《数学史》从刘徽到祖冲之解析上课讲义

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1、中国中国(zhn u)古代数学的发展古代数学的发展魏、晋时期出现魏、晋时期出现(chxin)的玄学，不为汉儒经学束缚，的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注周髀算经，汉末魏初徐岳撰九章算术注，魏末晋周髀算经，汉末魏初徐岳撰九章算术注，魏末晋初刘徽撰九章算术注、九章重差图都是出现初刘徽撰九章算术注、九章重差图都是出现(chxin)在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系

2、奠定了理论基础。学体系奠定了理论基础。刘刘徽徽第一页，共75页。中国古代中国古代(gdi)数学的发展数学的发展赵爽是中国古代对数学定理和公式进行赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在证明与推导的最早的数学家之一。他在周髀算经书中补充的周髀算经书中补充的“勾股圆方图及勾股圆方图及注注”和和“日高图及注日高图及注”是十分重要的数学是十分重要的数学文献。文献。在在“勾股圆方图及注勾股圆方图及注”中他提出用弦图证中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注日高图及注”中，他用图形中，他用图形(txng)面积面积证明汉代普

3、遍应用的重差公式，赵爽的工证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。中占有重要地位。第二页，共75页。中国古代中国古代(gdi)数学的发展数学的发展刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者(dzh)。他的九章算术注不仅是对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为1

4、57/50和3927/1250。第三页，共75页。中国古代数学中国古代数学(shxu)的发展的发展刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为为2:1，解决，解决(jiju)了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决(jiju)球的体积球的体积提出了正确途径。提出了正确途径。第四页，共75页。中国中国(zhn u)古代数学的发展古代数学的发展东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子东晋以后，中国长期

5、处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注九章算术的基础上，把传统数学大大工作，他们在刘徽注九章算术的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要向前推进了一步。他们的数学工作主要(zhyo)有：计算出圆有：计算出圆周率在周率在3.14159263.1415927之间；提出祖暅原理；提出二之间；提出祖暅原理；提出二次与三次方程的解法等。次与三次方程的解法等。第五页，共75页。中国中国(zhn u)古代数学的发展古代数学的发展据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出

6、圆内接正据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值他又用新的方法得到圆周率两个分数值(shz)，即约率，即约率22/7和密率和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；计算方面，比西方领先约一千年之久；第六页，共75页。中国古代数学中国古代数学(shxu)的发展的发展祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处(och)的水平截面积相等，

7、则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。第七页，共75页。中国古代(gdi)数学的发展隋炀帝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的缉隋炀帝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的缉古算经，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及古算经，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要会的需要(xy

8、o)，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。第八页，共75页。中国(zhnu)古代数学的发展唐初统治者继承隋制，唐初统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释算经十书，人。由太史令李淳风等编纂注释算经十书，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的算经十书，对保存数学经典著作

9、、为数学研究提风等编纂的算经十书，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给周髀算经、九章算供文献资料方面是很有意义的。他们给周髀算经、九章算术以及海岛算经所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时术以及海岛算经所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富(fngf)了中国古代数学的内容。了中国古代数学的内容。第九页，共75页。中国古代(gdi)数学的发展算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误

10、等缺点，因此很早就开始(kish)进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。第十页，共75页。中国古代数学(shxu)的发展唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从新唐书等文献留下来的算书书目从新唐书等文献留下来的算书书目(shm)，可以看出这次，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除

11、算法，唐代的算法改革使乘除法可以算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。第十一页，共75页。3.2.13.2.1刘刘徽徽的的数数学学(shxu)(shxu)成成就就隋书“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰九章算术注。九章算术注包含了刘徽本人(bnrn)的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。刘徽数学成就刘徽数学成就(chngji)中最突出的是中最突出的是“割圆术割圆术”和体

12、积和体积理论理论。第十二页，共75页。中国中国(zhn u)数学家刘徽数学家刘徽 刘徽（约公元225年295年），汉族，山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，著有九章算术注和海岛算经等。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下(dxi)，但人格高尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。第十三页，共75页。九章算术注对数学方法的贡献九章算术注对数学方法的贡献开始了其独特的推理论证的尝试。开始了其独特的推理论证的尝试。“析理以辞，解析理以辞，解体用图。体用图。”创立了创立了“出入相补出入相补”的方法，提出了的方法，提出了“割圆术割圆术”，上首次将极限概念用于

13、近似计算；引入十进制小数的，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法辑手段推导出结果的方法 。提出。提出“审辨名分审辨名分”，不但对自，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定九章算术注丰富了己提出的每一个新概念都给出界定九章算术注丰富了九章算术的数学成果，主要表现在算术、

