三角函数知识点归纳(二)

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1、三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角正角 : 按逆时针方向旋转形成的角任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角按终边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为k360ok 360o90o, k第二象限角的集合为k360o90ok 360o180o, k第三象限角的集合为k360o180ok360o270o, k第四象限角的集合为k360o270ok 360o360o, k终边在 x 轴上的角的集合为k 180

2、o, k终边在 y 轴上的角的集合为k180o90o, k终边在坐标轴上的角的集合为k 90o ,k(2)终边与角 相同的角可写成 k360 (k Z)终边与角 相同的角的集合为k 360o, k(3)弧度制 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角弧度与角度的换算：360 2弧度； 180 弧度 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l，则角的弧度数的绝对值是lr 若扇形的圆心角为为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1lr1r 2 222 任意角的三角函数定义设 是一个任意角，角的终边上任意一点P(x， y)，它

3、与原点的距离为 r rx2y2 ，那么角 的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin y， cos x， tan y正切、四余弦）3特殊角的三角函数值1角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0 /6/4 /3 /22 /33 /45/63 /22sina01/2 2/2 3/21 3/2 2/21/20-10cosa1 3/2 2/21/20-1/2- 2/2- 3/2-101tana0 3/31 3- 3-1- 3/300二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A. 基础梳理1同角三角函数的基本关系(1)

4、平方关系： sin2 cos2 1；（ 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin (2)商数关系： tan . （ 3）倒数关系： tan cot 1 cos 2诱导公式公式一： sin( 2k)sin ， cos( 2k)cos_， tan(2k )tan其中 kZ .公式二： sin( ) sin_， cos( ) cos_， tan( ) tan .公式三： sin( ) sin ， cos( ) cos_， tantan公式四： sin( ) sin_， cos( ) cos_， tantan .公式五： sin cos_， cos sin .22公式六： s

5、in 2 cos_， cos2 sin_.口诀：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指诱导公式可概括为 k 的各三角函数值的化简公式的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把看成锐角 时，根据 k 在哪个象限判断原 三角 函数值的符号，最后作为结2果符号B. 方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin (1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦cos (2)和积转换法：利用 (sin cos )21 2si

6、n cos 的关系进行变形、转化（ sincos、 sincos、 sincos三个式子知一可求二）2(3)巧用 “1”的变换： 1 sin2 cos2= sintan42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcosa tanbakbm sinn cosm tannmkn三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如ysin x 与 ycosx 的周期是）。3 会判断三角函数奇偶性4 会求三角函数单调区间5 知道三角函数图像的对称中心，对称轴6 知道 yAsin(x) ， yA cos(x) ， yA tan(

7、x) 的简单性质（一）知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数ysin x 和余弦函数ycos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0，, 3,2的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。22y=sinxy-5- 22-4 -7 -3-2 -3 -22y=cosx-3-5- 22-2-4-7-32213722o2534-122y133722o254-122xx2、正弦函数 ysin x(xR) 、余弦函数 ycos x( xR) 的性质 ：（ 1）定义域 ：都是 R。（ 2）值域 ：都是1,1 ，对 ysin x ，当 x2kkZ

8、时， y 取最大值 1；当 x3kZ 时， y 取最小值 1；2k22对 ycos x ，当 x2k kZ时， y 取最大值1，当 x2kkZ时， y 取最小值 1。（ 3）周期性 ： ysin x ， ycos x 的最小正周期都是2；（ 4）奇偶性与对称性 ： 正弦函数 ysin x( xR) 是奇函数，对称中心是k,0kZ，对称轴是直线 xkkZ；2 余弦函数 ycos x( xR) 是偶函数，对称中心是k,0kZ ，对称轴是直线x kkZ；（正 ( 余 )2弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。（ 5）单调性 ：3ysin x在2k,2

9、kkZ上单调递增，在22k , 32kk Z 单调递减；222ycosx 在2k,2 kkZ上单调递增 ,在2k,2 kkZ 上单调递减。 特别提醒 ，别忘了 kZ ！3、正切函数 y tan x 的图象和性质 ：（ 1）定义域： x | x2k, kZ 。（ 2）值域是 R，无最大值也无最小值；（ 3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是k ,0kZ，特别提醒 ：正 ( 余)切型函数的对称中心有两类：一2类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（ 4）单调性：正切函数在开区间k ,kkZ 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调

10、性。224、正弦、余弦、正切函数的图像和性质函性数ysin xycos xytan x质图象定义域RRx xk, k2值域1,11,1R当 x2kk时， 当 x2k k时，2最值ymax1；当 x2kymax1；当 x2k既无最大值也无最小值2k时， ymin1k时， ymin1周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数在 2k, 2k22在 2k,2 kk上是k上是增函数；在在 k, k2单调性增函数；在 2k,2 k22k, 2k3kk上是增函数2上是减函数2k 上是减函数4对称中心 k ,0k对称中心k,0k对称中心 k2,0 k对称性对称轴 x kk22对称轴 x kk无对称轴5、研究函数yA

