周期信号的频谱分析

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1、2.2 周 期 信 号 的 频 谱 分 析 傅 里 叶 级 数 2.2.1 正 交 函 数1、 正 交 矢 量垂 直 投 影x y 斜 投 影x x y y 当 =90， 称 x与 y相 互 垂 直 的 矢 量 为 正 交 矢 量 。 将 一 个 平 面 中 的 任 意 矢 量 在 直 角 坐 标 中 分 解 为 两 个正 交 矢 量 的 组 合 。 把 相 互 正 交 的 两 个 矢 量 组 成 一 个 二 维的 “ 正 交 矢 量 集 ” 。 在 此 平 面 上 的 任 意 分 量 都 可 用 二 维正 交 矢 量 集 的 分 量 组 合 来 表 示 。 可 推 广 应 用 于 n维 信

2、号 矢 量 空 间 。 v 2 正 交 函 数 假 定 ， 要 在 区 间 t1， t2内 用 函 数 x2(t)近 似 表 示 x1(t) x1(t) c12x2 t) 这 里 的 系 数 怎 样 选 择 才 能 得 到 最 佳 的 近 似 ？ 我 们 选 择误 差 的 方 均 值 （ 或 均 方 值 ） 最 小 ， 这 时 ， 可 以 认 定 已经 得 到 了 最 好 的 近 似 。 均 方 误 差 定 义 为 21 22121122 )()(1 tt dttxctxtt0122 dcd 0)()(1 21 221211212 tt dttxctxttdcd 0)()()(21 21 22

3、12112 tt dttxtxctxtt 2121 )( )()( 22 2112 tttt dttx dttxtxc上 式 表 示 x1(t)有 x2(t)的 分 量 ， 此 分 量 的 系 数 是 c12。 如果 c12等 于 零 ， 则 x1(t)不 包 含 x2(t)的 分 量 ， 这 种 情 况 称为 ： x1(t)与 x2(t)在 区 间 t1， t2 内 正 交 。 得 出 两 函 数 在区 间 t1， t2 内 正 交 的 条 件 是 0)()( 21 21 tt dttxtx 【 例 2-2】 试 用 正 弦 函 数 sint在 区 间 0， 2 内 来近 似 表 示 余 弦

4、 函 数 cost。 解 ： 显 然 ， 由 于 0sincos20 tdttcost与 sint两 函 数 正 交 。 【 例 2-3】 设 矩 形 脉 冲 x (t)有 如 下 定 义波 形 如 图 ， 试 用 正 弦 波 sint在 区 间 0， 2 内 近 似 表示 此 函 数 ， 使 均 方 误 差 最 小 。 21 01)( tttx 解 ： 函 数 x(t)在 区 间 0， 2 内 近 似 为x(t) = c12 sin t为 使 均 方 误 差 最 小 ， c12应 满 足 20 22012 sinsin)( tdttdttxc 4)sin(sin1 20 dtttdtttx

5、sin4)( 3. 正 交 函 数 集 定 义 ： 假 设 有 n个 函 数 g1(t)， g2(t)， ， gn(t)构 成 的一 个 函 数 集 ， 这 些 函 数 在 区 间 t1， t2 内 满 足 如 下 的 正 交特 性其 中 ki为 常 数 ， 则 函 数 序 列 g1(t), g2(t), g3(t), , gn(t)是 t1，t2区 间 上 的 正 交 函 数 集 。 三 角 函 数 序 列 cos 1t , cos21t , cos31t , , cosn1t , ， sin1t , sin21t , sin31t , sinn1t , 为区 间 0, 2/1上 的 正 交

6、 函 数 集 。 2121 )( 0)()(2tt iitt ji kdttg jidttgtg 令 任 一 函 数 x(t)在 区 间 t1， t2 内 由 这 n个 互 相 正 交 的 函数 线 性 组 合 所 近 似 ， 表 示 式 为x(t) = c1 g1(t) + c2 g2(t) + + cn gn(t)为 满 足 最 佳 近 似 的 要 求 ， 可 利 用 均 方 误 差 最 小 的 条 件求 系 数 c1， c2， ， cn。 均 方 误 差 表 示 式 为 21 21122 )()(1 tt ni ii dttgctxtt02 idcd 0 21 )()()(2 1tt i