14、代数和几何九章算术的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。诸方面。诸如，割圆术与徽率诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失弥少，割割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可之又割，以至于不可(bk)(bk)割，则与圆合体而无所失矣。割，则与圆合体而无所失矣。”第十四页，共75页。中国中国(zhn u)数学家刘徽数学家刘徽九章算术约成书于东汉之初，共有246个问题的解法在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明在这些(zhxi)证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献他是世界上最早提

15、出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法在几何方面，提出了割圆术，第十五页，共75页。古典数学的形成与发展古典数学的形成与发展(fzhn)时时期期（1）割圆术刘徽注九章算术(ji zhn sun sh)方田章“圆田术”：“半周半径相乘得积步”，求圆面积时用圆周率为3。“又按：为图，以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”刘徽在割圆术中提出的刘徽在割圆术中提出的割之弥细，

16、所失弥少，割之又割以至于不可割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可(bk)割，则割，则与圆合体而无所失矣与圆合体而无所失矣，这可视为中国古代极限观念的佳作，这可视为中国古代极限观念的佳作第十六页，共75页。古典数学(shxu)的形成与发展时期第十七页，共75页。古典数学(shxu)的形成与发展时期第一(dy)，设圆的半径为1尺，从圆内接正六边形出发，倍增正多边形的边数，直到正96边形，依次算出正多边形的周长和面积。第二，由正48边形边长计算正96边形面积。第三，找出与圆面积之间的关系，这种关系也称刘徽不等式。第十八页，共75页。割圆术的基本原理割圆术的基本原理设圆面积为So、半径为r、圆内接正

17、n边形边长为In、周长为Ln、面积为Sn。将边数加倍后,得到圆内接正2n边形，其边长、周长、面积分别记为l2n,L2n,S2n。刘徽首先指出(zhch)，由ln及勾股定理可求出l2n其次知道了圆内接正n边形的周长Ln，又可求得正2n边形的面积，如果在圆内接n边形的每边上作一高为CD的矩形，就可以证明刘徽不等式：S2nSoS2n+(S2nSn).第十九页，共75页。徽率徽率从圆内接正六边形出发，取半径从圆内接正六边形出发，取半径r为为1尺，一直计算到尺，一直计算到192边边形，得出形，得出(d ch)圆周率的近似值圆周率的近似值3.14，化成分数为，化成分数为157/50，这就是有名的，这就是有

18、名的“徽率徽率”第二十页，共75页。古典古典(gdin)数学的形成与发展数学的形成与发展时期时期弧田术弧田术刘徽注九章算术刘徽注九章算术(ji zhn sun sh)方田章方田章“弧田术弧田术”：“以弦乘矢，以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。矢又自乘，并之，二而一。”第二十一页，共75页。（二）体积（二）体积(tj)理理论论 刘徽的面积刘徽的面积(min j)、体积理论建立在一条简单而又基本的、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的原理之上，这就是他所谓的“出入相补出入相补”原理：一个几何图形原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积（平面的或立体的）被分割

19、成若干部分后，面积(min j)或体积或体积的总和不变。的总和不变。在平面的情形，刘徽成功地证明了九章算术中许多面积公式，但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用遇到了很大的困难。这里实质性的障碍在于：与平面情形不同，并不是任意(rny)两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补（也就是中国古代数学家所说的“出入相补”）相等。第二十二页，共75页。“圭田圭田(u tin)”(u tin)”即等腰三角形即等腰三角形“今有圭田今有圭田(u tin)(u tin)，广十二步，正纵二十一步。问：为田，广十二步，正纵二十一步。问：为田几何？几何？“答曰：一百二十六步。答曰：一百二十六步。术曰：半广以乘

20、正纵。术曰：半广以乘正纵。刘徽注：刘徽注：“半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正纵以乘广。半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正纵以乘广。按半广乘纵，以取中平之数。故广纵相乘为积步。亩法除之，按半广乘纵，以取中平之数。故广纵相乘为积步。亩法除之，即得也。即得也。”刘徽图解刘徽图解(tji)：第二十三页，共75页。“邪田邪田”，即直角梯形，即直角梯形(txng)(txng)的面积：的面积：“今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正纵六十四步。问：为田几何今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正纵六十四步。问：为田几何？”答曰：九亩一百四十四步。答曰：九亩一百四十四步。术曰：并两邪而半之，以乘正纵若

