等比数列的前n项和公式第一课时

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1、等比数列的前n项和公式第一课时 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 设计过程设计过程 教学目标教学目标教材分析教材分析教学过程教学过程学情分析学情分析教学方法教学方法 教材的地位和作用教材的地位和作用 课时安排和说明课时安排和说明教学目标与重难点教学目标与重难点教材分析教材分析 数列是高中代数中的重要内容数列是高中代数中的重要内容,首先首先它有着广它有着广泛的实际应用泛的实际应用,例如产品的规格设计、储蓄、分期例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计

2、算等。付款的有关计算等。其次其次它还是培养学生数学能力它还是培养学生数学能力的良好题材的良好题材,学习数列要经常观察、分析、猜想、学习数列要经常观察、分析、猜想、归纳归纳,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高问题，这些都有利于学生数学能力的提高.另外另外作作为一种特殊的函数为一种特殊的函数,它还有着承前启后的作用它还有着承前启后的作用,课课本把它排在五种基本初等函数的后面本把它排在五种基本初等函数的后面,使学生学习使学生学习了自变量连续变化的函数了自变量连续变化的函数,又接触了自变量离散变又接触了自变量离散变化的函数化

3、的函数,加深了学生对函数概念本质的理解加深了学生对函数概念本质的理解,使这使这一部分内容与前面知识接得更为紧密，同时一部分内容与前面知识接得更为紧密，同时,它是它是学习高等数学的基础学习高等数学的基础.为进一步学习数列的极限等为进一步学习数列的极限等内容打下基础。内容打下基础。教材的地位与作用教材的地位与作用 第一课时第一课时 主要解决等比主要解决等比数列前数列前n n项和公项和公式的形成的推导式的形成的推导过程、公式的特过程、公式的特点和初步应用等。点和初步应用等。课 时 安 排第二课时第二课时 侧重于解决等比侧重于解决等比数列前数列前n n项和公式项和公式的应用。的应用。教学目标教学目标

4、知识目标：知识目标：等比数列前等比数列前n n项项和公式的推和公式的推导导方法；方法；能力目标：能力目标：渗透特殊到一般、类比与转化数学渗透特殊到一般、类比与转化数学思想；思想；并并进进一步加一步加强强分类与讨论分类与讨论的意的意识识。情感目标：情感目标：通通过过丰富的丰富的问题问题情境，培养学情境，培养学习习数学的数学的兴兴趣趣；通通过过探索式学探索式学习习模式，培养学生的模式，培养学生的创创新精神；新精神；通通过质过质疑反思，培养疑反思，培养学生思维的深刻性学生思维的深刻性；等比数列前等比数列前n n项项和公式及和公式及应应用。用。教学重点：等比数列前等比数列前n项和公式和应用项和公式和应

5、用.教学难点：等比数列前等比数列前n n项和公式的推导项和公式的推导。依据:这部分知识有广泛的实际应用这部分知识有广泛的实际应用,很多很多问题都要转化到等比数列求和上来。问题都要转化到等比数列求和上来。依据:学生对这项学习内容的学生对这项学习内容的“熟悉度熟悉度”不不 高，原有知识薄弱，不易理解。而本高，原有知识薄弱，不易理解。而本节的求和方法是高中代数数列求和方节的求和方法是高中代数数列求和方法中最常用的方法之一：法中最常用的方法之一：“错位相减错位相减法法”，后续学习的过程经常用到，而，后续学习的过程经常用到，而这里是第一次使用，必须讲清讲透。这里是第一次使用，必须讲清讲透。学情分析学情分

6、析 认知认知能力能力情感情感学情分析学情分析 认知认知1.学生学习了等差数列、等比学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等数列的概念及通项公式，等差数列的前差数列的前n项和公式的基项和公式的基础上进行的，学生对数列有础上进行的，学生对数列有一定的认识。一定的认识。2.第一次接触第一次接触“错位相减法错位相减法”能力能力情感情感能力能力学情分析学情分析 1.1.初步具备运用初步具备运用所学知识解决所学知识解决问题的能力问题的能力.2.2.类比和分类的类比和分类的意识还需进一意识还需进一步地加强步地加强.认知认知情感情感1.1.多数学生有积极的多数学生有积极的学习态度，能主动学习态度，能主

7、动参与研究参与研究.2.2.少数学生的学习主少数学生的学习主动性，还需要通过动性，还需要通过营造一定的学习氛营造一定的学习氛围来加以带动围来加以带动.学情分析学情分析 认知认知能力能力情感情感教学方法：教学方法：引导与探索相结合的教学方法。引导与探索相结合的教学方法。教学手段：教学手段：利用多媒体等教学手段。利用多媒体等教学手段。目的：目的：再现过程，突破障碍。提高效率，激发兴趣。再现过程，突破障碍。提高效率，激发兴趣。学法指导：学法指导：当今课程改革的一个重要内容是改善学生当今课程改革的一个重要内容是改善学生的学习方式。因此在教学中，通过引导学的学习方式。因此在教学中，通过引导学生进行反思，

