省优获奖ppt课件13二次函数的性质

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1、函数 y=ax2+bx+c基本性质回顾二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像是一条抛物线的图像是一条抛物线，xy02-2-22-4yx0246-22-44y=2x24x6y=0.75x2+3xy=0.5x22x1.5观察下列二次函数图像：观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点（或最低点）顶点是抛物线上的最高点（或最低点）yx0246-22-44y=2x24x6y=0.5x22x1.5问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？你还能发现：你还能发现：这些函数是否存在最大值或这些函数是否存在最大值或最小值，它是由解

2、析式最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c（a0）中的那一个系中的那一个系数决定的吗？数决定的吗？a二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下,y随着随着x的增大而减小的增大而减小

3、.,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.根据图形填表：根据图形填表：例：已知函数已知函数y=0.5x27x7.5(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像；坐标，并画出函数的大致图像；例题探究解解：（：（1）a=0.5,b=7,c=7.5;20 xy10O10103051020 155(7，32)(15，0)(1，0)所以函数所以函数y=0.5x27x7.5的大致图像的大致图像如图：如图：自变量自变量x在什么范围内时，在什么范

4、围内时，y随随x 的增大而增大？何时的增大而增大？何时y 随随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。解：解：由右图可知，由右图可知，当当x7时，时，y随随x 的增大而增大；的增大而增大；当当x7 时，时，y 随随x的增大而减小；的增大而减小；当当x7时，函数有最大值时，函数有最大值32。(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积?（4）根据图象，说）根据图象，说 出出 x 取哪些值时，取哪些值时，y=0;y0.当当-15x1时时当当x=-15或或x=1时时当当x-15或或x 1时时已知函数已知函数y=x23x4

5、.求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的称轴，并画出函数的大致大致图像；图像；解：解：y=x23x4(x1.5)26.25,图象顶点坐标为图象顶点坐标为(1.5,6.25);又当又当y=0时，时，得得x23x40的解为：的解为：x11，x24。则与则与x轴的交点为轴的交点为(1,0)和和(4,0)与与y轴的交点为轴的交点为(0,4)(1,0)(1.5,6.25)(0,4)(4,0)x=1.5Oyx(,y2)(,y3)(3.5,y1)记当记当x1=3.5,x2=,x3=时对应的函数值分别时对应的函数值分别为为y1,y2,y3,试

6、比较试比较y1,y2,y3的大小的大小?(1,0)(1.5,6.25)(0,4)(4,0)x=1.5Oyx(,y3)(3.5,y1)如右图可知如右图可知:y2 y1 y3课内练习1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：自变量的值：y=2x28x1；y=3x25x12、二次函数、二次函数y=x2bx+9的图象顶点在的图象顶点在X轴上，轴上，那么那么b等于多少？等于多少？想一想 如果二次函数二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴的两个交点的轴的两个交点的 坐标坐标为为（x1，0）和和（x2，0）方程ax2+bx+c0(a0)

7、的解与二次函数的解与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的坐标有什么关系？轴交点的坐标有什么关系？那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c0(a0)的两个根方程ax2+bx+c0(a0)的的解解就是就是 函数函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的轴交点的 坐标坐标。横横可以发现：二次函数可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的轴交点的 存在性存在性与与 方程ax2+bx+c0(a0)的的解解是否存在是否存在有关。有关。归纳与探究那么，进一步推想方程ax2+bx+c0(a0)解解的的存存在性在性又与什么有关呢？

8、又与什么有关呢？b2 4ac的正负性有关。的正负性有关。故而：故而：当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴有轴有 交点；交点；当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴只有轴只有 交点；交点；当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴轴 交点。交点。0 两个两个0 一个一个0 没有没有 y=2X-X-1 y=4X2+4X+1 y=3X2+2X+51、抛物线与、抛物线与x轴轴的交点的个数：的交点的个数：2个个1个个0个个b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac02、抛物线、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（与坐标轴的交点个数为（）（A）0个个 （B）1个个 （C）2个个

9、（D）3个个D二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象如图所示，则如图所示，则a_0，b_0，c_0yxob -4ac_02、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（）A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个Dx-110y1、抛物线、抛物线y=ax2+bx(a0)的顶点在第二象限，的顶点在第二象限，则则a_0，b_0.2、二次函数、二次函数y=ax2+bx ，当，当a0，b0时，它时，它的图象经过的图象经过_象限。象限。已知抛物线已知抛物线