21、广。又可半正纵若广，以并，亩法而一。术曰：并两邪而半之，以乘正纵若广。又可半正纵若广，以并，亩法而一。即即刘徽根据出入刘徽根据出入(chr)相补原相补原理的图解：理的图解：第二十四页，共75页。“箕田箕田”即等腰梯形即等腰梯形“今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正纵三十步。问：为今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正纵三十步。问：为田几何？田几何？”答曰：一亩一百三十五步。答曰：一亩一百三十五步。术曰：并踵舌而半之，以乘正纵。亩法而一。术曰：并踵舌而半之，以乘正纵。亩法而一。刘徽注：刘徽注：“中分中分(zhn fn)(zhn fn)箕田则为两邪田，故其术相似。箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵舌，

22、半正纵以乘之又可并踵舌，半正纵以乘之”第二十五页，共75页。他在推算九章算术中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两他在推算九章算术中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与种无限小方法：极限方法与 不可不可(bk)分量方法。分量方法。(1)阳马术。九章算术阳马术。九章算术“商功章商功章”阳马术给出阳马的体积公式为其三条直角阳马术给出阳马的体积公式为其三条直角(zhjio)边乘积的三分之一。边乘积的三分之一。刘徽从一长方体出发（见图），刘徽从一长方体出发（见图），将它斜分成将它斜分成(fn chn)两个两个“壍堵壍堵”，然后再斜分壍堵得到两个立体图形，然后再斜分壍堵得到两个立

23、体图形，其中一个就是阳马，另一个是鳖臑。其中一个就是阳马，另一个是鳖臑。术曰：术曰：“广袤相乘，以高乘之，三而一广袤相乘，以高乘之，三而一”第二十六页，共75页。古典数学的形成(xngchng)与发展时期刘徽常使用刘徽常使用(shyng)(shyng)四种图形来求立体：立方、堑堵、阳马四种图形来求立体：立方、堑堵、阳马和鳖臑和鳖臑第二十七页，共75页。古典(gdin)数学的形成与发展时期刘徽常使用四种刘徽常使用四种(s zhn)(s zhn)图形来求立体：立方、堑堵、阳马和鳖图形来求立体：立方、堑堵、阳马和鳖臑臑方台方台第二十八页，共75页。古典数学的形成(xngchng)与发展时期九章算术商

24、功第九章算术商功第 15 问问“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何。今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何。答曰：九十三尺少半尺。答曰：九十三尺少半尺。术曰：广袤术曰：广袤(gungmo)相乘，以高乘之，三而一。相乘，以高乘之，三而一。”刘徽注：刘徽注：“邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成 一立方，一立方，故三而一。故三而一。”第二十九页，共75页。刘徽证明刘徽证明(zhngmng)阳马体积与鳖

25、臑体积之比为阳马体积与鳖臑体积之比为2：1第三十页，共75页。“牟合方盖牟合方盖”在九章算术在九章算术*开立圆术注中，他指出开立圆术注中，他指出(zh ch)了球体积了球体积公式公式V=9D3/16(D为球直径为球直径)的不精确性，并引入了的不精确性，并引入了“牟合方牟合方盖盖”这一著名的几何模型这一著名的几何模型第三十一页，共75页。球体积球体积牟合方盖牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。柱体的贯交部分。牟合方盖的性质牟合方盖的性质(xngzh)：牟合方盖的内切球就是：牟合方盖的内切球就是立方体的内切球立方体的内切球.第三十二页，共7

26、5页。用同一用同一(tngy)水平面去截，得到一个圆和它的外切正方形（牟水平面去截，得到一个圆和它的外切正方形（牟合方盖的截面）合方盖的截面）.二者的关系是截面圆与其外切正方形的面积之比是二者的关系是截面圆与其外切正方形的面积之比是从而从而第三十三页，共75页。刘徽在这里实际已用到了西方微积分史著作中所说的刘徽在这里实际已用到了西方微积分史著作中所说的“卡瓦列卡瓦列利原理利原理”，可惜没有将它总结为一般，可惜没有将它总结为一般(ybn)形式。牟合方盖的形式。牟合方盖的体积怎么求呢？刘徽终于未能解决。体积怎么求呢？刘徽终于未能解决。刘徽虽然没有推证出球体积公式刘徽虽然没有推证出球体积公式(gng

27、sh)，但他所创用的特殊形式但他所创用的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。刘徽九章算术注还有其他许多数学成果刘徽九章算术注还有其他许多数学成果(chnggu)，特别是他在九章算术，特别是他在九章算术“勾股勾股”章之后章之后所加的一整篇文字，作为九章算术注第十卷，后来所加的一整篇文字，作为九章算术注第十卷，后来单独刊行，称为海岛算经。单独刊行，称为海岛算经。第三十四页，共75页。重差术重差术在自撰海岛算经中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高在自撰海岛算经中，他提出了重差术，采用了重表