7、ni ii dttgtgctx 0 2 1 )()()( 2tt iii dttgctgtx 4、 完 备 正 交 函 数 集 定 义 一 :如 果 用 正 交 函 数 集 gi(t)在 区 间 t1， t2 内 近似 表 达 函 数 x(t)， 即x(t) = c1 g1(t) + c2 g2(t) + + cn gn(t)若 令 n， 其 均 方 误 差 的 极 限 等 于 零则 此 正 交 函 数 集 为 完 备 正 交 函 数 集 。0lim 2 n 2121 )( )()( 2tt itt ii dttg dttgtxc 21 )()(1 tt ii dttgtxk如 果 对 某 一

8、 正 交 函 数 集 ki = 1， 称 此 正 交 函 数 集 为 “ 归一 化 正 交 函 数 集 ” 。 定 义 二 如 果 在 正 交 函 数 集 g1(t)， g2(t)， ， gn(t)之 外 ，不 存 在 函 数 f(t)满 足 等 式 0)()(21 tt i dttgtf 2 1 )(0 2tt dttf 则 此 函 数 集 称 为 完 备 正 交 函 数 集 。常 用 的 完 备 正 交 函 数 集 有（ 1） 三 角 函 数 1， cos1t， cos21t， ，cosn1t sin1t， sin21t， ， sinn1t （ 2） 复 指 数 函 数 e jn1, n=

9、0, 1, 2, （ 3） 沃 尔 什 函 数 Wal(k, t) 数 学 上 可 以 证 明 ， 当 函 数 x(t)在 区 间 t1 t2内 具 有 连续 的 一 阶 导 数 和 逐 段 连 续 的 二 阶 导 数 ， x(t)可 以 用 完 备 的正 交 函 数 集 来 表 示 ， 这 就 是 所 谓 的 函 数 “ 正 交 分 解 ” 。 对 于 任 意 周 期 信 号 x(t) = x(t + nT1) ， 在 满 足 狄 里 赫利 条 件 下 ， 可 展 成 傅 里 叶 级 数 。 狄 里 赫 利 条 件 ： 1） 在 一 个 周 期 内 ， 如 果 有 间 断 点 存 在 ， 则

10、 间 断 点 的数 目 应 是 有 限 个 ； 2） 在 一 个 周 期 内 ， 极 大 值 与 极 小 值 的 数 目 应 是 有 限个 ； 3） 在 一 个 周 期 内 ， 信 号 是 绝 对 可 积 的 ， 即 100 )(Ttt dttx 三 角 形 式 的 傅 里 叶 级 数 ， 即 将 周 期 信 号 展 成 不 同 频率 的 正 弦 或 余 弦 三 角 函 数 的 线 性 组 合 。 即 x(t) = a0 + a1cos1t + b1sin1t + a2cos21t + b2sin21t + + ancosn1t + bnsinn1t + 根 据 三 角 函 数 的 正 交 性

11、 ， 满 足 如 下 关 系 ：0)sin()cos( 11100 dttmtnTtt （ 所 有 的 m,n） )( 2 )( 0)cos()cos( 111100 nmT nmdttmtnTtt sincos 11 10 tnbtnaa nn n 2.2.2 周 期 信 号 的 频 谱 分 析 傅 里 叶 级 数 1. 三 角 函 数 形 式 的 傅 里 叶 级 数 2/T1=1 直 流 分 量余 弦 分 量正 弦 分 量积 分 区 间 t0 ， t0+T1， 可 取 为 0， T1或 T1/2， T1/2。也 可 写 成 另 一 种 形 式 :或 )( 2 )( 0)sin()sin(

12、111100 nmT nmdttmtnTtt dttxTa Ttt 100 )(110 dttntxTa Tttn 100 11 cos)(2 dttntxTb Tttn 100 11 sin)(2 1 10 )cos()( n nn tncctx 1 10 )sin()( n nn tnddtx 两 者 的 关 系 : a0 = c0 = d0 cn = dn = (an2 + bn2 )1/2 an = cn cosn = dn sinn bn = cn sinn = dn cosn nnn abarctan nnn baarctan 傅 里 叶 级 数 的 公 式 表 明 ： （ 1）

13、等 式 左 端 为 一 复 杂 信 号 的 时 域 表 示 ， 右 端 则 是简 单 的 正 弦 信 号 的 线 性 组 合 ， 利 用 傅 里 叶 级 数 的 变 换 ，可 以 把 复 杂 的 问 题 分 解 成 为 简 单 问 题 进 行 分 析 处 理 。 （ 2） 虽 然 左 端 是 信 号 的 时 域 表 达 式 ， 右 端 是 信 号 的频 域 表 示 ， 但 表 示 的 是 同 一 信 号 ， 是 完 全 等 效 的 。 （ 3） 任 意 周 期 信 号 可 以 分 解 为 直 流 分 量 和 一 系 列 交变 分 量 的 相 加 。 1为 信 号 的 基 频 ， 相 应 的 分

