矢量分析基础2

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1、矢量分析基础2 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2课程要求网站：http:/ 助教：1015，周玮李政道著 物理学中的数学方法 第一章,矢量与张量分析第二章,n维空间中的线性代数第三章 按正交函数系展开 鲁滨著 物理学中的数学 第三章 外微分形式 3经典物理学中的矢量4内容矢量分析坐标变换笛卡尔张量微分运算5矢量分析矢量（广义）：既有大小又有方向的量速度，加速度，动量。几何表述：有向线段代数表示：有序数组标量（广义）：只有大小没有方向的量能量，质量。

2、6矢量空间定义域 K：常见为实数域或复数域矢量空间 V：矢量集合矢量的分量取值于定义域 K加法运算数的乘法运算7矢量空间满足运算规则：交换律结合律分配律存在零元 0存在恒元存在逆元8矢量空间的维数和基若矢量空间中的任一矢量均可用某组线性无关的矢量组合表达，则这组矢量称为该矢量空间的基，其中矢量的个数称为该矢量空间的维数9线性无关对任意矢量，其用基的组合表达是唯一的若设与线性无关矛盾10存在无穷多个基线性无关保持，基的个数保持11内积（标量积、点乘）两个矢量的内积为标量交换律分配率Schwarz不等式12正交归一基基若且则称为正交归一基13单位正交矢量Kronecker 符号14Einstein

3、 求和规则只能两个指标重复，不能三个或以上指标重复求和指标只要不和其他指标重复，可任意替换重复指标求和重复指标求和15重复指标只重复指标只能是成对的能是成对的指标可随意指标可随意调换调换16外积（矢量积、叉乘x）两个矢量（三维）的外积为矢量雅可比恒等式分配率反对称性17外积的几何外积的大小对应于由俩矢量构成的平行四边形面积外积的方向由右手法则决定，垂直于俩矢量组成的平面18角动量、力矩。轴矢量，镜面反射改变手性19三维矢量叉乘的行列式表示20三维 Levi-Civita 符号212223正交归一基上的投影新基和旧基的关系正交变换关系（基的变换）24变换矩阵正交变换：从正交归一基变换到正交归一基

4、正交变换关系（基的变换）25变换矩阵正交变换关系（矢量变换）逆变换26二维正交变换27二维正交变换28二维正交变换的基的变换关系29二维正交变换的矢量变换关系30主动变换与被动变换被动变换：矢量没有动，坐标系变换主动变换：坐标系不动，矢量变换被动转动q角等价于主动转动-q角31三维转动变换z0y0 x0zyxz0y0 x0zyxy0z0yx0 xzyqyzy0 x0zyxqxEuler angle32三维转动变换（进动）z0y0 x0zyxz0y0 x0zyx33三维转动变换（章动）z0y0 x0zyxy0z0yx0 xzyq34三维转动变换（自转）y0z0yx0 xzyqyzy0 x0zyx

5、qxEuler angle35三维转动变换36一般线性变换基的变换基的逆变换矢量变换矢量逆变换37有大小方向的量（有序数组），同时满足某种变换关系，则称为该变换关系下的矢量例：牛顿力学认为时空矢量是伽利略变换矢量狭义相对论认为时空是Lorentz变换矢量严格的矢量定义38矢量内积列矩阵，行矩阵为矢量，方阵是什么？笛卡尔张量39并积若某量有两个方向，称二阶张量进一步要求其满足变换笛卡尔张量40两个矢量的并积为矢量但多数矢量不能表示为两个矢量的并积两个矢量共2n个变量，一个二阶张量有n2个变量若方程数不够（n2）笛卡尔张量41对称张量反对称张量任意二阶方程都可分解成对称张量和反对称张量的和笛卡尔张

6、量42为作用在三个面上的力应力43各向同性：系统对外场的反应和外场方向相同且反应强度相同各向异性：系统初在外场方向有反应外还在其他方向有反应极化44刚体的角动量：转动惯量：转动惯量三维二阶反对称张量三个独立变量可与一矢量对应4546高阶张量：具有n个方向（指标）的量，称n阶张量有多个方向的量（有序数组），同时满足某种变换关系，则称为该变换关系下的矢量笛卡尔张量是正交变换下的张量严格的张量定义笛卡尔张量运算(I)线性组合：两个同阶张量的和仍为该阶张量直积：一个m阶张量直积一个n阶张量为一个m+n阶张量47笛卡尔张量运算(II)缩并：张量的两个指标求和之后得到低二阶的张量内积：一个m阶张量直积一个

7、n阶张量后对属于原不同张量的两指标缩并后得到m+n-2阶张量48笛卡尔张量运算(III)微商：张量的导数为高一阶张量整体变换笛卡尔张量运算(IV)定义（n小于空间维数）：外积：一个m阶张量直积一个n阶张量后反对称化（m+n小于空间维数）例如矢量叉乘50笛卡尔张量运算(V)外导数运算：D 称外微分算子标量的外导数为梯度（矢量）矢量的外导数为旋度（二阶张量）任何张量的两次外导数运算为零51三维欧几里德空间中的微分运算直角坐标系下的微分算子：标量的导数为梯度（矢量）微分算子以内积方式作用于矢量称散度（标量）微分算子以外积方式作用于矢量称旋度（矢量）52散度旋度的意义散度不为零意味着有源：闭合曲面上某

8、矢量的通量等于该曲面包含空间内该矢量散度的积分旋度不为零意味着矢量场闭合某矢量沿在闭合曲线上的积分等于该矢量的旋度在该曲线包围曲面上的积分53流守恒方程流出某区域的量等于该区域内量的减少积分形式微分形式54单位时间内流出S的总量单位时间内单位时间内V中量的增加中量的增加三维欧几里德空间中的微分运算直角坐标系下的微分算子作用在其后的所有变量上不能与所作用的变量随意对换位置梯度的旋度为零旋度的梯度为零55势标量势（无旋场必有标量势）矢量势（无源场必有矢量势）规范变换（势不是唯一的）56例：电动力学Maxwell方程矢量势静电场标量势一般情况57两点间的距离三维直角坐标系球坐标系58注意：该变换非线性变换注意：该变换非线性变换两点间的距离直角坐标系做坐标变换正交变换球坐标系非笛卡尔坐标系59度规张量度规张量笛卡尔坐标和一般正交坐标一般正交坐标笛卡尔坐标60此处此处 hi 指标指标不是不是求和指标求和指标笛卡尔坐标和一般正交坐标一般正交坐标系坐标笛卡尔坐标系坐标考虑梯度61例：二维极坐标62笛卡尔坐标和一般正交坐标一般正交坐标系坐标笛卡尔坐标系坐标归一化基二维极坐标63