T前向差分变换变换对系统性能的影响

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1、TT前向差分变换变换前向差分变换变换对系统性能的影响对系统性能的影响教学单元教学单元2连续控制器的离散化方法连续控制器的离散化方法u z 变换法变换法 u 差分变换法差分变换法u 双线性变换法双线性变换法 u 零极点匹配法零极点匹配法 连连续续控控制制器器的的离离散散化化求求连连续续控控制制器器传传递递函函数数D(s)的的等等效离散传递函数效离散传递函数D(z)。离离散散化化的的基基本本原原则则保保证证D(z)与与D(s)具具有有相相同同或或相相近近的的动态性能和频率特性。动态性能和频率特性。2.1 2.1 z z 变换法变换法变换法变换法控制器的输入控制器的输入数字控制器算法数字控制器算法u

2、 z变换法的特点变换法的特点（1）形式简单、直观，这种变换方法符合）形式简单、直观，这种变换方法符合z变换的定义，变换的定义，通过通过z变换直接得数字控制器。变换直接得数字控制器。直接用直接用z 变换，由模拟控制器求数字控制器变换，由模拟控制器求数字控制器符合符合z变换定义变换定义z变换的频率映射关系变换的频率映射关系（2）若）若D(s)稳定，则稳定，则D(z)也稳定，而且变换前后频率不会也稳定，而且变换前后频率不会发生畸变。发生畸变。u z变换法的特点变换法的特点（3）产产生生频频率率混混叠叠将将s平平面面上上角角频频率率以以采采样样角角频频率率为为周周期期的的所所有有信信号号，都都重重叠叠

3、地地映映射射到到z平平面面上上同同一一频频率率点点的信号。的信号。u z变换法的特点变换法的特点s平面角频率平面角频率 与与z平面角频率平面角频率 之间的关系为：之间的关系为：按按z变换定义变换定义（3）频率混叠现象）频率混叠现象u z变换法的特点变换法的特点虚轴虚轴单位圆单位圆左半平面左半平面单位圆内单位圆内右半平面右半平面单位圆外单位圆外（3）频率混叠现象）频率混叠现象u 频率混叠将使数字控制器的频率响应与模拟控频率混叠将使数字控制器的频率响应与模拟控制器的频率响应的近视性变差，很少使用制器的频率响应的近视性变差，很少使用uu 为防止混叠现象发生，需要提高采样频率为防止混叠现象发生，需要提

4、高采样频率为防止混叠现象发生，需要提高采样频率为防止混叠现象发生，需要提高采样频率2.2 2.2 差分变换法差分变换法差分变换法差分变换法把把微微分分方方程程中中的的导导数数用用有有限限差差分分来来近近似似等等效，得到一个与给定微分方程逼近的差分方程效，得到一个与给定微分方程逼近的差分方程（1 1）后向差分变换法）后向差分变换法）后向差分变换法）后向差分变换法假设有模拟信号假设有模拟信号e(t)，后向差分变换：后向差分变换：或或令令u 后向差分变换后向差分变换拉氏变换拉氏变换z变换变换uu 后向差分变换法后向差分变换法后向差分变换法后向差分变换法亦称为后向矩形积分法亦称为后向矩形积分法亦称为后

5、向矩形积分法亦称为后向矩形积分法以后向矩形以后向矩形以后向矩形以后向矩形面积近视代替积分面积面积近视代替积分面积面积近视代替积分面积面积近视代替积分面积 后向矩形积分法后向矩形积分法后向矩形积分法后向矩形积分法t t e e(t t)0 0 T T 2 2T T kTkT (k k-1)-1)T T uu 后向矩形积分法后向矩形积分法后向矩形积分法后向矩形积分法设控制器传递函数为：设控制器传递函数为：微分方程微分方程 取后向矩形积分：取后向矩形积分：取后向矩形积分：取后向矩形积分：uu 后向矩形积分法后向矩形积分法后向矩形积分法后向矩形积分法z变换变换=数字控制器数字控制器模拟控制器模拟控制器

6、后向差分变换法也称为后向差分变换法也称为后向矩形积分变换法后向矩形积分变换法u 后向差分变换对系统性能的影响后向差分变换对系统性能的影响 当当对对S 左半平面左半平面，设设 半径小于半径小于0.5圆圆 半径为半径为0.5的圆的圆后向变换对系统性能的影响：后向变换对系统性能的影响：u 若若 D(s)稳定，则稳定，则D(z)一定稳定；一定稳定；u 数字控制器数字控制器D(z)的频率产生畸变；的频率产生畸变；u 是否存在频混叠？是否存在频混叠？不存在频率混叠。不存在频率混叠。当当解：解：解：解：用后向差分变换，用后向差分变换，用后向差分变换，用后向差分变换，将将将将 代入代入代入代入D D(s s)