10、y=x2-2x+m的函数值恒大于零，的函数值恒大于零，求求m的取值范围的取值范围.大家应该很好的利用大家应该很好的利用二次二次函数图像函数图像给我们的启迪，给我们的启迪，来解决诸多问题！来解决诸多问题！已知某抛物线的对称轴是直线已知某抛物线的对称轴是直线x=1，该抛，该抛物线上最低点的纵坐标是物线上最低点的纵坐标是-1，且抛物线，且抛物线经过（经过（0，1），求该抛物线的解析式），求该抛物线的解析式.拓展与实践3.05米米4米米?2.25米米oxy球运动路线的函数解析式和球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；自变量的取值范围；球在运动中离地面的最大高度球在运动中离地面的最大高度。篮球运动员

11、投篮时，球运动的路线为抛物线的一部篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求：。求：2.52a+k=2.25(42.5)2a+k=3.05则：则：a=0.2,k=3.5解解:设函数解析式为设函数解析式为:y=a(x2.5)2+k,根据题意，得：根据题意，得：解析式为解析式为:y=0.2x2+x+2.25,自变量自变量x的取值范围为：的取值范围为：0 x4.球在运动中离地面的最大高度球在运动中离地面的最大高度 为为3.5米米。一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。物线。

12、（1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。值范围。（2）铅球的落地点离运动员有多远？）铅球的落地点离运动员有多远？y(m)x(m)o(0,1.5)(4,3)4.44.4两个三角形相似的判定两个三角形相似的判定 2、三角形的中位线、三角形的中位线截得的三角形截得的三角形与与原三原三角形角形是否相似？是否相似？相似比是多少？相似比是多少？1、相似三角形的定义？、相似三角形的定义？ABCDE三角三角对应相等对应相等,三边三边对应成比例对应成比例的两个三角形的两个三角形叫做叫做相似三角形相似三角形.ABCDEABCDEABCDE结论：结论：平行于三

13、角形一边的直线和其他两边（或两边的延平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。如图在如图在ABC中中,点点D,E分别分别在在AB,AC上上,且且DE/BC,则则ADE与与ABC相似吗相似吗?(1)议一议议一议:这两个三角形这两个三角形的三个内角是否对应相等的三个内角是否对应相等?(2)量一量：量一量：这两个三角形的这两个三角形的边长边长,它们是否对应成比例它们是否对应成比例?(3)平行移动平行移动DE的位置再试一试的位置再试一试.平行于三角形一边的直线和其平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交

14、，他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。所构成的三角形与原三角形相似。相似三角形的预备定理DE/BC几何语言叙述：几何语言叙述：ADEABCABCDEABCDE如图如图,已知已知DE BC,DF AC,请尽可能多地找出图中的相请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。似三角形，并说明理由。ABCDFEABC 如图如图 ABC 和和 ABC中中,A=A,B=B .问问ABC与与ABC是否相似是否相似?ABCACC/B/BA/如如果果一一个个三三角角形形的的两两个个角角与与另另一一个个三三角角形形的的两两个角对应相等，那么这两个三角形相似。个角对应相等，那么这两个三角形相

15、似。已知：在已知：在ABC 和和A/B/C/中中,求证求证:ABC A/B/C/,BBAA=证明：在证明：在ABC的边的边AB、AC上，分别截取上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结连结DE。ABCA/C/B/D E AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/A DE A/B/C/，ADE=B/，又又 B/=B，ADE=B，DE/BC，ADEABC。A/B/C/ABC A DE A/B/C/，AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/A DE A/B/C/，ADE=B/，又又 B/=B，ADE=B，判定定理判定定理1 1：有有两个角对应相等的两个三角形相似。角对应相等的两个三角形相似。可

16、以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。例例1 1、已知：、已知：ABCABC和和DEFDEF中，中，A=40A=400 0，B=80B=800 0，E=80E=800 0，F=60F=600 0。求证：。求证：ABCDEFABCDEF 证明：证明：在在ABCABC中中,A=40,A=400 0，B=80B=800 0，C=180C=1800 0A A B B60600 0 在在DEFDEF中，中，E=80E=800 0，F=60F=600 0 B=E B=E，C=FC=F ABCDEF ABCDEFC CB BA AD DF FE E（两角对应相等，两三角形相似）

