现代控制理论第11讲

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1、现代控制理论第十一讲现代控制理论第十一讲139 传递函数矩阵的实现问题传递函数矩阵的实现问题问题：问题：对于某一给定的传递函数将有无穷多的状态空间对于某一给定的传递函数将有无穷多的状态空间表达式与之对应，即一个传递函数阵描述着无穷多个不表达式与之对应，即一个传递函数阵描述着无穷多个不同的系统结构，是否存在一个维数最小的实现？同的系统结构，是否存在一个维数最小的实现？2可以从模拟结构图中看出：可以从模拟结构图中看出：系统的输入系统的输入u和输出和输出y之间只存在一条唯一的单向控制通之间只存在一条唯一的单向控制通道，即道，即u B1 1C1 y。反映输入输出关系的传递函数阵只能反映系统中能控且能反

2、映输入输出关系的传递函数阵只能反映系统中能控且能观的子系统的动力学行为。观的子系统的动力学行为。也就是是说，传递函数阵只是对系统的一种不完全描述，也就是是说，传递函数阵只是对系统的一种不完全描述，如果在系统中添加（或去掉）不能控或不能观子系统，并如果在系统中添加（或去掉）不能控或不能观子系统，并不影响系统的传递函数。不影响系统的传递函数。结论：结论：对于某一给定的传递函数将有无穷多的状态空间表达对于某一给定的传递函数将有无穷多的状态空间表达式与之对应，其中仅包含能控且能观子系统的实现是维数式与之对应，其中仅包含能控且能观子系统的实现是维数最少的实现，也就是系统的最小实现。最少的实现，也就是系统

3、的最小实现。3一、实现问题的基本概念一、实现问题的基本概念对于给定传递函数阵对于给定传递函数阵W(S),若有状态空间表达式若有状态空间表达式 使成立，则称该状态空间表达式为传递函数阵成立，则称该状态空间表达式为传递函数阵W（S）的）的一个实现。一个实现。1、传递函数阵的实现的定义、传递函数阵的实现的定义2、传递函数阵的实现存在的条件、传递函数阵的实现存在的条件（1）传递函数阵中的每一个元）传递函数阵中的每一个元的分子分母多项式的系数均为实常数。的分子分母多项式的系数均为实常数。（2）传递函数阵中的元是）传递函数阵中的元是s的真有理分式，即的分的真有理分式，即的分子多项式的次数低于或等于分母多项

4、式的次数。子多项式的次数低于或等于分母多项式的次数。43、传递函数的实现形式、传递函数的实现形式 （1）当的分子多项式的次数低于分母多项式的次当的分子多项式的次数低于分母多项式的次数时其实现数时其实现具有（具有（A，B，C）的形式。）的形式。（2）当至少有一个元的分子多项式的次数等于分母多项式的次数时其实现具有（A，B，C，D）的形式。且4、传递函数阵的实现方法、传递函数阵的实现方法（1）根据物理可实现条件，对于其元不是严格的真有理式的传）根据物理可实现条件，对于其元不是严格的真有理式的传递函数阵，确定递函数阵，确定D阵。阵。（2）根据）根据W（S）D寻求形式为（寻求形式为（A，B，C）的实现

5、）的实现5二、能控标准型实现和能观标准型的实现二、能控标准型实现和能观标准型的实现1、传递函数阵、传递函数阵 m r的传递函数阵写成和单输入单输出系统的传递函数类的传递函数阵写成和单输入单输出系统的传递函数类似的形式：似的形式：2、传递函数阵的能控标准型实现、传递函数阵的能控标准型实现常数矩阵常数矩阵传递函数矩阵的特征多项式传递函数矩阵的特征多项式63、传递函数阵的能观标准型实现、传递函数阵的能观标准型实现零矩阵和单位矩阵零矩阵和单位矩阵r系统输入的维数系统输入的维数,这个实现的维数是这个实现的维数是nr维维n分母多项式的最高阶次，当分母多项式的最高阶次，当r=m=1时是单输入单输时是单输入单

6、输出的形式出的形式零矩阵和单位矩阵零矩阵和单位矩阵m系统输出的维数系统输出的维数,这个实现的维数是这个实现的维数是nm维维7【例【例3 31818】试求试求的能控标准型实现和能观标准型实现。的能控标准型实现和能观标准型实现。解：解：（1）W（S）化为严格的真有理式）化为严格的真有理式（2）将）将 写成写成s降幂排列的形式降幂排列的形式8（3）求）求i 和和i（4）将）将i 和和i代入，得到能控标准型的各系数阵代入，得到能控标准型的各系数阵9（5）将）将i 和和i代入，得到能观标准型的各系数阵代入，得到能观标准型的各系数阵10三、最小实现三、最小实现1、最小实现的定义、最小实现的定义传递函数传递

7、函数W（S）的一个实现）的一个实现如果如果W（S）不存在其它实现）不存在其它实现使使 的维数小于的维数小于 维数，则该式的实现为最小实现。维数，则该式的实现为最小实现。说明：说明：传递函数阵只能反映系统中能控且能观子系统的动力传递函数阵只能反映系统中能控且能观子系统的动力学行为，把系统中不能控或不能观的状态分量消去，将不会学行为，把系统中不能控或不能观的状态分量消去，将不会影响系统的传递函数阵。也就是说这些不能控或不能观状态影响系统的传递函数阵。也就是说这些不能控或不能观状态分量的存在将使系统成为不是最小实现。分量的存在将使系统成为不是最小实现。2、寻求最小实现的步骤、寻求最小实现的步骤传递函