7、得得得得 已已已已知知知知 ，T T=0.015s=0.015s，用用用用后后后后向向向向差差差差分分分分法法法法求求求求D D(z z)控制器及控制算法。控制器及控制算法。控制器及控制算法。控制器及控制算法。例题：例题：例题：例题：z反变换反变换数字控制算法：数字控制算法：2.2 2.2 差分变换法差分变换法差分变换法差分变换法（2 2）前向差分变换法）前向差分变换法）前向差分变换法）前向差分变换法或或拉氏变换（拉氏变换（z变换）得变换）得亦称为前向矩形积分法亦称为前向矩形积分法 t t e e(t t)0 0 T T 2 2T T kTkT (k k+1)+1)T T uu 前向差分变换前

8、向差分变换前向差分变换前向差分变换uu 变换对系统性能的影响变换对系统性能的影响变换对系统性能的影响变换对系统性能的影响（2 2）前向差分变换法）前向差分变换法）前向差分变换法）前向差分变换法当当 s=j时，时，z=1+jT对对s 左半平面左半平面，设，设 z=1的左侧平面的左侧平面z平面平面ReIms平面平面1-1ReImuu 变换对系统性能的影响变换对系统性能的影响变换对系统性能的影响变换对系统性能的影响（2 2）前向差分变换法）前向差分变换法）前向差分变换法）前向差分变换法u D(s)稳定，稳定，D(z)不一定稳定不一定稳定;u D(z)会产生较大的畸变。会产生较大的畸变。一般不采用一般

9、不采用将其中的将其中的将其中的将其中的 和和和和 展开成展开成展开成展开成TaylorTaylor级数，并忽略高次项级数，并忽略高次项级数，并忽略高次项级数，并忽略高次项得：得：得：得：2.3 2.3 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法已知：已知：梯形近似法梯形近似法梯形近似法梯形近似法t t e e(t t)0 0 T T 2 2T T kTkT (k k-1)-1)T T 2.3 2.3 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法u 双线性变换双线性变换双线性变换双线性变换u 变换对系统性能的影响变换对系统性能的影响s 平面虚轴平面虚轴映射在映射在z 平面的的单位圆上平

10、面的的单位圆上 频率混叠？频率混叠？不混叠不混叠s平面平面z平面平面ReIm1-1对对s左半平面左半平面，s 左半平面左半平面映射象在映射象在z 平面单位圆内平面单位圆内 若若D(s)稳定，则稳定，则D(z)也稳定也稳定u 变换对系统性能的影响变换对系统性能的影响 变换前后的频率发生畸变变换前后的频率发生畸变将将 和和 代入代入 u 变换对系统性能的影响变换对系统性能的影响 变换前后的频率发生畸变变换前后的频率发生畸变高频段频率发高频段频率发生较大畸变生较大畸变 1T T-0 1 0u 变换对系统性能的影响变换对系统性能的影响双线性变换的特点：双线性变换的特点：双线性变换的特点：双线性变换的特

11、点：（1 1）D D(s s)稳定，则相应的稳定，则相应的稳定，则相应的稳定，则相应的D D(z z)也也也也稳定稳定稳定稳定；（2 2）没有频率混叠现象没有频率混叠现象没有频率混叠现象没有频率混叠现象；（3 3）D D(z z)的频率响应在低频段与的频率响应在低频段与的频率响应在低频段与的频率响应在低频段与D D(s s)的频率响应相近，而在的频率响应相近，而在的频率响应相近，而在的频率响应相近，而在 高频段频率响应有严重高频段频率响应有严重高频段频率响应有严重高频段频率响应有严重畸变畸变畸变畸变；（4 4）适用于对象的）适用于对象的）适用于对象的）适用于对象的分子和分母已展开成多项式的形式

12、分子和分母已展开成多项式的形式分子和分母已展开成多项式的形式分子和分母已展开成多项式的形式。2.3 2.3 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法 已知已知已知已知 ，T T=0.015=0.015s s，用双线性变换法设计，用双线性变换法设计，用双线性变换法设计，用双线性变换法设计 D D(z z)及控制器的差分方程。及控制器的差分方程。及控制器的差分方程。及控制器的差分方程。解：解：解：解：将将将将 代入代入代入代入D D(s s)得得得得例题：例题：例题：例题：z反变换反变换控制器的差分方程：控制器的差分方程：2.4 2.4 零极点匹配法零极点匹配法零极点匹配法零极点匹配法uu