14、 量 为 基 波 ，其 他 交 变 分 量 则 为 谐 波 ， 其 频 率 必 定 是 基 频 的 整 数 倍 。 （ 4） 直 流 分 量 的 幅 度 c 0(d0)与 基 波 、 谐 波 的 幅 度cn(dn)以 及 相 位 n(n)的 大 小 取 决 于 信 号 的 时 域 波 形 ， 而且 是 频 率 n1的 函 数 ， 把 这 种 函 数 关 系 绘 成 线 图 表 示 ，就 是 所 谓 的 “ 频 谱 ” 。 1 10 )cos()( n nn tncctx | cn | n10 1 21n n 10 1 21 由 三 角 形 式 可 以 导 出 指 数 形 式根 据 欧 拉 公

15、式 cosn1t = e jn1t + e jn1t /2 sinn1t = e jn1t e jn1t /2j令因 为 an是 n的 偶 函 数 ， 即 an = a n b n是 n的 奇 函 数 ， 即 bn = b n 2. 指 数 形 式 的 傅 里 叶 级 数 10 11 22)( n tjnnntjnnn ejbaejbaatx 2)( 1 nnn jbaXnX 22)( 1 nnnnn jbajbaXnX 令 :X(0) = a0式 中 傅 里 叶 系 数画 出 信 号 频 谱 :因 为 Xn一 般 为 复 数 ， 故 称 复 数 频 谱 。 Xn = | Xn |e jn |

16、 Xn | n1图 称 复 数 幅 度 谱 n n1图 称 复 数 相 位 谱 10 11)( n tjnntjnn eXeXatx 11 11 n tjnnn tjnn eXeX n tjnneXtx 1)( dtetxTXnX Tt t tjnn 100 1)(1)( 11 X0 = a0 = c0 = d0Xn = | Xn |e jn =(an jbn)/2Xn = (an + jbn)/2| Xn | = | Xn | = cn/2 = dn/2 偶 对 称 nnn abarctan nnn abarctann = n 奇 对 称 |Xn| n121 1 0 1 21n n 1 指

17、数 形 式 的 傅 氏 级 数 说 明 一 个 任 意 周 期 函 数 也 可以 分 解 为 直 流 分 量 及 一 系 列 不 同 频 率 的 复 指 数 分 量 之和 。 三 角 形 式 和 指 数 形 式 相 比 ,具 有 下 列 特 点 : 1、 复 数 幅 度 谱 的 谱 线 长 度 为 实 数 谱 的 一 半 且 偶 对称 于 纵 轴 。 2、 复 数 相 位 谱 与 实 频 谱 中 相 同 ， 且 奇 对 称 于 原 点 。 3、 复 数 谱 在 正 负 频 率 处 均 有 值 ， 负 频 率 的 出 现 是由 于 将 正 弦 、 余 弦 写 成 指 数 形 式 得 来 的 ，

18、是 数 学 运 算的 结 果 ， 而 无 物 理 意 义 。 在 实 际 中 ， 只 有 将 对 应 正 负频 率 项 成 对 合 并 ， 才 能 合 成 一 个 实 际 的 谐 波 分 量 ， 所以 三 角 形 式 具 有 明 确 的 物 理 意 义 ， 而 指 数 形 式 用 于 理论 分 析 或 运 算 比 较 方 便 。 如 果 x(t)是 实 函 数 而 且 他 的 波 形 满 足 某 种 对 称 性 ， 则在 其 傅 里 叶 级 数 中 有 些 项 将 不 出 现 ， 留 下 的 各 项 系 数 的表 示 式 也 变 得 比 较 简 单 。 波 形 的 对 称 性 有 两 类 ，

19、一 类 是 整 周 期 对 称 ， 如 偶 对称 和 奇 对 称 ； 另 一 类 是 半 周 期 对 称 ， 如 奇 谐 函 数 。 前 者 决 定 级 数 中 只 可 能 含 有 余 弦 项 或 正 弦 项 ； 后 者决 定 级 数 中 只 可 能 含 有 偶 次 或 奇 次 项 。（ 1） 偶 函 数 x(t) = x(t)相 对 与 纵 轴 是 对 称 的 。 x(t) t T 1/2 0 T1/2傅 里 叶 级 数 中 只 含 有 直 流分 量 和 余 弦 项 。 3. 函 数 的 对 称 性 与 傅 里 叶 系 数 的 关 系 0 cos)(4 2/0 11 1n Tnb dttnt