28、、连索和累矩等测高测远方法。他还运用测远方法。他还运用“类推衍化类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望三望”、“四望四望”。而印度在。而印度在7世纪，欧洲在世纪，欧洲在1516世纪才开始研究两次测世纪才开始研究两次测望的问题。刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在望的问题。刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学吏上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以世界数学吏上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以(suy)不少书上把他称作不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿中国数学史上的牛顿”。见

29、下面见下面(xi mian)：第三十五页，共75页。海岛(hido)算经（4 4）重差术和海岛算经）重差术和海岛算经刘徽注释九章算术刘徽注释九章算术“勾股勾股”章的最后，补充重差术的九个问题章的最后，补充重差术的九个问题(wnt)(wnt)。今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与末表参合，从后表从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与末表参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合。问岛及去表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表

30、末参合。问岛及去表各几何？各几何？第三十六页，共75页。刘徽给出如下(rxi)公式：即第三十七页，共75页。3.2.2 3.2.2 祖冲之与祖祖冲之与祖暅暅 祖冲之（公元祖冲之（公元429-500，如图）活跃于，如图）活跃于南朝宋、齐两代，出生于历法世家，本人南朝宋、齐两代，出生于历法世家，本人做过南徐州做过南徐州(x zhu)（今镇江）从事史和（今镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。一。第三十八页，共75页。中国(zhnu)数学家祖冲之祖冲之（祖冲之（公元公元429年

31、年公元公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任刘宋的为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任刘宋的“大匠卿大匠卿”，掌管土木工程；祖冲之的父亲也在朝中做官。，掌管土木工程；祖冲之的父亲也在朝中做官。祖冲之从小接受家传的科学知识。青年时进入华林学省，从事学术活动。一祖冲之从小接受家传的科学知识。青年时进

32、入华林学省，从事学术活动。一生生(yshng)先后任过南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆先后任过南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆山市东北）令、谒者仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法山市东北）令、谒者仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。和机械三方面。第三十九页，共75页。中国中国(zhn u)数学家祖冲之数学家祖冲之祖冲之，在世界数学史上第一次将圆周率（）值计算到小数点后七位，即3.1415926到3.1415927之间。他提出约率22/7和密率355/113，这一密率值是世界上最早提出的，比欧洲早一千多年，所以有人主张叫它“祖率

33、”也就是(jish)圆周率的祖先。他将自己的数学研究成果汇集成一部著作，名为缀术，唐朝国学曾经将此书定为数学课本。他编制的大明历，第一次将“岁差”引进历法。提出在391年中设置144个闰月。推算出一回归年的长度为365.24281481日，误差只有50秒左右。第四十页，共75页。他不仅是一位杰出的数学家和天文学家，而且还是他不仅是一位杰出的数学家和天文学家，而且还是一位杰出的机械专家。重新造出早已失传的指南车、一位杰出的机械专家。重新造出早已失传的指南车、千里船等巧妙机械多种。此外，他对音乐也有研究。千里船等巧妙机械多种。此外，他对音乐也有研究。著作有释论语、释孝经、易义、老著作有释论语、释孝

34、经、易义、老子子(lo zi)义、庄子义及小说述异记等，义、庄子义及小说述异记等，但早已失传。但早已失传。第四十一页，共75页。祖冲之星祖冲之星1964年年11月月9日为了纪念祖冲之对我国和世界科学文化作出的日为了纪念祖冲之对我国和世界科学文化作出的伟大贡献，紫金山天文台将伟大贡献，紫金山天文台将1964年发现的，国际永久年发现的，国际永久(yngji)编号为编号为1888的小行星命名为的小行星命名为“祖冲之星祖冲之星”。紫金山天文台紫金山天文台第四十二页，共75页。祖冲之、祖暅祖冲之、祖暅（1 1）圆周率）圆周率祖冲之关于圆周率的贡献记载在隋书中，隋书祖冲之关于圆周率的贡献记载在隋书中，隋书

35、律历志说：律历志说：“祖冲祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分(y fn)(y fn)五厘五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分(y fn)(y fn)五厘九毫二秒六忽，正数在五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间盈朒二限之间”。即圆周率数值的上下限：即圆周率数值的上下限：密率，约率密率，约率第四十三页，共75页。祖冲之（祖冲之（429500）与祖率与祖率(zl)据随书据随书律历志记载律历志记载(jzi)，祖冲之求得的，祖冲之求得的值的取值值的取值范围为范围为3.141592 3.141

