第03课3月08日a

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1、7.67.6、高斯定理高斯定理 在静电场内，在静电场内，电场电场对任一闭合曲面的电通对任一闭合曲面的电通量等于这量等于这闭合面所包围的电量闭合面所包围的电量的代数和除以的代数和除以0 0 S注意：注意：式中的式中的 是是面元面元 所在处的所在处的 。场强和电通量取决于封闭曲面内场强和电通量取决于封闭曲面内的电荷、封闭曲面外的电荷还是空间的电荷、封闭曲面外的电荷还是空间所有的电荷？所有的电荷？7.67.6、高斯定理高斯定理 讨论：讨论：1)1)闭合面内、外电荷对闭合面内、外电荷对 都有贡献；都有贡献；对电通量对电通量的贡献有差别，的贡献有差别，只有闭合面内的电荷对电通量有只有闭合面内的电荷对电通

2、量有贡献。贡献。2)2)静电场性质的基本方程表明静电场是静电场性质的基本方程表明静电场是有源场有源场。3)3)源于源于库仑定律，库仑定律，高于高于库仑定律。库仑定律。高斯定理是关高斯定理是关于电场的普遍的基本规律。于电场的普遍的基本规律。7.67.6、高斯定理高斯定理 德德国国物物理理学学家家和和数数学学家家，在在实实验验物物理理和和理理论论物物理理以以及及数数学学方方面面作作出出了了很多贡献。很多贡献。1777 1777年年4 4月月3030日生于不伦瑞克的一日生于不伦瑞克的一个工匠家庭个工匠家庭,1855,1855年年2 2月月2323日卒于格丁日卒于格丁根。他根。他17951795年入格

3、丁根大学，年入格丁根大学，1798 1798 年转入黑尔姆施泰特大学，翌年获博年转入黑尔姆施泰特大学，翌年获博士学位。从士学位。从18071807年到年到18551855年逝世，他年逝世，他一直担任格丁根大学教授兼格丁根天一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长。文台台长。高高 斯斯（K.F.Gauss,1777K.F.Gauss,177718551855）高高 斯斯（K.F.Gauss,1777K.F.Gauss,177718551855）l高斯长期从事于数学并将数学应用于物理、天文学和大地高斯长期从事于数学并将数学应用于物理、天文学和大地测量学等领域的研究，著述丰富，共发表测量学等领域的研

4、究，著述丰富，共发表323篇（种）著作，篇（种）著作，提出提出404项科学创见（发表项科学创见（发表178项），完成项），完成4项意义重大的发项意义重大的发明：（日光）、回照器明：（日光）、回照器(1820)、光度计、光度计(1821)、电报、电报(1832)和磁强计和磁强计(1837)。l主要成就：主要成就：1物理学和地磁学中，关于静电学（如高斯物理学和地磁学中，关于静电学（如高斯定理）、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质定理）、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量（如量和时间）法则量度非力学量（如磁场强度磁场强度）以及地磁场分）以及地磁场分布的理

5、论研究（如把地面上任一点的磁势进行球谐分析）。布的理论研究（如把地面上任一点的磁势进行球谐分析）。2利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。立高斯光学。3天文学和大地测量学中，如小行星轨道的天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，计算，地球大小和形状的理论研究地球大小和形状的理论研究等。等。4结合实验数据的结合实验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入引入高斯误差曲线高斯误差曲线。3 3、应用高斯定理计算场强应用高斯定理计算场强适用情形：适用情形

6、：电荷分布具有电荷分布具有某种对称性某种对称性，从而从而场分布场分布也也具有某具有某种对称性种对称性时，利用高斯定理求解场强比较方便。时，利用高斯定理求解场强比较方便。常见的电量分布的对称性：常见的电量分布的对称性：球对称球对称（如：均匀带电的球体、球面或点电荷）（如：均匀带电的球体、球面或点电荷）轴对称轴对称（如：无限长的柱体、柱面、带电线）（如：无限长的柱体、柱面、带电线）面对称面对称（如：无限大均匀带电平板、平面）（如：无限大均匀带电平板、平面）3 3、应用高斯定理计算场强应用高斯定理计算场强解题步骤：解题步骤：1)1)从电荷分布的对称性出发，从电荷分布的对称性出发，分析电场分布的图象分

7、析电场分布的图象；2)2)根据电场分布的图象，根据电场分布的图象，选择选择适当的闭合曲面适当的闭合曲面；3)3)利用高斯定理计算场强。利用高斯定理计算场强。3 3、应用高斯定理计算场强应用高斯定理计算场强解题关键：解题关键：由由电电荷荷（场场强强）分分布布的的对对称称性性，选选取取合合适适的的高斯面。高斯面。合适的高斯面特点：合适的高斯面特点：曲面曲面(可分成几部分可分成几部分)与该点的场强垂直与该点的场强垂直(或平行或平行)，每部分曲面上各点场强的大小相等。，每部分曲面上各点场强的大小相等。四、高斯定理四、高斯定理3 3、应用高斯定理计算场强应用高斯定理计算场强例题例题1 1：求均匀带电球面

8、产生的电场。求均匀带电球面产生的电场。球面半径为球面半径为R R，电量为电量为Q Q。解：解：（1）分析电场分布：）分析电场分布：由电荷分布的球对称，可得：由电荷分布的球对称，可得：的大小与半径的大小与半径r有关，方向沿半径方向有关，方向沿半径方向以带电球面的球心为中心，以带电球面的球心为中心，r为半径的球面为半径的球面（3）根据高斯定理）根据高斯定理得：得：（2）取高斯面：）取高斯面：所以：所以：3 3、应用高斯定理计算场强应用高斯定理计算场强求均匀带电球体中所挖出的球形空腔内的场强。求均匀带电球体中所挖出的球形空腔内的场强。球体的电荷体密度为球体的电荷体密度为，球体的球心到空腔中心球体的球

9、心到空腔中心的距离为的距离为a a。aOO1R体系看成一个以体系看成一个以O为球心、为球心、R为为半径，密度为半径，密度为 的的均匀带电大球和均匀带电大球和另一个以另一个以O1为球心、为球心、r 为半径，为半径，密度为密度为 的带电小球所构成。的带电小球所构成。高斯定理证明高斯定理证明 （课本：用立体角）（课本：用立体角）（1 1）补充：立体角）补充：立体角定义：面元定义：面元dS dS 对某点所张的角，即锥体的对某点所张的角，即锥体的“顶角顶角”（单位：球面度）（单位：球面度）（dSdS0 0是以是以r r为半径的圆锥对应的球面元，为半径的圆锥对应的球面元，是面元是面元dSdS与球面元与球面

10、元dSdS0 0间的夹角间的夹角）高斯定理证明高斯定理证明（1 1）补充：立体角）补充：立体角闭合曲面对面内一点所张的立体角：闭合曲面对面内一点所张的立体角：球面度球面度 高斯定理证明高斯定理证明（2 2）高斯定理的证明）高斯定理的证明 思路：先证明点电荷的场思路：先证明点电荷的场然后推广至一般电荷分布的场然后推广至一般电荷分布的场电场由一电量为电场由一电量为q q的点电荷产生，点电荷在封闭曲的点电荷产生，点电荷在封闭曲面面S S内部，求电场对该封闭曲面的电通量：内部，求电场对该封闭曲面的电通量：高斯定理证明高斯定理证明（2 2）高斯定理的证明）高斯定理的证明 电场由一电量为电场由一电量为q q的点电荷产生，点电荷在封闭曲的点电荷产生，点电荷在封闭曲面面S S外部，求电场对该封闭曲面的电通量：外部，求电场对该封闭曲面的电通量：