13、 通通通通过过过过z z变变变变换换换换直直直直接接接接把把把把D D(s s)在在在在s s平平平平面面面面上上上上的的的的零零零零极极极极点点点点一一一一一一一一对对对对应应应应地地地地映映映映射射射射到到到到z z平面上平面上平面上平面上D(zD(z)的零极点；的零极点；的零极点；的零极点；uu 当当当当D D(s s)的的的的极极极极点点点点数数数数比比比比零零零零点点点点数数数数多多多多时时时时，缺缺缺缺少少少少的的的的零零零零点点点点可可可可视视视视作作作作在在在在无无无无穷穷穷穷远远远远处处处处存存存存在在在在零零零零点点点点，可可可可用用用用z z平平平平面面面面上上上上的的的

14、的 z z=-1=-1的的的的零零零零点点点点匹匹匹匹配配配配，则则则则D D(z z)的分母和分子的阶次总是相等的。的分母和分子的阶次总是相等的。的分母和分子的阶次总是相等的。的分母和分子的阶次总是相等的。uu D D(z z)与与与与D D(s s)在稳态时具有相同的增益，即在稳态时具有相同的增益，即在稳态时具有相同的增益，即在稳态时具有相同的增益，即，其中，其中，其中，其中设设，其中，其中，其中，其中K Kz z的选择要使得的选择要使得的选择要使得的选择要使得D D(s s)与与与与D D(z z)在稳态时具有相同的增益在稳态时具有相同的增益在稳态时具有相同的增益在稳态时具有相同的增益u

15、u 按照按照按照按照 ，用零极点匹配法设计，用零极点匹配法设计，用零极点匹配法设计，用零极点匹配法设计D D(z z)2.4 2.4 零极点匹配法零极点匹配法零极点匹配法零极点匹配法为什么无穷远处存在零点，可以用为什么无穷远处存在零点，可以用为什么无穷远处存在零点，可以用为什么无穷远处存在零点，可以用 z z 面上面上面上面上 z z=-1=-1的零点来匹配？的零点来匹配？的零点来匹配？的零点来匹配？则变换后则变换后D(z)分子中将出现分子中将出现 ，也就是说，也就是说，D(z)零点与极点个数相等，新增的（零点与极点个数相等，新增的（n-m）个零点恰好是）个零点恰好是z z=-1=-1。零极点

16、匹配法同时具有双线性变换的效果零极点匹配法同时具有双线性变换的效果2.4 2.4 零极点匹配法零极点匹配法零极点匹配法零极点匹配法分子分母同乘分子分母同乘采用双线性变换，将采用双线性变换，将 带入带入 得得D(z)u 特点：特点：特点：特点：（1 1）若若若若D D(s s)稳定，则相应的稳定，则相应的稳定，则相应的稳定，则相应的D D(z z)也也也也稳定稳定稳定稳定；（2 2）可可可可获获获获得得得得双双双双线线线线性性性性变变变变换换换换的的的的效效效效果果果果，不不不不存存存存在在在在频频频频率率率率混混混混叠叠叠叠；（3 3）不能保证）不能保证）不能保证）不能保证D D(z z)的频

17、率响应不的频率响应不的频率响应不的频率响应不畸变畸变畸变畸变；（4 4）适适适适用用用用于于于于对对对对象象象象的的的的分分分分子子子子和和和和分分分分母母母母以以以以零零零零极极极极点点点点的的的的形形形形式式式式出现。出现。出现。出现。2.4 2.4 零极点匹配法零极点匹配法零极点匹配法零极点匹配法已知已知已知已知 ，T T=0.015s=0.015s ，用零极点匹配法设计数字控制器。，用零极点匹配法设计数字控制器。，用零极点匹配法设计数字控制器。，用零极点匹配法设计数字控制器。解：解：解：解：求求求求K Kz z K Kz z=18.67 =18.67 数字控制算法数字控制算法数字控制算

18、法数字控制算法双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法 uu 例题例题例题例题u 几种变换方法的比较几种变换方法的比较几种变换方法的比较几种变换方法的比较 后向差分变换法后向差分变换法后向差分变换法后向差分变换法 双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法 零极点匹配法零极点匹配法零极点匹配法零极点匹配法uu 稳定性稳定性稳定性稳定性uu 复杂程度、适用形式复杂程度、适用形式复杂程度、适用形式复杂程度、适用形式uu 频率特性频率特性频率特性频率特性uu 综合效果综合效果综合效果综合效果后向差分变换后向差分变换后向差分变换后向差分变换双线性变换双线性变换双线性变换双线性变换教学单元教学单元2结束结束结束！结束！