控制系统的时域数学模型

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1、封面 2-1控制系统的时域数学模型1、 线 性 元 件 的 微 分 方 程2、 控 制 系 统 微 分 方 程 的 建 立3、 线 性 系 统 的 基 本 特 性4、 线 性 定 常 微 分 方 程 的 求 解5、 非 线 性 微 分 方 程 的 线 性 化 数 学 模 型 ： 描 述 系 统 输 入 ， 输 出 变 量 以 及 内 部 各 变 量 之 间 关 系 的 数 学 表 达式 。 静 态 数 学 模 型 ： 变 量 的 各 阶 导 数 为 0。动 态 数 学 模 型 ： 变 量 的 各 阶 导 数 不 为 0。 分 类动 态 数 学 模 型 微 分 方 程差 分 方 程状 态 方 程

2、传 递 函 数结 构 图频 率 特 性 时 域 中 常 用 频 域 中 用 复 数 域 中 用 建 立 数 学 模 型 的 方 法 ： 解 析 法 、 实 验 法 。 电 阻 、 电 容 、 电 感 (补 充 )RC L+ )(tui(t) u(t)= i (t)R)(tui(t) i(t)= dttduC )(u(t)= C1 i(t)dti(t)(tu+ u(t)= Ld i (t)dti(t)= dttuL )(1+ i(t)= Rtu )( 1、 线 性 元 件 的 微 分 方 程 RLC无 源 网 络 (P21),弹 簧 质 量 阻 尼 器 (P22) )t(u)t(Ridt)t)i

3、Cdt )t(diL i1 dt)t(iC)t(uo 1)t(u)t(udt )t(duRCdt )t(udLC iooo 22 m aF牛 顿 定 律 方 向 见 图外 力 ),t(F.1 相 反方 向 与比弹 簧 恢 复 力 与 位 移 成 正 )t(x),t(kx.2 相 反方 向 与成 正 比阻 尼 器 阻 力 与 位 移 速 度 )t(x,dt )t(dxf.3 22dt )t(xda 加 速 度22dt )t(xdmdt )t(dxf)t(kx)t(F )t(F)t(kxdt )t(dxfdt )t(xdm 22 电 枢 控 制 直 流 电 机 (P22)aaaaaa E)t(iR

4、dt )t(diL)t(u ：电 枢 回 路 电 压 平 衡 方 程电 枢 反 电 势 ： )t(CE mea 电 磁 转 矩 方 程 ： )t(iC)t(M amm ：电 机 轴 上 转 矩 平 衡 方 程 )t(M)t(M)t(fdt )t(dJ cmmmmm 电 机 轴 上 总 的 转 动 惯 量mJ 系 数电 机 轴 上 总 的 粘 性 摩 擦mf )t()CCfR(dt )t(d)JRfL(dt )t(dJL memmammamamma 22 )t(MRdt )t(dML)t(uC cacaam 可 得 下 式 ：忽 略 aL )t(MK)t(uK)t(dt )t(dT cammm

5、21 电 机 的 时 间 常 数mT 电 机 的 传 递 系 数1K 减 速 器 (P23)两 个 啮 合 齿 轮 的 线 速 度 相 同 ， 传 送 的 功 率 相 同 2211 rr2211 MM 2121 ZZrr 齿 数 与 半 径 成 正 比 12ZZi 速 比为 输 出 的 微 分 方 程 ：为 输 入以 21 , )t(i)t(ZZ)t( 11212 1 （ 1） 确 定 系 统 的 输 入 变 量 和 输 出 变 量 。2、 控 制 系 统 微 分 方 程 的 建 立 一 个 系 统 通 常 是 由 一 些 环 节 连 接 而 成的 ， 将 系 统 中 的 每 个 环 节 的

6、微 分 方 程 求 出来 ， 便 可 求 出 整 个 系 统 的 微 分 方 程 。列 写 系 统 微 分 方 程 的 一 般 步 骤 ： 根 据 各 环 节 所 遵 循 的 基 本 物 理 规 律 ， 分别 列 写 出 相 应 的 微 分 方 程 ， 并 构 成 微 分 方程 组 。（ 2） 建 立 初 始 微 分 方 程 组 。 将 与 输 入 量 有 关 的 项 写 在 方 程 式 等 号 右边 ， 与 输 出 量 有 关 的 项 写 在 等 号 的 左 边 。（ 3） 消 除 中 间 变 量 ， 将 式 子 标 准 化 。 uiR1 负载SMTGk1 k2 功放u2u1 ua utcR