11、sin(x) 性质的方法：类比于研究ysin x 的性质 ，只需将yAsin(x) 中的x看成 y sin x 中的 x 。函数 y Asin （x）（A 0， 0）的性质。（ 1）定义域： R（ 2）值域： -A, A（ 3）周期性： T2| f ( x)Asin(x) 和 f ( x) A cos(x) 的最小正周期都是2。T| f ( x)Atan(x) 的最小正周期都是 T|。|（ 4）单调性：函数yAsin （ x ）（ A 0， 0）的单调增区间可由2k x 2k， k z 解得；22单调减区间可由2k x 2k 3， k z 解得。22在求 y Asin(x) 的单调区间时，要特

12、别注意A 和 的符号，通过诱导公式先将化正。如函数 ysin(2x) 的递减区间是 _3（答：解 析 ： y=， 所 以 求y的 递 减 区 间 即 是 求的递增区间，由得，所以 y 的递减区间是四、函数 y Asinx的图像和三角函数模型的简单应用一、知识要点1、 几个物理量 ： 振幅：； 周期：2 ； 频率： f12； 相位：x； 初相：2、 函数 yA sin(x) 表达式的确定 ： A 由最值确定；由图象上的特殊点确定 .由周期确定；函 数 ysin x， 当 xx1 时 ， 取 得 最 小 值 为 ymin； 当 xx2 时 ， 取 得 最 大 值 为 ymax， 则1ymaxymi

13、n1 ymaxyminx2 x1x1x22，2， 2、函数 yA sin(x) 图象的画法 ：“五点法”设Xx，令X，, ,3求出相应的x 值，30,2225计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数 y sinx 的图象经变换可得到yAsinx0 的图象左（右）sinx纵坐标y横坐标sinx平移伸（缩） A 倍y伸（缩） 1 倍纵坐标yAsin x左（右）伸（缩） A 倍平移横坐标ysinx纵坐标1伸 (缩 )倍伸（缩） A 倍yAsinx左（右） yy=sin xsinx纵坐标Asinx横坐标y=sinx平移伸（缩） A 倍 y倍伸（缩）横坐标yA s

14、in左（右）x纵坐标yA sin x伸（缩） 1倍平移伸（缩） A 倍y=sinx左（右）yA sin x横坐标平移伸（缩） 1倍5、函数 yAsin(x) b 的图象与 y sin x 图象间的关系 ：函数 y sin x 的图象向左（0）或向右（0）平移 | | 个单位得 y sinx的图象；函数ysin x图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1 ，得到函数 ysinx的图象；函数ysinx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数yA sin(x) 的图象；函数yAsin(x) 图象向上（ b0 ）或向下（ b0 ）平移 | b | 个单位，得到yAsinxb 的图象。要特别注意 ，

15、若由 ysinx得到 y sinx的图象，则向左或向右平移应平移| 个单位，如要得到函数 y sin( 2x ) 的图象，只需将函数ysin2x 的图象 ()3(A) 向左平移 个单位(B) 向右平移 个单位33(C) 向左平移6个单位(D) 向右平移 6个单位6、函数 y Acos（x ）和 y=Atan （ x ）的性质和图象的变换与y Asin （ x ）类似。三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： coscoscossinsin； coscoscossinsin sinsincoscossin； sinsincoscossin tantantan（ tan tantan1

16、tantan1tantan；）；6 tantantan（ tantantan1 tantan）1tantan如 tan 20otan 40o3 tan 20otan 40o；（答案：3）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin22sincos 1 sin 2sin 2cos22sincos(sincos) 25255如 cos2 cos12 cos12的值等于；（答案： 4）12cos12 cos2cos2sin22cos211 2sin2升幂公式 1cos 22cos 2,1cos22sin 2降幂公式 cos21cos 2， sin21 cos222 tan 22 tan1 tan 23

17、、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：asinbcosa2b2 sin，其中 tanb a4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法常用的方法技巧如下：（ 1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如： 2是的二倍；4 是 2的二倍；是的二倍；是的二倍；224 15o45o30 o60o45o ；问： sin； cos12；12()；() ； 2() () () () ；等等 .42444如 1 tan2 ,

18、 tan41 ,则 tan4.（答案： 3）54222若 cos( ) 443 2，则 cos2 _， cos2 _.5，cos( ) 5，且 2 ， 27（答案： 25 ， 1）sincos2；（答案：13 已知1,tan, 则 tan2）1cos 238（ 2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一） 。如 sin 50 o (13 tan10o )；1o3o解析：原式ocos10o3 sin10osin50o22cos102sin10sin50o2sin 30o 10o2sin 40o cos40osin

19、80o= sin 50oooooo1cos10cos10cos10cos10cos10cos10（ 3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：1sin 2cos2sin90 otan 45o（ 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式7有 ：；。 有 时 需 要 升 幂 ， 常 用 升 幂 公 式有：；.如对无理式1cos常用升幂化为有理式.（ 5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如： coscossinsin= _ ； sincoscossin= _ ；tantan_ ； 1tantan_ ；tantan_ ； 1tantan_ ；sincos_ ； 2sincos_ ；22cos2sin2_；2cos21_；2sin 21_；1cos； 1cos；2tan； 1tan 2；asinb cos；（其中 tan；）（ 6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。8