20、xTa (2)奇 函 数 x(t) = x(t)相 对 于 纵 坐 标 是 反 对 称 的 。 x(t) t0 T12 T12傅 里 叶 级 数 中 只 含 有 正 弦 项 。(3)奇 谐 函 数 x(t) = x( t T 1/2) 波 形 沿 时 间 轴 平 移 半 个 周 期 并 相 对 于 该 轴 上 下 翻 转 ，此 时 ， 波 形 并 不 发 生 变 化 。 dttntxTb Tn 2/0 11 1 sin)(4 a0= an = 0 x(t) tT12T12 0 x(t) tT 12T12 0 x(t) tT12T12 x(t) tT12T12 0 x(t) t a0 = 0 a

21、1 0 b1 0 a2 = 0 b2 = 0 傅 里 叶 级 数 中 只 含 有 奇 次 正 弦 项 和 奇 次 余 弦 项 。当 为 n偶 数 时 an= bn = 0 为 n奇 数 时 dttntxTa Tn 2/0 11 1 cos)(4 dttntxTb Tn 2/0 11 1 sin)(4 1. 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 解 ： (1)展 成 三 角 函 数 形 式 的 傅 里 叶 级 数 x(t) t0 /2/2 T1T1 T1/2E2.2.3 典 型 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数 12212210 1)(1 11 TEdtETdttxTa TT dttnETan

22、2/ 2/ 11 cos2 2sin22 111 nTn E 2222sin2 111 11 nSaTEnnTE由 于 x(t)是 偶 函 数 ， 则 bn = 0。从 而 ， 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 的 三 角 形 式 的 傅 里 叶 级 数 为 1 1111 cos22)( n tnnSaTETEtx 由 上 式 10 TEc 22 11 nSaTEcn 000 nnn aa n n10 1 21 4/ cn n101 212/ (2)展 成 指 数 形 式 的 傅 里 叶 级 数 21 11221 1 nSaTEdtEeT tjn dtetxTX TT tjnn 221 11 1

23、)(1 n tjnneXtx 1)( n tjnenSaTE 1211 4/ |Xn| n1 1 21 4/ 0 21 1 n n10 1 21 2/ Xn 1 21 4/ 0 21 1 4/ (3)频 谱 特 点 由 谱 图 可 以 看 出 ， 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 的 频 谱 具 有 以下 特 点 ： 离 散 谱 ： 离 散 间 隔 等 于 基 频 1的 量 值 ， 1=2/T1 。 频 谱 有 无 穷 多 个 分 量 ， 即 有 无 穷 多 条 谱 线 ， 其 幅 值E /T1 ， 呈 抽 样 函 数 状 衰 减 。 带 宽 ： 谱 图 中 | Xn | = 0的 点 为 谱

24、零 点 ， 即 n1 /2 = mm=1时 的 零 点 为 第 一 零 点 ， 位 置 在 n 1 = 2/ 对 于 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 ， 它 的 大 部 分 能 量 （ 90%左 右 ） 集中 在 第 一 零 点 内 的 各 频 率 分 量 上 。 把 = 0 2/ 这 一 频率 范 围 ， 称 为 带 宽 ， 以 b表 示 ， 带 宽 b与 脉 冲 宽 度 成 反比 。 (4)时 域 参 数 对 频 谱 的 影 响时 域 主 要 参 数 ： 信 号 幅 度 E， 脉 冲 宽 度 ， 信 号 周 期 T1。 E： 对 频 谱 的 影 响 不 太 大 。 T1： 由 于 谱 间

25、隔 1=2/T1， 谱 幅 度 cn E /T1， 所 以T1， 谱 线 变 密 ， cn 。 ： cn b = 2/ 反 映 出 一 个 普 遍 的 规 律 ： 时 域 、 频 域 变 化 时 ， 时 域上 压 缩 （ 减 小 ） ， 频 域 上 带 宽 展 宽 （ b增 大 ） ， 反 之 亦然 。 上 述 结 果 ， 实 际 上 由 能 量 守 恒 定 律 决 定 的 。极 端 情 况 ： 若 T 1， 周 期 函 数 非 周 期 函 数 1d 0， 离 散 频 谱 连 续 频 谱 T1， 又 0， 带 宽 b ， 即 矩 形 脉 冲 冲 激 函数 ， 频 谱 为 “ 白 色 谱 ” 。

