)关 于 y轴 对 称 XY (c)关 于 原 点 对 称 X Y (d)关 于 x=y对 称 X Y (e)关 于 x=-y对 称 对 称 变 换对 称 变 换 后 的 图 形 是 原 图 形 关 于 某 一 轴 线 或 原 点 的 镜 像 。 (1)关 于 x轴 对 称 100 010 001Y XP(x,-y)P(x,y) (a)关 于 x轴 对 称 对 称 变 换 XY (a)关 于 x轴 对 称 (2)关 于 y轴 对 称Y XP(-x,y) p(x,y)(b)关 于 y轴 对 称

7、 100 010 001对 称 变 换 XY(b)关 于 y轴 对 称 (3)关 于 原 点 对 称Y XP(x,y) (c)关 于 原 点 对 称 100 010 001 XY(c)关 于 原 点 对 称对 称 变 换 (4)关 于 y=x轴 对 称Y X p(x,y)p(y,x)x=y (d)关 于 x=y对 称 100 001 010对 称 变 换 XY (d)关 于 x=y对 称 (5)关 于 y=-x轴 对 称Y XP(-y,-x) P(x,y) x=-y (e)关 于 x=-y对 称 100 001 010对 称 变 换 XY(e)关 于 x=-y对 称 错 切 变 换 错 切 变

8、 换 ， 也 称 为 剪 切 、 错 位 变 换 ， 用 于 产 生 弹 性 物 体 的 变形 处 理 。 Y X Y X Y X(a) 原 图 (b) 沿 x方 向 错 切 (c) 沿 y方 向 错 切图 6-7 错 切 变 换 其 变 换 矩 阵 为 ： 100 01 01b d (1)沿 x方 向 错 切(2)沿 y方 向 错 切(3)两 个 方 向 错 切错 切 变 换 二 维 图 形 几 何 变 换 的 计 算几 何 变 换 均 可 表 示 成 P = P * T 的 形 式 ：1. 点 的 变 换2. 直 线 的 变 换3. 多 边 形 的 变 换4. 曲 线 的 变 换 4.1.

9、3 复 合 变 换复 合 变 换 是 指 ：n 图 形 作 一 次 以 上 的 几 何 变 换 ， 变 换 结 果 是 每 次 的 变 换 矩 阵 相 乘 。n 任 何 一 复 杂 的 几 何 变 换 都 可 以 看 作 基 本 几 何 变 换 的 组 合 形 式 。复 合 变 换 具 有 形 式 ： )1( )( 321 321 nTTTTP TTTTPTPP n n 6.3.1 二 维 复 合 平 移两 个 连 续 平 移 是 加 性 的 。6.3.2 二 维 复 合 比 例连 续 比 例 变 换 是 相 乘 的 。6.3.3 二 维 复 合 旋 转两 个 连 续 旋 转 是 相 加 的

10、。 可 写 为 ： )( 21)()( 21 RRRR 4.1.3 复 合 变 换 其 它 二 维 复 合 变 换 100 0cos0 00cos100 01 01 100 01 01100 0cos0 00cos100 0 cos sin 0 sincos tg tg tg tgR4.1.3 复 合 变 换 6.3.5 相 对 任 一 参 考 点 的 二 维 几 何 变 换相 对 某 个 参 考 点 (xF,yF)作 二 维 几 何 变 换 ， 其 变 换 过 程 为 ：(1) 平 移(2) 针 对 原 点 进 行 二 维 几 何 变 换 。(3) 反 平 移复 合 变 换 xy F(xF,

11、yF)o PP 相 对 任 一 参 考 点 的 二 维 几 何 变 换例 1. 相 对 点 (xF,yF)的 旋 转 变 换xy F(xF,yF)o P xy o P P x y o PPTx Ty Tx=- xF Ty=- yF xy o PTx Ty Tx= xF Ty= yFP 相 对 任 意 方 向 的 二 维 几 何 变 换 相 对 任 意 方 向 作 二 维 几 何 变 换 ， 其 变 换 的 过 程 是 ：(1) 旋 转 变 换(2) 针 对 坐 标 轴 进 行 二 维 几 何 变 换 ；(3) 反 向 旋 转例 3. 相 对 直 线 y=x 的 反 射 变 换复 合 变 换 例

