《直线的极坐标方程》

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1、1.3.2 直 线 的 极 坐 标 方 程 本 节 课 在 学 习 极 坐 标 系 中 求 曲 线 方 程 的 基 本 步 骤 和圆 的 极 坐 标 方 程 的 基 础 上 学 习 直 线 的 极 坐 标 方 程 ， 直 线在 平 面 解 析 几 何 中 是 最 基 础 的 曲 线 方 程 ， 在 极 坐 标 方 程的 地 位 也 是 相 当 的 重 要 ， 教 学 过 程 中 让 学 生 体 会 直 线 在极 坐 标 系 中 的 方 程 的 不 同 和 对 其 限 制 ， 以 及 不 同 位 置 的直 线 的 极 坐 标 方 程 的 求 法 和 方 程 的 表 示 ， 感 受 课 本 的 递

2、进 研 究 方 法 。 在 极 坐 标 和 平 面 直 角 坐 标 的 转 化 过 程 中 可 以 顺 便 复习 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 直 线 的 五 种 表 示 形 式 及 运 用 。 1.会 在 极 坐 标 系 中 求 出 任 意 直 线 的 方 程 。2.理 解 直 线 的 极 坐 标 方 程 的 推 导 过 程 。3.感 受 课 本 在 研 究 时 的 层 层 推 进 的 思 想 。 在 极 坐 标 系 中 求 曲 线 方 程 的 基 本 步 骤 ：1、 根 据 题 意 画 出 草 图 (包 括 极 坐 标 建 系 )；2、 设 P(， ) 为 所 求 曲 线 上 的 任

3、 意 一 点 ；3、 连 结 OP， 寻 找 OP满 足 的 几 何 条 件 ；4、 依 照 几 何 条 件 列 出 关 于 ，的 方 程 并 化 简 ；5、 检 验 并 确 定 所 得 方 程 即 为 所 求 。 思 考 1： 如 图 ， 过 极 点 作 射 线 OM， 若 从 极 轴 到 射 线 OM的最 小 正 角 为 450， 则 射 线 OM的 极 坐 标 方 程 是 什 么 ？ 过 极 点作 射 线 OM的 反 向 延 长 线 ON， 则 射 线 ON的 极 坐 标 方 程 是什 么 ？ 直 线 MN的 极 坐 标 方 程 是 什 么 ？ 4 M45 xON射 线 OM： ； 4

4、射 线 ON： ；54 4 和 54 思 考 2： 若 0， 则 规 定 点 ( ， )与 点 ( ， )关 于极 点 对 称 ， 则 上 述 直 线 MN的 极 坐 标 方 程 是 什 么 ？ M45 xON ( )4 R 或 5 ( )4 R 和 前 面 的 直 角 坐 标 系 里 直 线 方 程 的 表示 形 式 比 较 起 来 ， 极 坐 标 系 里 的 直 线表 示 起 来 很 不 方 便 ， 要 用 两 条 射 线 组合 而 成 。 原 因 在 哪 ？ 0 可 以 考 虑 允 许 极 径 可 以 取 全 体 实 数 。 思 考 3： 设 点 P的 极 坐 标 为 A ， 直 线 过

5、 点 P且 与 极轴 所 成 的 角 为 ,求 直 线 的 极 坐 标 方 程 。 ( ,0)a ll解 ： 如 图 ， 设 点 ( , )M 为 直 线 上 异 于 P的 点 .l连 接 OM， o Mxp在 中 有 MOP ,sin( ) sin( )a 即 sin( ) sina 显 然 P点 也 满 足 上 方 程 。 过 点 A(a， 0)(a 0)， 且 垂 直 于 极 轴 的 直 线 l的 极 坐 标方 程 是 什 么 ？ 当 a 0时 ， cos a； M xO A xOAM 当 a 0时 ， cos a. 求 直 线 的 极 坐 标 方 程 步 骤1、 根 据 题 意 画 出

6、 草 图 ；2、 设 点 是 直 线 上 任 意 一 点 ；( , )M 3、 连 接 MO；4、 根 据 几 何 条 件 建 立 关 于 的 方 程 ， 并 化 简 ；, 5、 检 验 并 确 认 所 得 的 方 程 即 为 所 求 。 例 1： 求 过 极 点 ， 倾 角 为 的 射 线 的 极 坐 标 方 程 。4 o M x 4分 析 ：如 图 ， 所 求 的 射 线 上 任 一 点 的极 角 都 是 ， 其 极 径 可 以 取任 意 的 非 负 数 。/ 4故 所 求 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ( 0)4 1、 求 过 极 点 ， 倾 角 为 的 射 线 的 极 坐 标 方