36、5927.（并称为朒、盈数）（并称为朒、盈数）如果利用刘徽的割圆术得到上述结果，需要从正六边形起，连如果利用刘徽的割圆术得到上述结果，需要从正六边形起，连续的倍增正多边形的边数，至续的倍增正多边形的边数，至24576边形边形第四十四页，共75页。（一）祖氏原理（一）祖氏原理(yunl)与球体积与球体积 曾使刘徽绞尽脑汁曾使刘徽绞尽脑汁(jio jn no zh)的球体积问题，到祖的球体积问题，到祖冲之时代终于获得解决。这一成就被记录在九章算术冲之时代终于获得解决。这一成就被记录在九章算术“开开立圆术立圆术”李淳风注中。李淳风注中。根据李淳风的注，祖暅球体积的推导继承根据李淳风的注，祖暅球体积的

37、推导继承(jchng)了刘徽的了刘徽的路线，即从计算路线，即从计算“牟合方盖牟合方盖”体积来突破。体积来突破。取牟合方盖的八分之一，然后考虑它与它取牟合方盖的八分之一，然后考虑它与它的外切正方体所围成的立体，并如图的外切正方体所围成的立体，并如图那样将那样将它再剖分成三个小立体，将这三个小立体单画它再剖分成三个小立体，将这三个小立体单画出来分别如图出来分别如图，。同时考虑一个以外。同时考虑一个以外切正方体上底面为底、以该正方体切正方体上底面为底、以该正方体一边为垂直边的倒方锥一边为垂直边的倒方锥（图（图）。）。第四十五页，共75页。祖暅推证的关键祖暅推证的关键(gunjin)是以下的命题是以下

38、的命题 命命题题：倒倒方方锥锥的的体体积积，等等于于(dngy)三三个个小小立立体体，的的体体积积之之和和，因因此此也也等等于于(dngy)从从外外切切正正方方体体中中挖挖去去牟牟合合方方盖盖的的部分即立体部分即立体的体积：的体积：=+=如果证明了命题，那么倒方锥的体积(tj)容易知道是（是正方体边长，也是内切球半径长）。于是牟合方盖八分之一的体积(tj)应为，整个牟合方盖体积(tj)为。根据刘徽已经证过的结果，应有下列关系：根据刘徽已经证过的结果，应有下列关系：第四十六页，共75页。祖暅原理祖暅原理(yunl)与球体积公式与球体积公式刘徽原理(yunl)与“牟合方盖”用水平截面去截球和“牟合

39、方盖”，可知截面的面积之比恒为：4，于是由刘徽原理(yunl)立即得到V球:V牟=：4即V球=（/4）V牟。第四十七页，共75页。“小方盖差小方盖差”与球体积与球体积(tj)公公式式左图，小牟合方盖中，左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水平截平面得到是小牟合方盖被水平截平面得到(d do)正方形的一边，设为正方形的一边，设为a，UQ是球半径是球半径r，UP是高是高h。根据勾股定理得。根据勾股定理得a2=r2 h2;这正是截平面这正是截平面PQRS的面积的面积 中图，小方盖差在等高处的截面面积等于中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2 a2=h2，右图，底边为右图，底边为r，高也是，高也是

40、r的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也是的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也是h2 根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱锥根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱锥(lngzhu)的体积相的体积相等。等。第四十八页，共75页。设则有，由勾股定理(udnl)，故但在高但在高h 处倒方锥处倒方锥V 的截面积显然的截面积显然(xinrn)也等于也等于 。这就是说，在任一相同的高处这就是说，在任一相同的高处(o ch)立体立体I（注意在方体中已挖去牟合方盖部分）的截面积都（注意在方体中已挖去牟合方盖部分）的截面积都与倒方锥与倒方锥V的截面积相等。的截面积相等。这这时时祖祖暅暅提提出出了了一一条条原原理理说

41、说：“幂幂势势既既同同，则则积积不不容容异异”。应应用用这这一一原原理理，命命题题的的证证明明不不言言而而喻。喻。至于关键命题的证明，祖暅考察在高至于关键命题的证明，祖暅考察在高h 处的水平截面，如图所示容处的水平截面，如图所示容易看出：三个小立方体易看出：三个小立方体，的截面积的截面积 ASQP,CTQR 与与BSQT合并在一起应等于正方体截面积合并在一起应等于正方体截面积ABCD 与牟合方盖部分的截面积与牟合方盖部分的截面积PQRD之差，即之差，即第四十九页，共75页。概言之，祖暅推导几何图形体积概言之，祖暅推导几何图形体积(tj)公式的方法是以下列两条原理为公式的方法是以下列两条原理为基