26、 cn n10 1 2/ 4/ x(t)E t0 T1 x(t) t0 T 1 2/ cn n101 x(t)E t0 T1 cn n10 1 2/ 具 体 参 数 如 E=1， = 0.05， T1 = 0.25 1 = 2/T1 = 8 2/ = 40 = 51 cn n10 1 51 n n10 1 51 2. 对 称 方 波 是 一 个 正 负 交 替 的 信 号 ， 其 直 流 分 量 a0 = 0； 脉 宽 等 于 周 期 的 一 半 ， 即 =T1/2； 偶 函 数 ， 又 是 奇 谐 函 数 ， bn = 0， an = 0(偶 数 )。 x(t) t0 T1T1 T1 4E2

27、 a n n10 1 21 31 41 51 tttEtx 111 5cos513cos31cos2)( 1 1cos2sin12 n tnnnE 3. 周 期 锯 齿 脉 冲 信 号奇 函 数 a0 = 0， an = 0 x(t) t0 T12 T12E2 tnnE tttEtx n n 11 1 111 sin1)1( .)3sin312sin21(sin)( 4. 周 期 三 角 脉 冲 信 号偶 函 数 ， 去 直 流 分 量 后 是 奇 谐 函 数 ， bn = 0 1 1222 121212 cos2sin142 .)5cos513cos31(cos42)( n tnnnEE t

28、ttEEtx x(t) t T1/2 0 T1/2E 5. 周 期 半 波 余 弦 信 号偶 函 数 ， bn = 0 tnnnEE tttEEtx n 11 2 111 cos2cos112 .)4cos1542cos34(cos2)( x(t) t0 T14 T14 T1 6. 周 期 全 波 余 弦 信 号令 余 弦 信 号 x1(t) = cos0t 全 波 余 弦 信 号 x(t) = E | x1(t)| 1= 2/T1 = 20 T1 = T0 /2偶 函 数 ， bn = 0 tnnEE tEtEtEEtx n n 01 21 111 2cos14 1)1(42 .)3cos3

29、542cos154cos342)( x(t) t0 T12 T12 T1 2.2.4 吉 布 斯 现 象 任 意 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数 需 要 无 穷 多 项 才 能 完全 逼 近 。 但 实 际 中 经 常 采 用 有 限 项 来 近 似 代 替 无 限 多项 ， 当 项 数 取 得 愈 多 ， 误 差 愈 小 ， 通 常 以 均 方 误 差 来衡 量 其 大 小 。取 前 N + 1 项误 差 函 数 N(t) = x (t) xN(t)均 方 误 差 100 )(1 21 Ttt NN dttTe Nn nnN tncctx 1 10 )cos()( 1 10 )cos

30、()( n nn tncctx 傅 里 叶 级 数 的 理 论 还 进 一 步 证 明 了 ： 在 限 定 级 数 项数 的 条 件 下 ， 由 无 限 项 傅 里 叶 级 数 截 断 后 的 有 限 项 级 数 ，是 对 原 信 号 在 最 小 均 方 误 差 意 义 下 的 最 优 逼 近 。 下 面 以 对 称 方 波 为 例 说 明 ： x(t) t0 T1T1 T1 4E2 tnnnE tttEtx n 11 111 cos2sin12 .)5cos513cos31(cos2)( -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -1 -0

31、.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 如 果 仅 取 一 项 ， 均 方 误 差 等 于 0.05E2， 若 取 前 两 项 为 0.02E2，取 前 三 项 则 为 0.015E2。 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1） 傅 里 叶 级 数 的 所 取 项 级 愈 多 ， 则 合 成 波 形 愈逼 近 原 信 号 ， 误 差 愈 小 。 2） 低 频 分 量 组 成 方 波 的 主 体 ， 高 频 谐 波 幅 值 较小 ， 主 要 影 响 脉 冲 前 沿 ， 说 明 波 形 变 化 愈 激 烈 ， 高 频分 量 愈 丰 富 。 3） 随 着 级 数 项 数 取 得 愈 多 ， 合 成 波 形 将 愈 逼 近方 波 信 号 ， 但 在 间 断 点 附 近 ， 随 着 所 含 谐 波 次 数 的 增加 ， 合 成 波 形 的 突 峰 将 移 向 间 断 点 ， 但 幅 值 并 不 明 显减 小 。 可 以 证 明 ， 即 使 N 时 ， 在 间 断 点 处 仍 然 有9%的 偏 差 ， 这 种 现 象 称 为 吉 布 斯 现 象 （ G ibbs phenomenon） 。