12、 4. 将 正 方 形 ABCO各 点 沿 图 6-8所 示 的 (0,0) (1,1)方 向 进 行 拉 伸 ， 结 果 为如 图 所 示 的 ， 写 出 其 变 换 矩 阵 和 变 换 过 程 。 Y X1 3/21/21/2 3/22 2图 6-8 针 对 固 定 方 向 的 拉 伸O A BC C BA 复 合 变 换 坐 标 系 之 间 的 变 换问 题 ： 图 6-9 坐 标 系 间 的 变 换 x y xy O Ox 0y0 p(xp,yp) 复 合 变 换 分 析 ： x y y O O(x0,y0)图 6-11 坐 标 系 变 换 的 变 换 原 理 xp,也 即 pp* p

13、xpy * xOp *yOp 坐 标 系 之 间 的 变 换 可 以 分 两 步 进 行 ： x yy O Ox 0y0 x (a)将 xy坐 标 系 的 原 点 平 移 到 xy坐 标 系 的 原 点 p(xp,yp) x y O y x(b)将 x轴 旋 转 到 x轴 上 p(xp,yp) 坐 标 系 之 间 的 变 换 于 是 ： RTtTpTp Tpypxpypxp 11坐 标 系 之 间 的 变 换 光 栅 变 换直 接 对 帧 缓 存 中 象 素 点 进 行 操 作 的 变 换 称 为 光 栅 变 换 。 n 光 栅 平 移 变 换 ： (a)读 出 象 素 块 的 内 容 (b)

14、复 制 象 素 块 的 内 容 (c)擦 除 原 象 素 块 的 内 容 n 90 、 180 和 270 的 光 栅 旋 转 变 换 ： (a)逆 时 针 旋 转 90 (x,y)(y,rowlen-x) rowlen 光 栅 变 换 v阵列每个象素值颠倒v交换行与列a11 a12 a13a21 a22 a23a13 a12 a11a23 a22 a21 a13 a23a12 a22a11 a21 a13 a23a12 a22a11 a21 (x,y)(rowlen-x,vollen-y) (b)逆 时 针 旋 转 180rowlen vollen 光 栅 变 换n 90 、 180 和 2

15、70 的 光 栅 旋 转 变 换 ： a11 a12 a13a21 a22 a23 a23 a22 a21a13 a12 a11 v阵列每个象素值颠倒v将行序颠倒a13 a12 a11a23 a22 a21a23 a22 a21a13 a12 a11 n 任 意 角 度 的 光 栅 旋 转 变 换 ： 旋 转 的 象 素 阵 列光 栅 网 格A A21 3 光 栅 变 换 Gray(A)= Gray(i) A在 i上 的 覆 盖 率 (Gray(x)表 示 某 点 的 灰 度 等 级 )i=1nGray(A)=Gray(1) A在 1上 的 覆 盖 率 + Gray(2) A在 2上 的 覆

16、盖 率 + Gray(3) A在 3上 的 覆 盖 率 n 光 栅 比 例 变 换 ： (a)Sx=1/2,Xy=1/2 (b)原 图 (a)Sx=1,Xy=3/2 缩 小 时 原 图中 的 相 应 象素 区 域 放 大 时 原 图中 的 相 应 象素 区 域 光 栅 变 换 1 234 12 Gray(i) Sii=1nGray(A)= Sii=1n G=(G1+G2+G3+G4)/4 G=(G1 S1 + G2 S2)/(S1 + S2) 变 换 的 性 质 n 仿 射 变 换 具 有 平 行 线 不 变 性 和 有 限 点 数 目 的 不 变 性n 平 移 、 比 例 、 旋 转 、 错

17、 切 和 反 射 等 变 换 均 是 二 维 仿 射 变 换 的 特例 ， 反 过 来 ， 任 何 常 用 的 二 维 仿 射 变 换 总 可 以 表 示 为 这 五 种 变换 的 复 合 。 ndycxy mbyaxx 二 维 仿 射 变 换 是 具 有 如 下 形 式 的 二 维 坐 标 变 换 ： 二 维 几 何 变 换 具 有 如 下 一 些 性 质 ：v 直 线 的 中 点 不 变 性 ；v 平 行 直 线 不 变 性 ；v 相 交 不 变 性 ；v 仅 包 含 旋 转 、 平 移 和 反 射 的 仿 射 变 换 维 持 角 度 和 长 度 的 不变 性 ；v 比 例 变 化 可 改 变 图 形 的 大 小 和 形 状 ；v 错 切 变 化 引 起 图 形 角 度 关 系 的 改 变 ， 甚 至 导 致 图 形 发 生 畸变 。变 换 的 性 质