8、使学生发现推导方法的本质，生进行反思，使学生发现推导方法的本质，从而培养学生合情推理能力，逻辑思维能从而培养学生合情推理能力，逻辑思维能力，科学思维方式和自学能力以及勇于探力，科学思维方式和自学能力以及勇于探索的精神。索的精神。教学策略教学策略 -支架式教学法支架式教学法 情境创设情境创设公式推导公式推导公式公式应用应用 小结回顾小结回顾 创设情境创设情境 张三因近段时张三因近段时间资金紧张，到富间资金紧张，到富人李四家借钱人李四家借钱.在在30天中，我天中，我每天借给你每天借给你10万元万元.从借钱第一天，你还从借钱第一天，你还1分钱，第二天还分钱，第二天还2分钱，分钱，以后每天所还的钱数以

9、后每天所还的钱数都是上一天的两倍，都是上一天的两倍，30天后互不相欠。怎天后互不相欠。怎么样么样?唉唉,他的利息是他的利息是多少多少,能不能借能不能借呀呀!如果你是如果你是张三张三,会借会借这个钱吗这个钱吗?廉价的利息廉价的利息 以以故故事事引引课课，激激发发学学生生的的学学习习兴兴趣趣，体体现现数数学学知知识识就就是是力力量量，增增强强学学生生学学习习数数学的使命感。学的使命感。创设情境创设情境设计意图设计意图 标题廉价的利息与实际结果的巨大标题廉价的利息与实际结果的巨大差距，使学生加深本节课推导过程的回顾。差距，使学生加深本节课推导过程的回顾。以数学建模的思想分析本题，它存在两以数学建模的

10、思想分析本题，它存在两个等比数列，公比分别为个等比数列，公比分别为1 1和和2 2，为后面的公，为后面的公式的分类打下伏笔。式的分类打下伏笔。创设情境创设情境数列数列bn是以是以1为首项，为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列:S30=1+2+4+229设计意图设计意图:让学生学会分析问题，探索问题，将实让学生学会分析问题，探索问题，将实际问题转化为数学问题的数学建模法，获得亲自参际问题转化为数学问题的数学建模法，获得亲自参与研究的体验；与研究的体验；数列数列是以是以10为首项，为首项，1为公比为公比的等比数列，即常数列。的等比数列，即常数列。张三所借到的钱：张三所借到的钱：S=10+10

11、+10=300(万元)推导公式推导公式这个求值过程是本节课的这个求值过程是本节课的难点难点,突破突破方法：方法：(1)明确难点、分解难点，采用层层推明确难点、分解难点，采用层层推导延伸法，利用学生已有的知识切入，化陌生导延伸法，利用学生已有的知识切入，化陌生为熟悉。为熟悉。(2)引导学生观察上式的特点，发现上式中，引导学生观察上式的特点，发现上式中，每一项乘以每一项乘以2后都得它的后一项，即有，发现两后都得它的后一项，即有，发现两式右边有式右边有30项相同，启发同学们找到解决问题项相同，启发同学们找到解决问题的关键是等式左右同时乘以的关键是等式左右同时乘以2，相减得和，相减得和。推导公式推导公

12、式推导公式推导公式 设等比数列设等比数列an公比为公比为q（q1),求其前求其前n项和为项和为sn类比类比得出结论得出结论特殊到一般特殊到一般推导公式推导公式推导公式推导公式 设等比数列设等比数列an公比为公比为q（q1),求其前求其前n项和为项和为sn类比类比得出结论得出结论特殊到一般特殊到一般提问：在刚才的求和过程提问：在刚才的求和过程中，为什么要中，为什么要乘以乘以2 2，2 2代代表的是什么表的是什么？推导公式推导公式sn=a1+a2+a3+an 根据等比数列的通项公式根据等比数列的通项公式,上式可写成上式可写成sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1 (1)(1)的两边乘以的两边乘

13、以q得得,qsn=a1q1+a1q2+a1qn-1+a1qn (2)(1)的两边分别减去的两边分别减去(2)的两边的两边,得得(1-q)sn=a1-a1qn推导公式推导公式当当q=1时显然时显然,有有sn=na1由此得到由此得到q1时，等比数列的前时，等比数列的前n项和的公式项和的公式1.1.指出刚才的求和方法是常用的数列求和方法指出刚才的求和方法是常用的数列求和方法错位相减法错位相减法，以后学习的过程经常用到。要，以后学习的过程经常用到。要求学生掌握方法的步骤：求学生掌握方法的步骤：1 1移移2 2乘乘3 3减。减。2.2.对公式的特征要加以说明，尤其是对公式的特征要加以说明，尤其是q=1q

