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1、上页下页铃结束返回首页1.1.平面的方程平面的方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有 故5-3 空间中平面与直线的方程上页下页铃结束返回首页平面的点法式方程（平面的点法式方程（1）可以化成）可以化成 例例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：即即上页下页铃结束返回首页 补例补例 求过三点即解解 取该平面 的法向量为的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程上页下页铃结束返回首页例例2 已知一平面的方程为解解于是平面的一般方程平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x,y,z的一次方
2、程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来,可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面.方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程,其法线向量为n=(A,B,C).例如,方程3x-4y+z-9=0表示一个平面,n=(3,-4,1)是这平面的一个法线向量.上页下页铃结束返回首页 例例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程.解解 先在平面上任意选定一点，比如（-3，1，1）.则有平面的平面的三点式方程三点式方程已知不在同一直线上的三点与 不共线,即以 作为所求平面的法向量.设 是平面上任一点
3、,显然 垂直于此混合积的坐标形式为:上页下页铃结束返回首页例例4 设已知三点 求过该三点的平面方程.解解 所求的平面方程是上页下页铃结束返回首页特殊情形特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.上页下页铃结束返回首页解解:因平面通过因平面
4、通过 x 轴轴,设所求平面方程为设所求平面方程为代入已知点代入已知点得得化简化简,得所求平面方程得所求平面方程补例补例 求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.上页下页铃结束返回首页平面的截距式平面的截距式方程方程同理求得平面的截距式方程为例例6 x+2y+z-1=0表示的平面在x,y,z轴的截距分别是该平面在第一卦限内的部分如图.xyzo两平面的夹角 设平面1和2的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),那么平面1和2的夹角 应满足 两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互
5、相垂直的充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0.两平面垂直的条件 两平面平行的条件 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是 A1:A2=B1:B2=C1:C2.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:上页下页铃结束返回首页例例8 试决定常数试决定常数 与与 使得平面使得平面解解两平面垂直要求其向量垂直，即有两平面垂直要求其向量垂直，即有上页下页铃结束返回首页因此有因此有补例补例 一平面通过两点垂直于平面垂直于平面:x+y+z=0,求其方程求其方程.解解:设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为即
6、即的法向量的法向量约去约去C,得得即即和和则所求平面则所求平面故故方程为方程为 且且上页下页铃结束返回首页2.2.空间直线方程空间直线方程因此其一般式方程因此其一般式方程一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，直线可视为两平面交线，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上页下页铃结束返回首页例例9 联立方程表示平行于表示平行于yoz坐标面的平面坐标面的平面表示平行于表示平行于xoz坐标面的平面坐标面的平面的解是的解是(3,4,z),其图形是平面其图形是平面x-3=0与与y-4=0的交线，它的交线，它平行于平行于z轴轴.xyzo34上页下页铃结束返回首页代表平面y=5x
7、+1与平面y=x-3的交线.例10 联立方程 求通过点M0(x0,y0,z0),方向向量为s=(m,n,p)的直线的方程.(x-x0,y-y0,z-z0)/s,从而有这就是直线的方程,叫做直线的对称式方程对称式方程或或标准方程标准方程.则从M0到M的向量平行于方向向量:设M(x,y,z)为直线上的任一点,如果一个非零向量平行于一条已知直线如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线的方向向量这个向量就叫做这条直线的方向向量.方向向量方向向量 对称式方程对称式方程通过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)的直线方程:说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.直线
8、方程为例如,当直线方程为上页下页铃结束返回首页此方程组就是直线的参数方程直线的参数方程.参数式方程参数式方程:上页下页铃结束返回首页例例1 11 将一般方程解解 先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x=1,解方程组,得已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.化成标准方程及参数方程.上页下页铃结束返回首页故所给直线的标准方程为参数式方程为解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2),那么L1和L2的夹角j满足两直线垂直与平行的条
9、件 设有两直线 L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0;则方向向量分别为(m1,n1,p1)和(m2,n2,p2)的直线的夹角余弦:提示：直线与平面的夹角直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为90.设直线的方向向量为s=(m,n,p),平面的法线向量为n=(A,B,C),则直线与平面的夹角j 满足 方向向量为(m,n,p)的直线与法线向量为(A,B,C)的平面的夹角j 满足 直线与平面垂直和平行的条件直线与平面垂直和平行的条件 设直线L的方向向量为s=(m,n,p),平面 的法线向量为n=(
10、A,B,C),则 L/Am+Bn+Cp=0.上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体,称为平面束.平面束 考虑三元一次方程:A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.设直线L的一般方程为上页下页铃结束返回首页补例补例.求直线在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程.解解 过已知直线的平面束方程过已知直线的平面束方程从中从中选择选择得得这是投影平面这是投影平面即即使其与已知平面垂直：使其与已知平面垂直：从而得投影
11、直线方程从而得投影直线方程上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1.平面基本方程平面基本方程:一般式一般式点法式点法式截距式截距式三点式三点式上页下页铃结束返回首页2.平面与平面之间的关系平面与平面之间的关系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式:上页下页铃结束返回首页1.空间直线方程空间直线方程一般式一般式对称式对称式参数式参数式 内容小结内容小结 上页下页铃结束返回首页直线直线2.线与线的关系线与线的关系直线直线夹角公式夹角公式:上页下页铃结束返回首页平面平面 :L L/夹角公式：夹角公式：3.面与线间的关系面与线间的关系直线直线 L:习题习题5-3 2.3.7.8.10.12.13.15.
高等数学北大第二版53空间中平面及直线的方程
