数值分析课件典型例题与习题1

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1、 数 值 分 析 典 型 例 题 I一 、 二 章 内 容 提 要典 型 例 题 分 析例 题 与 练 习 题实 验 题 介 绍 化 大 为 小 化 繁 为 简 化 难 为 易 核 心 的 概 念 误 差算 法 的 构 造 与 分 析 收 敛 性 稳 定 性 复 杂 度 (时 间 与 空 间 )等 2:23 有 效 数 字 概 念若 近 似 值 x 的 绝 对 误 差 限 是 某 一 位 上 的 半 个单 位 ,该 位 到 x 的 第 一 位 非 零 数 字 一 共 有 n 位 ,则 称 近 似 值 x 有 n 位 有 效 数 字 。 2:23 * *.* *x 从 左 向 右 看 第 一 个

2、 非 零数 误 差 限 不 超 过 该 位 的 半 个单 位n位 有 效 数 字 nr axe 1051)(如 果 x具 有 n位 有 效 数 字 , 则 相 对 误 差 满 足: mnaaax 100 21 . nmxxxe 1021|)(|其 绝 对 误 差 满 足 :如 果 一 个 规 格 化 浮 点 数则 称 近 似 数 x具 有 n位 有 效 数 字 。 *lim ( )nn x x 0 1 0 1( ) ( )n nx x x x x 迭 代 法 思 想 : 2:23 收 敛 性 收 敛 速 度| ( )| 1x Iterate:To say or do again or agai

3、nandagain ( 1)( )( *) ( *) ( *) 0 ( *) 0 rrx x xx 例 1.经 过 四 舍 五 入 得 出 x1=6.1025和 x2=80.100,试 问 它 们 分 别 具 有 几 位 有 效 数 字 ?解 ： * 411 2| *| 10 x x * 312 2| *| 10 x x 例 2.已 知 近 似 数 x有 两 位 有 效 数 字 ,试 求 其 相 对误 差 限 。解 ： | er(x)|1000时 , Sn有 三 位 有 效 数 。 2arctan( ) 11d xdx x 20 1 arctan( ) arctan(0) arctan( )1

4、x dx x xx 2 31 1 ( 1 1)1 a a a aa 2 4 60 (1 )d arctan( )x a a a a x 3 5 71 arctan( )3 5 7x x x x 1 0ie 例 10.在 计 算 机 上 对 调 和 级 数 逐 项 求 和 计 算 nkn kS 1 1当 n很 大 时 ， Sn 将 不 随 n 的 增 加 而 增 加 。 试分 析 原 因 。 例 11. 证 明 方 程 1-x-sinx=0在 区 间 0,1上有 一 根 , 使 用 二 分 法 求 误 差 不 大 于 0.5*10-4的 根 需 要 二 分 多 少 次 ？提 示 : f(0)=1

5、, f(1)=-sin10。 且 f(x)=-1-cosx在 区 间 (0,1严 格 单 调 递 减 。 411 0 1 102 2n 例 12. 构 造 求 ex+10 x-2=0根 的 迭 代 法 。提 示 : (2 e )( ) 10 xx ( ) 10 xex 故 迭 代 法 算 法 一 阶 收 敛 。 例 13. 应 用 牛 顿 迭 代 法 于 方 程 x3 a=0,导 出 求 立 方 根 的 迭 代 公 式 ,并 讨 论 其 收 敛 阶 。解 ： 令 f(x) = x3 a， 则 牛 顿 迭 代 公 式 2231 3323 nnnnnn xaxx axxx 2332)( xaxx

6、33232)( xax 42)( xax * *( ) 0 ( ) 0 x x 且故 立 方 根 迭 代 算 法 二 阶 收 敛 例 14. 设 a 为 正 实 数 ,试 建 立 求 1/a 的 牛 顿 迭 代公 式 ,要 求 在 迭 代 公 式 中 不 含 有 除 法 运 算 ,并 考虑 迭 代 公 式 的 收 敛 。 xn+1 = xn(2 axn)， (n=0， 1， 2 ) kaxaxk 20)1(1 )1(11 20 kaxaxk 所 以 ,当 | 1 ax0| 0,迭 代 格 式21 2( 3 )3n nn nx x Cx x C *x C是 计 算 的 三 阶 方 法 。 例 1