42、础：基础：（1）出入）出入(chr)相补原理；相补原理；（2）祖祖氏氏原原理理(yunl)：幂幂势势既既同同，则则积积不不容容异。异。祖祖氏氏原原理理在在西西方方文文献献中中称称“卡卡瓦瓦列列利利原原理理”，1635年年意意大大利利数数学学家卡瓦列利家卡瓦列利(B.Cavalieri)独立提出，对微积分的建立有重要影响。独立提出，对微积分的建立有重要影响。第五十页，共75页。刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到南北朝时代中国古典数学中出现的论证倾向，以及这种倾向所达

43、到的高度。祖冲之父子的方法都记载在缀术中。缀术在隋、的高度。祖冲之父子的方法都记载在缀术中。缀术在隋、唐时期曾与九章算术一起被列为官学教科书，但隋书唐时期曾与九章算术一起被列为官学教科书，但隋书(su sh)律历志中已说：律历志中已说：“学官莫能究其深奥学官莫能究其深奥”了！缀术于公了！缀术于公元元10世纪在中国本土完全失传。世纪在中国本土完全失传。第五十一页，共75页。中国中国(zhn u)数学家祖暅数学家祖暅祖冲之的儿子祖暅，也是一位杰出的数学家，他继承他父祖冲之的儿子祖暅，也是一位杰出的数学家，他继承他父亲的研究，创立了球体体积的正确算法亲的研究，创立了球体体积的正确算法(sun f)。

44、在天文。在天文方面，他也能继承父业。小时习学家传的学业，深入研究方面，他也能继承父业。小时习学家传的学业，深入研究的十分精细，也有灵巧的心思。技艺达到神妙的境地，就的十分精细，也有灵巧的心思。技艺达到神妙的境地，就是古代传说中的鲁班和倕（传说为舜时的巧匠）这样的巧是古代传说中的鲁班和倕（传说为舜时的巧匠）这样的巧匠也难以超过他。匠也难以超过他。他曾著天文录三十卷，天文录经要诀一卷，可惜他曾著天文录三十卷，天文录经要诀一卷，可惜这些书都失传了。他父亲制定的大明历，就是经他三这些书都失传了。他父亲制定的大明历，就是经他三次向梁朝政府建议，才被正式采用的。他还制造过记时用次向梁朝政府建议，才被正式采

45、用的。他还制造过记时用的漏壶造得很准确，并且作过一部漏刻经。的漏壶造得很准确，并且作过一部漏刻经。第五十二页，共75页。中国中国(zhn u)数学家祖暅数学家祖暅祖冲之与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体体祖冲之与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是：积的计算。他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则幂势既同，则积不容异。积不容异。”意即：位于两平行平面之间的两个立体，被意即：位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。相等，则这两

46、个立体的体积相等。在西方被称为在西方被称为(chn wi)“卡瓦列利原理卡瓦列利原理”，但这是在祖，但这是在祖冲之以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利冲之以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）发现的。）发现的。第五十三页，共75页。祖暅之子祖暅之子(zh z)祖皓祖皓暅之子皓，志节慷慨，有文武才略。少传家业，善算历。大同中为江都令，后拜广陵太守（相当于现在的警备区司令）。祖皓在一次战争中失利而亡。南史记载：“城陷，皓见执，被缚射之，箭遍体，然后车裂以徇。城中无少长，皆埋而射之。”又一位在数学上有天才(tinci)、有才能的人才，白白为了皇家送了命。注：祖冲之的孙子祖皓，也传

47、家学，擅长历算。只可惜，南注：祖冲之的孙子祖皓，也传家学，擅长历算。只可惜，南朝梁武帝末年降将侯景叛乱朝梁武帝末年降将侯景叛乱(pnlun)，到处烧杀掠夺，祖，到处烧杀掠夺，祖皓被杀，祖氏科学世家，被乱臣覆灭了。皓被杀，祖氏科学世家，被乱臣覆灭了。苟全性命于乱世，不求闻达于苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。诸侯。-诸葛亮诸葛亮第五十四页，共75页。3.2.33.2.3算经十书算经十书 隋唐时期中国数学发展的两件大事隋唐时期中国数学发展的两件大事(dsh)是数学教育制度是数学教育制度的建立和数学典籍的整理的建立和数学典籍的整理。7世纪初，隋代开始在国子监中设立“算学”，并“置博士、助教、学生等员”

48、，这是中国封建教育中数学专科教育的肇端。唐代不仅(bjn)沿袭了“算学制度”，而且还在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”，考试及第者也可做官，不过只授予最低官阶。第五十五页，共75页。“算学算学”制度及明算开科都需要适用的教科书，唐高宗亲自下令对制度及明算开科都需要适用的教科书，唐高宗亲自下令对以前的十部数学著作进行注疏整理。受诏负责这项工作的是李淳风（约以前的十部数学著作进行注疏整理。受诏负责这项工作的是李淳风（约604-672），公元），公元(gngyun)656年编成以后，成为国学的标准数学教科年编成以后，成为国学的标准数学教科书，称书，称“十部算经十部算经”或或“算经十书算经十书”