14、=1这种特殊这种特殊 性要强调指出。帮助学生弄清其形式和本质，明确性要强调指出。帮助学生弄清其形式和本质，明确其内涵和外延，为灵活运用公式打下基础。其内涵和外延，为灵活运用公式打下基础。3 3公式的证明还有两种方法：运用等比数列的定公式的证明还有两种方法：运用等比数列的定义和连比定理都可得到义和连比定理都可得到。推导公式推导公式公式的应用公式的应用 公式的应用这个过程也是本节课公式的应用这个过程也是本节课的的重点重点之一，突出之一，突出重点重点方法：方法：(1)明明确重点。运用比较法来突出公式的内确重点。运用比较法来突出公式的内容。容。(2)运用纠错法对公式中学生容运用纠错法对公式中学生容易出

15、错的地方，即公式的条件，以精易出错的地方，即公式的条件，以精练的语言给予强调：练的语言给予强调：q=1时的特殊情时的特殊情形。形。公式的应用公式的应用例一：求等比数列例一：求等比数列1/2,1/4,1/8,.的前的前8项的和项的和.学生解法：解学生解法：解因为因为q=1/2 1再次提示学生公式的前提再次提示学生公式的前提:q 1公式的应用公式的应用例二：求数列 前n项的和。错解1：错解2：当a=1时，有sn=na当a1时，有公式的应用公式的应用解法解法3：当当a=1时，有时，有sn=na 当当a1,且且a0时，有时，有当当a=0时，有时，有sn=0设计意图：设计意图：本例为补充例题本例为补充例

16、题,它能使学生进一它能使学生进一步领会公式中的分类讨论思想步领会公式中的分类讨论思想,特别是分类要全特别是分类要全面面.(本题要多考虑本题要多考虑a=0与与a=1这两种情况这两种情况)公式的应用公式的应用例三：某商场第一年销售计算机例三：某商场第一年销售计算机5000台台,如果如果平均每年的销售量比上一年增加平均每年的销售量比上一年增加10,那么从第那么从第一年开始一年开始,约几年内可使总销售量达到约几年内可使总销售量达到30000台台(保留到个位保留到个位)？设计意图：例一和例三是课本中的两个例子例一和例三是课本中的两个例子,之之所以保留是因为它能很好地反映大纲中规定的所以保留是因为它能很好

17、地反映大纲中规定的教学目标与任务教学目标与任务,另外它和本节课的重点、难点另外它和本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。尤其是例三有相对应的匹配关系。尤其是例三,它还能使用它还能使用学生体会数学知识来源于实践又服务于实际学生体会数学知识来源于实践又服务于实际.课堂练习课堂练习:P1281.根据下列各题中的条件，求相应的等比数列an的s ：(1).a1=3,q=2,n=6;(2).a1=2.4q=1.5,n=5(3).a1=8,q=,an=;(4).a1=2.7,q=,an=2（1）求等比数列1，2，4从第5项到第10项的和；（2）求等比数列 ，从第3项到第7项的和；小结：通过这堂课，你学到了什

18、么？通过这堂课，你学到了什么？给你留下印象最深的是什么给你留下印象最深的是什么？你还有一些什么想法？你还有一些什么想法？作业：必做题：习题必做题：习题P135：1(1,3)1(1,3)、2 2、4 4小结与回顾小结与回顾选做题：看课本选做题：看课本P.127例例3，并思考，并思考例例3中的条件：中的条件：x0，x1，y1除去后，除去后，运算结果会发生变化吗？运算结果会发生变化吗？研究性作业：能否对错位相减法的研究性作业：能否对错位相减法的应用进行推广？应用进行推广？思考求思考求12+222+323+n2n的和。的和。让不同的学生都能做相应的题让不同的学生都能做相应的题,体现因材施教原则体现因材

19、施教原则作业设计意图作业设计意图:建构主义理论认为：知识不是被动接受的建构主义理论认为：知识不是被动接受的,而是认知主体积极主动建构的而是认知主体积极主动建构的.本课的教学设计正本课的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设创设情境情境探究公式探究公式拓展应用拓展应用”的活动过程的活动过程,体体验参与数学知识的发生、发展过程验参与数学知识的发生、发展过程,以期提高学生以期提高学生学习数学的兴趣学习数学的兴趣,进一步体会进一步体会“数学就在我们的身数学就在我们的身边边”,”,发展发展“用数学用数学”的意识和能力的意识和能力,成为积极主成为积极主动的建构者动的建构者.本课时的设计还依据新课程所倡导本课时的设计还依据新课程所倡导的教学理念的教学理念,注重课程的发生和开发过程注重课程的发生和开发过程,注重师注重师生交往、互动、共同发展的过程生交往、互动、共同发展的过程,关注学生的发展关注学生的发展和情感体验和情感体验.附加:教学设计的说明