17、（两角对应相等，两三角形相似）1 1、如图：已知，在、如图：已知，在ABCABC中，其中中，其中ADE=CADE=C，求证：求证：ABCADEABCADE，A AE ED DC CB B证明：在证明：在ABC ABC 和和ADEADE，A=AA=AADE=CADE=C，ABCADEABCADE)(练一练练一练（三角形相似判定定理（三角形相似判定定理1 1）2 2、如图，已知在、如图，已知在ABCABC中，中，P P是是ABAB上的一点，连接上的一点，连接CPCP，使得，使得ACP=BACP=B，求证：求证：ACPABCACPABC证明：在证明：在ACP ACP 和和ABCABC中中A=AA=A

18、ACP=BACP=B，ACPABCACPABCA AB BC CP P)(（三角形相似判定定理（三角形相似判定定理1 1）ABCDP已知已知:在圆在圆O O中中,弦弦ACAC和弦和弦BDBD相交于点相交于点P.P.(1)(1)求证：求证：APDBCP.APDBCP.（2 2）求证：求证：PAPAPC=PBPC=PBPDPDO(3)(3)如图，若如图，若ACAC为直径，为直径，弦弦BDACBDAC于于P P，OCOC交交ABAB 于于D D，BDBD=6cm=6cm，APAP=1cm.=1cm.求求OO的半径的半径.ADBCOP 例例2在一次数学活动课上，为了测量河宽在一次数学活动课上，为了测量

19、河宽AB，张杰采用了如下的，张杰采用了如下的方法（如图）从方法（如图）从A处沿与处沿与AB垂直的直线方向走垂直的直线方向走40米到达米到达C处，插处，插一根标竿，然后沿同方向继续走一根标竿，然后沿同方向继续走15米到达米到达D处，再向右转处，再向右转90度走度走到到E处，使处，使B、C、E三点恰好在一条直线上，量得三点恰好在一条直线上，量得DE20米，这米，这样就可以求出河宽样就可以求出河宽AB，请你算出结果（要求写出解题过程）。，请你算出结果（要求写出解题过程）。ABDCEABDEO方法二方法二方法一方法一CDFCABD 求证：求证：(1)ABCCBDACD已知：已知：Rt ABC中，中，A

20、CB90，CD AB .此结论可以称为此结论可以称为“母子相似定理母子相似定理母子相似定理母子相似定理”,今后可以直接使用今后可以直接使用.（3）若）若BC=4,DB=3,求求AB的长。的长。2 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AB=12AB=12，AC=10AC=10，点，点D D、E E分别是分别是边边ABAB、ACAC上的点，上的点，AD=6AD=6，连结，连结DEDE，当，当AEAE的长具备怎样的长具备怎样的条件时，的条件时，ADEADE与与ABCABC相似？相似？A AB BC CDEA AB BC CD DE E做一做做一做预备定理：预备定理：平行于三角形一边的直线和其他

21、两边平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。通过今天的学习通过今天的学习,我们已经有几种方法可以证明两个三角我们已经有几种方法可以证明两个三角形相似形相似?利用定义利用定义:(涉及条件太多涉及条件太多,一般不一般不选用选用)相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理1 1：两角对应相等，两三角两角对应相等，两三角形相似形相似母子相似定理：母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。两个直角三角形和原三角形相似。1、已知：如图，在、已知：如图，

22、在ABC中，中，AD、BE分别是分别是BC、AC上的高，上的高，AD、BE相交于点相交于点F。（2）图中还有与）图中还有与AEF相似的三角形吗？请一一写出相似的三角形吗？请一一写出。（1）求证：）求证：AEFADC；ABCDEFAFEDC答答:有有AEFADCBECBDF.B BC CD DA AE EF F2.已知：如图，在梯形已知：如图，在梯形ABCD中，中，AD/EF/BC,AD=5，EF=14，DF:FC=3:2.求求BC的长的长3 3、如图，等腰三角形、如图，等腰三角形ABCABC的顶角的顶角A=36A=360 0，BDBD是是ABCABC的平分线，判断点的平分线，判断点D D是不是线段是不是线段ACAC的黄金分割点，并的黄金分割点，并说明理由。说明理由。A AB BC CD D4.已知，在梯形已知，在梯形ABCD中，中，AD平行与平行与BC，AB=DC=AD=6，ABC=60度，点度，点E.F分别在线段分别在线段AD.DC上（点上（点E与与AD不重合），且不重合），且BEF=120度，度，设设AE=x,DF=y.（1）求与的函数表达式。）求与的函数表达式。（2）当）当x为何值时，为何值时，y有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？