49、。这十部算经分别是：。这十部算经分别是：周髀算经、九章算术、海岛算经、周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子孙子(sn zi)算经、张邱建算经、夏侯阳算算经、张邱建算经、夏侯阳算经、五曹算经、五经算术、缀术和经、五曹算经、五经算术、缀术和缉古算经。缉古算经。其其中中缀缀术术在在唐唐、宋宋之之交交失失传传以以后后(yhu)，宋宋代代刊刊刻刻的的算算经经十十书书中中便便以以南南北北朝朝时时期期北北周周人人甄甄鸾鸾所所著著数数术术记记遗遗来来替替补补。甄甄鸾鸾也也是五曹算经、五经算术的作者。是五曹算经、五经算术的作者。第五十六页，共75页。（一）孙子（一）孙子(sn zi)算经与算经与“物不知数物不知数

50、”问题问题 孙子算经作者不详，大约是公元孙子算经作者不详，大约是公元4世纪的作品，全书世纪的作品，全书3卷，卷，卷上有今天仅存的中国筹算卷上有今天仅存的中国筹算(chu sun)法则的记载法则的记载。孙孙子子算算经经最最著著称称(zhchng)于于世世的的是是卷卷下下的的“物物不不知知数数问问题题”：“今今有有物物不不知知其其数数，三三三三数数之之剩剩二二，五五五五数数之之剩剩三三，七七七七数数之之剩二，问物几何？剩二，问物几何？”这相当于求解一次同余组这相当于求解一次同余组第五十七页，共75页。答曰：二十三答曰：二十三术曰：三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，术曰：三三数之剩二，置一百四

51、十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十置六十三，七七数之剩二，置三十(sn sh)，并之，并之，得二百三十得二百三十(sn sh)三，以二百一十减之，即得三，以二百一十减之，即得凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得二十一，七七数之剩一，则置十五，即得”第五十八页，共75页。孙孙子子算算经经给给出出的的答答数数是是符符合合条条件件的的最最小小正正数数(zhngsh)解解 ，“物不知数物不知数”题术文指示了解题方法，列成算式就是：题术文指示了解题方法，列成算式就是：孙子算经还说明对任意余数，只要将算式

52、中的2，3，2换成，并调整105的系数就行了。这是今天关于一次同余组一般解法的剩余定理的特殊形式。孙子问题引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法-“大衍求一术”。现代(xindi)文献中往往把求解一次同余组的剩余定理称为“中国剩余定理”，或直称“孙子定理”。第五十九页，共75页。古典数学(shxu)的形成与发展时期明代程大位算法统宗三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。七子团圆正月半，除百零五便得知。宋代周密志雅堂杂钞卷下“鬼谷算”三岁孩儿(hi r)七十稀，五留廿一事尤奇。七度上元重相会，寒食清明便可知。第六十页，共75页。孙子算经孙子算经全书共3卷，其中的算题趣味性较强，著名的“雉兔同笼”、“

53、兽禽同笼”、“望九隄”等问题(wnt)。“雉兔同笼”问题(wnt)：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？第六十一页，共75页。孙子算经卷下第26题，“物不知数”问题今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？“三、三数之剩二，置一百(y bi)四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百(y bi)六以上，以一百(y bi)五减之，即得。”孙子算经给出解答是：第六十二页，共75页。（二）张邱建算经和（二）张邱建算

54、经和“百鸡问题百鸡问题(wnt)”(wnt)”张张邱邱建建算算经经三三卷卷，据据考考大大约约(dyu)成成书书于于公公元元466485年年间间，作作者者张张邱邱建建是是北北魏魏时时人人张张邱邱建建算算经经卷卷下下最最后后一一题题通通常常称称“百百鸡鸡问题问题”：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一凡百(fnbi)钱买鸡百只问鸡翁、母、雏各几何?”第六十三页，共75页。张邱建算经张邱建算经是南北朝时期的一部数学著作，成书时间大约(dyu)在466485年间，作者是北魏人。张邱建算经分上、中、下三卷，其中所列的题目，大部分都是现实的实际问题。这部著作在中国数学史上居有一定的地位，有