7、 程 。545 ( 0)4 2、 求 过 极 点 ， 倾 角 为 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 。4 54 4 或 例 2.求 过 点 A(a,0)(a0)， 且 垂 直 于 极 轴 的 直 线 L的极 坐 标 方 程 。解 ： 如 图 ， 设 点 为 直 线 L上 除 点 A外 的 任 意 一 点 ， 连 接 OM.( , )M o x AM在 中 有 Rt MOA cosOM MOA OA 即 cos a 可 以 验 证 ， 点 A的 坐 标 也 满 足 上 式 。 求 过 点 A(2, )平 行 于 极 轴 的 直 线 。4例 3. ( , )如 图 ， 设 是 直 线 上 除 点

8、 外 的 任 意 一 点解 ： M l A (2, ) 2 sin 24 4A MB sin , sin 2Rt OMB MB OM 在 中 ， 即sin 2 故 所 求 直 线 方 程 为 (2, )4A 可 以 验 证 ， 点 的 坐 标 满 足 上 式 ，O BA M(， ) x cos a 1.与 极 轴 垂 直 且 与 极 轴 距 离 为 a的 直 线 的 极 坐 标 方 程 ：cos a 2.与 极 轴 反 向 延 长 线 垂 直 且 距 离 为 a的 直 线 的 极 坐标 方 程 ： sin a 3.在 极 轴 上 方 与 极 轴 平 行 且 到 极 轴 距 离 为 a的 极 坐

9、标 方 程 ：4.在 极 轴 下 方 与 极 轴 平 行 且 到 极 轴 距 离 为 a的 极 坐标 方 程 ： sin a 几 种 特 殊 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 ： 例 4： 设 点 P的 极 坐 标 为 ， 直 线 过 点 P且 与 极 轴 所成 的 角 为 ,求 直 线 的 极 坐 标 方 程 。 1 1( , ) ll o xMP 1 1 解 ： 如 图 ， 设 点 为 直 线 上 除 点 P外 的 任 意 一 点 ， 连 接 OM. ( , )M 则 ,由 点 P的 极 坐 标 知 ,OM xOM 1,OP 1,xOP 设 直 线 L与 极 轴 交 于 点 A。 则 在

10、 MOP 1, ( )OMP OPM 由 正 弦 定 理 得 11sin ( ) sin( ) 1 1sin( ) sin( ) 显 然 点 P的 坐 标 也 是 它 的 解 。 1.两 条 直 线 与 的 位置 关 系 是 （ ）cos( ) a sin( ) a BA、 平 行 B、 垂 直C、 重 合 D、 平 行 或 重 合sin 2 cos 2cos 4 cos 4A BC D 、 、 、2.在 极 坐 标 系 中 ， 与 圆 相 切 的 一 条 直 线 的 方程 是 （ ） 4sin B 3. ( 2,3) 2A 求 过 且 斜 率 为 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 。程这

11、就 是 所 求 的 极 坐 标 方得 代 入 直 线 方 程将 为 直 线 上 的 任 意 一 点 ，设 角 坐 标 系 内 直 线 方 程 为解 ： 由 题 意 可 知 ， 在 直 07sincos2 072 sin,cos),( 072 yx yxMyx 14. sin ( )3 R 极 坐 标 方 程 表 示 的 曲 线 是 ( )A、 两 条 相 交 的 直 线 B、 两 条 射 线C、 一 条 直 线 D、 一 条 射 线 所 以 是 两 条 相 交 直 线两 条 直 线 即所 以 得 可 得解 ： 由 已 知 042:,042: 4242tan 322cos31sin 21 yxl

12、yxl xy A 5. cos 2 4cos 2 sin 2sin 2 2sinA BC D 直 线 关 于 直 线 对 称 的 直 线 方 程 为 ( )、 、 、 B2sin 2 2 化 为 极 坐 标 方 程 为即的 对 称 直 线 的 问 题 关 于线解 ： 此 题 可 以 变 成 求 直y xyx 4cos,4cos 2cos,2sin sin46 、 、直 线 的 方 程 是 相 切 的 一 条、 在 极 坐 标 系 中 ， 与 圆DC BA ( )B 2cos2 4)2(04 sin4 2222 化 为 极 坐 标 方 程 为 圆 的 方 程 为那 么 一 条 与 此 圆 相 切

13、 的即 的 化 为 直 角 坐 标 方 程 是解 ： 圆x yxyyx ._ 4)0(307面 积 所 围 成 的和，、 曲 线 O XA B38461 2 S AOB即的 面 积 积 就 是 扇 形解 ： 由 图 可 知 围 成 的 面 1、 过 极 点2、 过 某 个 定 点 ， 且 垂 直 于 极 轴3、 过 某 个 定 点 ， 且 与 极 轴 成 一 定 的 角 度 (1)当 直 线 l过 极 点 ， 从 极 轴 到 l的 角 是 ， 则 l的 方 程为 ： (2)当 直 线 l过 点 M(a,0)且 垂 直 于 极 轴 时 ， l的 方 程为 .(3)若 直 线 经 过 点 M(0， 0)， 且 从 极 轴 到 此 直 线 的 角 为 ，则 直 线 l的 极 坐 标 方 程 为 ： ( R)cos a sin ( ) 0sin (0 )4.直 线 的 极 坐 标 方 程 敬 请 指 导.