8、数阵传递函数阵W（S）的一个实现）的一个实现为最小实现的充分必要条件是为最小实现的充分必要条件是（A，B，C）是能控且能观。）是能控且能观。11确定传递函数阵确定传递函数阵W（S）最小实现的一般步骤：）最小实现的一般步骤：（1）对给定传递函数阵）对给定传递函数阵W（S），初选出一种实现），初选出一种实现（A，B，C），一般选取能控标准型实现或能观标准型实现。），一般选取能控标准型实现或能观标准型实现。（2）对初选出的实现）对初选出的实现（A，B，C），找出其完全能控且），找出其完全能控且完全能观部分完全能观部分 ，于是这个完全能控且完全能观部，于是这个完全能控且完全能观部分就是传递函数阵分就是

9、传递函数阵W（S）的最小实现。）的最小实现。【例【例3 31919】试求传递函数矩阵试求传递函数矩阵的最小实现。的最小实现。解：解：1、初选出一种实现、初选出一种实现（A，B，C）（1）W（S）化为严格的真有理式）化为严格的真有理式（2）将）将 写成写成S降幂排列的形式降幂排列的形式12（3）求）求i 和和i（4）将）将i 和和i代入，得到能观标准型的各系数阵代入，得到能观标准型的各系数阵132、检验所求能观测实现、检验所求能观测实现=（A0，B0，C0）是否能控）是否能控3、=（A0，B0，C0）是能控且能观的，为最小实现）是能控且能观的，为最小实现解：解：1、初选出一种实现、初选出一种实现

10、（A，B，C）（1）W（S）化为严格的真有理式）化为严格的真有理式（2）将）将 写成写成s降幂排列的形式降幂排列的形式【例【例3 32020】试求下列传递函数阵的最小实现试求下列传递函数阵的最小实现14（3）求）求i 和和i（4）将）将i 和和i代入，得到能控标准型的各系数阵代入，得到能控标准型的各系数阵2、判别该能控标准型实现、判别该能控标准型实现=（A，B，C）是否完全能观）是否完全能观153、该能控标准型实现不是最小实现，按能观性进行结构分解、该能控标准型实现不是最小实现，按能观性进行结构分解（1）构造变换矩阵）构造变换矩阵R0-1，将系统按能观性分解，将系统按能观性分解（2）利用分块矩

11、阵的求逆公式，求）利用分块矩阵的求逆公式，求R016（3）求变换后各矩阵）求变换后各矩阵17（4）求出最小实现）求出最小实现是能控且能观子系统，是能控且能观子系统，W（S）的最小实现为：）的最小实现为：4、根据、根据 Am,Bm,Cm,D 求系统传递函数阵，检验所得结果求系统传递函数阵，检验所得结果18解法之二：解法之二：写出能观标准型，按能控性进行结构分解写出能观标准型，按能控性进行结构分解（1）写出能观标准型实现）写出能观标准型实现 =（A0，B0，C0）19（2）将）将=（A0，B0，C0）按能控性分解，求变换矩阵）按能控性分解，求变换矩阵Rc（3）求变换矩阵的逆矩阵）求变换矩阵的逆矩阵

12、20（4）求变换后各矩阵）求变换后各矩阵21（5）求出最小实现）求出最小实现是能控且能观子系统，是能控且能观子系统，W（S）的最小实现为：）的最小实现为：(6)根据根据 Am,Bm,Cm,D 求系统传递函数阵，检验所得结果求系统传递函数阵，检验所得结果22说明：（1）传递函数阵的实现不是唯一的。）传递函数阵的实现不是唯一的。（2）最小实现也不是唯一的，只是最小实现的维数是唯一的。）最小实现也不是唯一的，只是最小实现的维数是唯一的。（3）如果）如果 和和 是同一传递函数阵的是同一传递函数阵的两个最小实现，那么他们之间必存在状态变换：两个最小实现，那么他们之间必存在状态变换：使得：使得：23310

13、 传递函数中零极点对消与状态能传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系控性和能观性之间的关系、对于单输入、单输出和单输入单输出系统能控且能观、对于单输入、单输出和单输入单输出系统能控且能观的的充要条件充要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消；是其传递函数的分子分母间没有零极点对消；、对于多输入多输出系统能控且能观的、对于多输入多输出系统能控且能观的充分条件充分条件是其传是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。也即系统能控且能递函数的分子分母间没有零极点对消。也即系统能控且能观则传递函数的分子分母间没有零极点对消的情况，但传观则传递函数的分子分母间没有零极点对消的情况，但传递函数

14、的分子分母间出现有零极点对消的情况，系统也有递函数的分子分母间出现有零极点对消的情况，系统也有可能是能控且能观的。可能是能控且能观的。例：系统的传递函数矩阵为：例：系统的传递函数矩阵为：系统是不完全能控，或不完全能观，或既不完全能控系统是不完全能控，或不完全能观，或既不完全能控又不完全能观。又不完全能观。24能控不能观能控不能观不能控能观不能控能观不能控不能观不能控不能观25小结小结1、能控性和能观性的定义；、能控性和能观性的定义；、判别系统能控性和能观性的准则；、判别系统能控性和能观性的准则；3、能控性和能观性的对偶关系；、能控性和能观性的对偶关系；4、能控标准型能观标准型；、能控标准型能观标准型；5、不完全能控系统和不完全能观型的结构分解；、不完全能控系统和不完全能观型的结构分解；6、传递函数的最小实现。、传递函数的最小实现。作业：作业：26