7、2 R1R1 R+ meti uk)uu(ku: 1111 运 放 )udtdu(ku: 11222 运 放 23: ukua 功 放 ccammmm MkukdtdT: 直 流 电 机mi: 1齿 轮 系 tt ku:测 速 发 电 机 ccigigm MkukdtdukdtdT 负 载 扰 动 力 矩cM 位 置 随 动 系 统 原 理 图 (补 充 )W 1 负 载W2ur ucu 放 大 器 电 机 减速器测 速 电 机uut ua操 纵 手 柄r m cm c r +_+_ SMTG J L fLW1 W2Eu ut u ua Ra Laif Z1Z2放 大 器操 纵 手 柄 测 速

8、 电 机 电 机 负 载电 位 器 对 减 速 器r c方 块 图 的 绘 制 W1 W2 +_+_ SMTG J L fLEu ut u ua Ra Laif Z1Z2放 大 器 mcr r c)()()( max tktEtu ccc )()()( tututu cr dt tdktu mtt )()( )()( ttk cr )()( tuktu aa )()()(22 tukdt tddt tdT ammmm )(1)( tit mc )()()( max tktEtu rrr 位 置 随 动 系 统 结 构 图 绘 制 )()()( tututu t u操 纵 手 柄 W1 JLfL

9、W2ur uc 放 大 器 电 机 减速器测 速 电 机ut ua m cr 3、 线 性 系 统 的 基 本 特 性叠 加 性 和 均 匀 性 （ 或 齐 次 性 ） 对 线 性 系 统 进 行 分 析 和 设 计 时 ， 如 果 有 几 个 外 作 用 同 时 加 于 系 统 ，则 可 以 将 它 们 分 别 处 理 ， 依 次 求 出 各 个 外 作 用 单 独 加 入 时 系 统 的 输 出 ，然 后 将 它 们 叠 加 。 4、 线 性 微 分 方 程 的 求 解方 法 解 析 法拉 普 拉 斯 变 换步 骤 ：1、 将 系 统 微 分 方 程 进 行 拉 氏 变 换 ， 得 到 以

10、 s为 变 量 的 代 数 方 程 。2、 解 变 换 方 程 ， 求 出 系 统 输 出 变 量 的 象 函 数 表 达 式 。3、 将 输 出 的 象 函 数 表 达 式 展 开 成 部 分 分 式 。4、 对 部 分 分 式 进 行 拉 氏 反 变 换 ， 即 得 微 分 方 程 的 全 解 。 r(t) =(t), c(0) = c(0) = 0 + 2c (t) = r(t) +2d2c(t)dt2 dc(t)dt 用 一 个 例 子 来 说 明 采 用 拉 氏 变 换 法解 线 性 定 常 微 分 方 程 的 方 法 。4、 线 性 微 分 方 程 式 的 求 解例 已 知 系 统

11、 的 微 分 方 程 式 ， 求 系 统 的 输 出 响 应 。解 ： 将 方 程 两 边 求 拉 氏 变 换 得 ：求 拉 氏 反 变 换 得 ：s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s) R(s) = 1 C (s) = s2 + 2s +21 =(s+1)2 + 11c(t) = e t sin t 输 出 响 应 曲 线 c(t)r(t)r(t) t0 c(t) 5、 非 线 性 微 分 方 程 的 线 性 化 绝 大 多 数 物 理 系 统 在 参 数 某 些 范 围内 呈 现 出 线 性 特 性 。 当 参 数 范 围 不 加 限制 时 ， 所 有 的 物 理 系