7、6. * * *( ) 1 ( ) ( ) 0 x p x f x 解 : 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ), ( ) 0( )x x p x f x q x f xp x q x f xx 设 试 确定 函 数 和 使 求 解 根 的 迭代 格 式 至 少 三 阶 收 敛 。 2( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )x p x f x p x f x q x f x q x f x f x 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) (

8、 ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )x p x f x p x f x p x f x p x f xq x f x q x f x f x q x f x f xq x f x f x q x f x f x * * * * * * * 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 x p x f x p x f x q x f x ( ) 1/ ( )p x f x 3( )( ) 2 ( )f xq x f x Ex2. 若 x*是 f(x)=0的 m重 根 ,试 证 明 修 正 的 牛 顿迭 代 法 1 ( )( )nn n nf

9、 xx x m f x 至 少 为 二 阶 收 敛 。 1/ 1/ 1( ) ( ) ( ) 1/ ( ) ( )m mu x f x u x m f x f x 且 f(x)1/m或 f(x)/f(x)单 根1/ 1/ 1 ( ) (x)( ) 1/ ( ) ( ) ( )mmf x fx x x mm f x f x f x Ex3 对 于 复 变 量 z=x+iy 的 复 值 函 数 f(z) 应 用 牛 顿 迭 代 公 式 )( )(1 nnnn zf zfzz 时 为 避 开 复 数 运 算 ,令 zn=xn+iynf(zn)=An+iBn， f(zn)=Cn+iDn 证 明 221

10、 nn nnnnnn DC DBCAxx 221 nn nnnnnn DC CBDAyy 例 17. 提 示 : 取 初 值 x1=21/2,2 2 2 lim =2n nnx x 给 出 求 的 迭 代 格 式 ,并 证 明 。1 2n nx x 迭 代 格 式考 虑 序 列 单 调 有 界 ,则 该 序 列 必 有 极 限。 2:23 * *2.5 ( ) , ( )( ) 1, x x x xx 定 理 设 为 的 不 动 点 在 的 某 邻 域 连续 且 则 迭 代 法 局 部 收 敛 。例 18.: ( )x提 示 因 为 连 续 , 由 局 部 保 号 性 知 存 在 一 个 邻

11、域| ( )| 1,x L 有 且 有| ( )| 1,x L 有 且 有 * * *| ( ) | | ( ) ( )| | |0, 均 收 敛 于 21/2。21 21 2 ( 2)2 ( 2)n nn nx xx x 牛 顿 迭 代 法 的 收 敛 域 问 题 : 用 牛 顿 迭 代 法 求 解 方 程 zd 1 = 0的 复 根 。 例 如 d=3时 , 方 程 在 复 平 面 上 三 个 根分 别 是 iz 23212 iz 23213 z1 = 1选 择 中 心 位 于 坐 标 原 点 ， 边 长 为 2的 正 方 形 内 的任 意 点 作 初 始 值 ， 进 行 迭 代 ， 把

12、收 敛 到 三 个 根 的初 值 分 为 三 类 ， 并 分 别 标 上 不 同 颜 色 (例 如 红 、绿 和 蓝 )。 对 充 分 多 的 初 始 点 进 行 实 验 ， 绘 出 牛顿 迭 代 法 对 该 方 程 的 收 敛 域 彩 色 图 。 % Perform Newton iterations for k=1:maxIter; Z=Z-(f(Z,d)./fprime(Z,d); endfunction y=f(x,d); y=(x.d)-1;end function y=fprime(x,d); y=d*(x.(d-1);end代 码 片 段 1: % Find d roots of

13、 unity, and the mask for j=1:d root=exp(2*pi*i/d)j; % the jth root Mj=abs(Z-root); % distance % Each root gets a unique number in 1,d mask=(Mj=tol)*j; renderMat=renderMat+mask; end colormap(hsv); % Set the color map imagesc(renderMat) % Render the fractal代 码 片 段 2: 作 业题 目 1: 您 研 究 领 域 中 的 数 值 分 析 问 题 ？ 2:23题 目 2: 用 Newton迭 代 法 法 画 出 最 美 的 图形标 准 : 1. 图 形 美 2. 代 码 美要 求 : 1. m文 件 2. 说 明 文 档 (word或pdf)