55、些题目和解法超出了九章算术的范围。第六十四页，共75页。此题相当于解不定此题相当于解不定(bdng)方程组：方程组：张邱建给出所有张邱建给出所有(suyu)可能的正整数解可能的正整数解:第六十五页，共75页。(三三)缉古算经与三次缉古算经与三次(sn(sn c)c)方程方程 缉缉古古算算经经是是十十部部算算经经中中年年代代最最晚晚的的一一部部，作作者者王王孝孝通通是是唐唐初初人人，缉缉古古算算经经也也是是一一本本实实用用(shyng)问问题题集集，用用“开开带带从从立立方方法法”解解决决工工程程问问题题，“开开带带从从立立方方法法”就就是是求求三三次次方方程程正根的数值解法，书中给出了正根的数

56、值解法，书中给出了28个形如个形如的的正正系系数数方方程程(fngchng)及及其其正正有有理理根根，但但没没有有解解题方法题方法 缉古算经是世界上最早讨论三次方程组代数解法的著作高缉古算经是世界上最早讨论三次方程组代数解法的著作高次方程的数值解法，在宋、元时期得到了高度发展次方程的数值解法，在宋、元时期得到了高度发展 第六十六页，共75页。缉古算经缉古算经的作者是王孝通，唐代初期(chq)人，他对九章算术和缀术都有深入的研究，校算过历书。他从土木工程和天文历法的实际需要出发，对复杂的立体求积问题和天文测算问题，进行钻研，创造了三次方程布列和求解的方法。缉古算经共列20个问题，大都归结为一个三

57、次方程求解。第六十七页，共75页。如第15题，其大意(dy)是“已知勾股相乘积，弦多于勾，求勾a，股b，弦c”王孝通的解法如下：得关于a的三次方程第六十八页，共75页。例题(lt)1、在中算史上，刘徽首先建立了可靠的理论来推算(tusun)圆周率，他所算得的“徽率”是()。A、3.1B、3.14C、3.142D、3.14159262、下列数学著作中不属于“算经十书”的是()。A、数书九章B、五经算术C、缀术D、缉古算经第六十九页，共75页。例题(lt)3周髀算经和（）是我国古代两部重要的数学著作。A.孙子算经B.墨经C.算数书D.九章算术4中国数学史上最先完成勾股定理证实的数学家是()A.周公

58、后人荣方与陈子B.三国时期(shq)的赵爽C.西汉的张苍、耿寿昌D.魏晋南北朝时期(shq)的刘徽5世界上第一个把计算到3.14159263.1415927的数学家是()A.刘徽B.阿基米德C.祖冲之D.卡瓦列利第七十页，共75页。例题(lt)6海岛算经的作者海岛算经的作者(zuzh)是是_刘徽刘徽_，四元玉鉴的作者四元玉鉴的作者(zuzh)是是_朱世杰朱世杰_.7中国古代把直角三角形的两条直角边分别称中国古代把直角三角形的两条直角边分别称为为 勾勾 和和 股股 ，斜边称为，斜边称为 弦弦 .8徽率、祖率徽率、祖率(或密率或密率)、约率分别是、约率分别是 、和和 .9我国古代数学家刘徽用来推算

59、圆周率的方法我国古代数学家刘徽用来推算圆周率的方法叫叫_割圆术割圆术_术，用来计算面积和体积的一术，用来计算面积和体积的一条基本原理是条基本原理是_出入相补原理出入相补原理_原理原理.第七十一页，共75页。例题(lt)10.请给出勾股定理的两种证明方法，要求画图并写请给出勾股定理的两种证明方法，要求画图并写出简要推导出简要推导(tudo)过程过程.11.用九章算术中的盈不足术解下面问题：用九章算术中的盈不足术解下面问题：“今今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何数、物价各几何”？第七十二页，共75页。例题例题(lt)12.请简述

60、刘徽证明阳马的体积公式为其三条直角边乘积请简述刘徽证明阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一的过程的三分之一的过程.13.中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时期的赵爽。请作出赵爽证明勾股定理的期的赵爽。请作出赵爽证明勾股定理的“弦图弦图”，并叙述，并叙述其证明方法其证明方法.14.试论述探究勾股定理的证明在初中数学教学中的意义，试论述探究勾股定理的证明在初中数学教学中的意义，并给出勾股定理的三个推广结论并给出勾股定理的三个推广结论.15.试论述数学如何促进试论述数学如何促进(cjn)社会进步社会进步.第七十三页，共75页。作业作业(zuy):简答：简答：1.请列举九章算术各章的名称和主要研请列举九章算术各章的名称和主要研究内容究内容(nirng).2.请列出请列出“算经十书算经十书”所包括的古算书书名所包括的古算书书名.3.请简述几何原本和九章算术的思请简述几何原本和九章算术的思想方法特点，并比较两者的异同想方法特点，并比较两者的异同.第七十四页，共75页。谢谢 谢！谢！第七十五页，共75页。