双“S”曲线模型知识讲解

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1、双双“S”“S”曲线曲线(qxin)(qxin)模型模型于洪池(hn ch)2012101246第一页，共14页。1背景介绍2“S”曲线模型(mxng)3双“S”曲线模型(mxng)4应用实例第二页，共14页。一 背景(bijng)介绍 生物数学家Verhulst于19世纪中叶提出了Logistic模型,大量(dling)研究表明在自然界(如动植物种群的增长)、在经济界(如生产总值的增长、耐用消费品的销售数量等)很多问题都能用Logistic模型来描述。Logistic模型在预测与决策上也有着独特的表现和广泛的应用。许多学者在Logistic模型的基础上对其进行推广,提出了很多改进模型。这些改

2、进模型拓展了适用范围,更好地描述了实际问题。Logistic 模型及其改进模型均建立在种群所在空间具有一最大容量(也称饱和容量)且该最大容量自始至终保持不变这一假设基础上,但是实际上最大容量始终保持不变只是一部分现象的近似描述,很多情况下饱和容量是变化的。例如,随着经济发展,人民生活水平提高,耐用消费品的市场饱和值会不断增大。在这种情况下增长曲线不是Logistic模型所表现出来的S形曲线，而是呈双S形曲线形状，Logistic模型及其改进模型均不能确切地描述这类问题,究其原因是因为模型假设中饱和容量恒定不变与实际情况不相符。第三页，共14页。二“S”曲线(qxin)模型 Logistic模型

3、的基本假设为:种群个体没有差异(chy),具有相同增长率,且相对增长率与剩余空间资源成正比;空间资源有限,具有一定的饱和值,且饱和值一直保持不变。则Logistic模型中种群相对增长率为 此式称为Logistic方程,相对增长率与种群数量x成线性关系（见图1）,其中常数r0为内秉增长率,它表示每个个体没有受到抑制时的最大增长率,反映了物种内在(nizi)的特性.k为空间饱和容量,当物种数量达到饱和容量值时,种群不再增长。种群增长率为（1 1）（2 2）增长率与x成二次关系（见图2）。第四页，共14页。方程（1）的积分(jfn)式为图形成“S”型（见图3）。（3 3）第五页，共14页。三 双“S

4、”曲线(qxin)模型 1.问题的提出 改进的Logistic模型仍然是在空间饱和容量k不变的前提下建立的,如果空间饱和容量发生变化,上述所有模型将不能准确刻画实际问题。现实世界中经常出现空间饱和容量不断变化的情况。例如:由于科技创新,人民生活水平不断提高,耐用消费品的饱和市场(可理解为空间饱和容量)会不断扩大;随着生产力的提高,人口饱和空间容量会不断扩大。在这种情况下用上述模型研究种群数量的变化,由于基本假设不符会出现较大偏差甚至错误的结果。空间饱和容量变化有两种情况:一种是跳跃式的突变,如一种商品已经接近饱和值但由于某时刻发生技术革新(jsh gxn),使得商品又进入了新的增长期;另一种是

5、连续渐进的空间饱和容量变化,例如在人口增长的过程中,生产力不断提高,人口的饱和容量亦随之不断地扩大,饱和容量的变化是伴随在群体发展过程中的。第六页，共14页。在种群发展曲线中广泛存在双“S”形曲线(见图4),它大概有两种成因,种群发展到饱和值后某个时刻空间饱和容量突变为另一个值,或者在种群发展过程中,空间饱和容量随之变化(binhu),最终种群变化(binhu)曲线展现为双“S”形。对于前一种情况,空间饱和容量变化(binhu)前后的曲线相对独立,可分别研究,但对于后者,曲线是一个整体,各段变化(binhu)密切相关,不能作为两段Logistic 曲线来研究。下面讨论研究此类双“S”形曲线模型

6、。第七页，共14页。2.双“S”模型的建立 对于Logistic曲线(qxin)(见图3),其微分形式是一个抛物线函数(见图2),其相对增长率的关系曲线(qxin)(见图1)为递减直线。用类比的思想,要生成积分曲线(qxin)为双“S”形(见图4),其微分曲线(qxin)应为M形(见图5),即有两个高峰增长点。M形的增长曲线(qxin)各点分别除以x值即得到了对应的关系曲线(qxin)(见图6)。由图可见,关系近似于三次多项式,这里考虑用多项式描述双“S”形曲线(qxin)的微分,记双“S”形曲线(qxin)模型相对增长率满足的方程为 式中r为内秉增长率,k为最终状态的空间饱和容量,b为种群第

7、一段S形曲线向第二段S形曲线转变时的空间饱和容量。a、c为控制曲线线态的参数。当a=0时微分方程即为Logistic方程。相应(xingyng)的增长率满足的方程为（4 4）（5 5）第八页，共14页。3.参数估算法 由于(4)的解为一隐式方程,用实际数据直接估计参数比较困难,本文按如下(rxi)方式估计参数。首先对原始数据进行差分处理,用中心差商近似代替导数,得出相对增长率的近似值,即（6 6）其中x t 为t时刻种群(zhn qn)数量，然后用最小二乘法估计(4)式中的参数r,k,a,b,c。得到各参数后,求解微分方程(5),从而得到各个时刻的x值。第九页，共14页。四 应用(yngyng

8、)实例 下面以1984 2003 重庆市涪陵区农村百户(bi h)家庭电视机拥有量为例,检验双S形曲线模型的拟合精度与预测准确度,并将双S形曲线模型与Logistic模型进行了比较第十页，共14页。对于双S形曲线模型的拟合采用前边介绍的差分拟合方法(fngf),所得的方程为：各年拟合数据见表1的第3列和第7列,拟合曲线(qxin)见图7,拟合误差为：（7 7）（8 8）第十一页，共14页。对于(duy)Logistic模型,由于x与t有显式的关系式(3),直接用最小二乘法拟合得到方程为各年拟合(n h)数据见表1 的第4 列和第8 列,拟合(n h)曲线见图8,拟合(n h)误差为（9）(10)(10)拟合结果表明对于空间(kngjin)饱和容量发生变化的情形,双S形曲线模型优于Logistic模型,能够更好地刻画问题,相对准确地预测未来趋势。第十二页，共14页。第十三页，共14页。第十四页，共14页。