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1、*第九节一、二元函数泰勒公式一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 二元函数的泰勒公式 1一、二元函数的泰勒公式一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式 2记号记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示3定理定理1 1.的某一邻域内有直到 n+1 阶连续偏导数,为此邻域内任 一点,则有其中 称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项.4证证:令则 利用多元复合函数求导法则可得:5一般地,由 的麦克劳林公式,得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.6说明说明:(1)余项估计式.因 f 的各
2、 n+1 阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界 M,则有7(2)当 n=0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上 8例例1.求函数解解:的三阶泰勒公式.因此,9其中10时,具有极值二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A 0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理定理2(充分条件)11证证:由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以12其中其中,是当h 0,k 0 时的无穷小量,于是(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,可见,从而z0,因此13从而 z0,(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则 时,有异号;同号.可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,14+若 AC 0,则必有 B0,不妨设 B0,此时 可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB2 0 时,若 A0,则若 A0,则 B0,为零或非零15此时因此 作业作业P67 1,3,4,5不能断定(x0,y0)是否为极值点.16
D二元泰勒公式