12、 统 都 是 非 线 性 的 。 对 每 个 系 统 都 应 研 究 其 线 性 特 性 和 相应 的 线 性 工 作 范 围 。 线 性 系 统 具 有 叠 加 性 和 齐 次 性 。 叠 加 性 ： x1(t) y1(t)x2(t)则 y2(t)x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t) y=x2 二 阶 系 统 是 非 线 性 的因 为 它 不 满 足 叠 加 性齐 次 性 ： 为 常 数 x(t) y(t)则 x(t) y(t) y=mx+b 系 统 也 不 是 线 性 的 ， 因 为 它 不 满足 齐 次 性 。 y=mx+b 对 在 工 作 点 (x0,y0)附 近 作 小 范

13、 围变 化 的 变 量 x和 y而 言 ， 则 是 线 性 的 。非 线 性 系 统 设又 则 x=x0+ x y=y0+ yy0=mx0+by0+ y=y=mx+b =mx 0+m x+b y=m x 大 部 分 非 线 性 系 统 在 一 定 的 条 件 下可 近 似 看 成 线 性 系 统 。 y(t)=gx(t)线 性 化 ：设 非 线 性 元 件 为 :系 统 的 正 常 工 作 点 为 x0 有 条 件 地 把 非 线 性 数 学 模 型近 似 处 理 成 线 性 数 学 模 型 。 若 非 线 性 函 数 连 续 ， 且 各 阶 导 数 存在 ， 可 在 工 作 点 附 近 按

14、泰 勒 级 数 展 开 .=g(x0)+ +dgdx x=x0 d2gdx2 x=x0(x-x0)22!x-x01! 当 (x- x0)小 范 围 波 动 时 ， 略 去 高 于一 次 的 小 增 量 项 ， 方 程 可 简 化 为 ： y(t)=g(x0)+ dgdx x=x0(x-x0)=y0+m(x-x0) m为 工 作 点 处 的 斜 率 。 最 后 可 改 写成 下 列 线 性 方 程 ： y=m x(y-y0)=m(x-x0)或 非 线 性 系 统 的 线 性 化 步 骤1） 写 出 原 始 方 程2） 将 非 线 性 函 数 线 性 化 ， 并 将 增 量 符 号 略 去 ， 可

15、 得 非 线 性 函 数 的 增量 线 性 化 方 程 。3） 将 非 线 性 函 数 的 增 量 线 性 化 方 程 代 入 原 始 方 程 。 解 ： 按 泰 勒 级 数 展 开 为 dh(t)dt h(t)+a =qi(t)Adh(t) 1= qi(t)dt Ah(t)2A+ a h0d+ dh h0h0=h(t) h d2dh22! +1 h0(h-h0)+ h (h-h0)2略 去 高 于 一 次 的 增 量 项 得 h2+ 1h0= h0 hd+ dh h0h0=h(t) hy(t)= h(t)h2 1y(t) 0为：线性化 处 理非 线 性 函 数 例 将 液 位 控 制 系 统

16、 非 线 性 微 分 方 程 线 性 化 . 线 性 化 处 理 中 应 注 意 以 下 几 点 ：（ 1） 必 须 确 定 系 统 处 于 平 衡 状 态 时 各 部 件 的 工 作 点 ， 在 不 同 的 工 作 点 ， 非 线 性 曲 线 的 斜 率 是 不 同 的 。（ 2） 线 性 化 是 以 直 线 代 替 曲 线 ， 略 去 了 式 中 二 阶 以 上 项 ， 如 果 系 统 工 作 范 围 较 大 ， 将 带 来 较 大 误 差 ， 所 以 非 线 性 数 学 模 型 的 线 性 化 是 有 条 件 的 。（ 3） 对 于 某 些 典 型 非 线 性 系 统 ， 其 非 线 性 特 性 是 不 连 续 的 ， 在 不 连 续 点 附 近 不 能 得 出 收 敛 的 泰 勒 级 数 ， 因 而 就 不 能 进 行 线 性 化 ， 只 能 采 用 非 线 性 理 论 进 行 分 析 处 理 。 典 型 非 线 性 系 统 输 出0 输 入近 似 特 性 曲线(a)饱 和 非 线 性 真 实 特 性 曲线 输 出0 输 入(b)死 区 非 线 性 输 出0 输 入(c)间 隙 非 线 性 输 出0 输 入(d)继 电 非 线 性