常用数值分析方法3插值法与曲线拟合课件

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1、 22:28 8/23/20231/37X.Z.Lin3 插值法与曲线拟合插值法与曲线拟合3.1 实验数据统计处理实验数据统计处理 3.2 插值法（插值法（Lagrange插值法）插值法）3.3 曲线拟合（最小二乘法）曲线拟合（最小二乘法）平行试验数据处理，误差分析。平行试验数据处理，误差分析。根据实验测定的离散数据，求未测的某点数据。根据实验测定的离散数据，求未测的某点数据。根据实验测定的离散数据，拟合曲线，分析数根据实验测定的离散数据，拟合曲线，分析数据规律，求函数表达式。据规律，求函数表达式。22:28 8/23/20232/37X.Z.Lin3.1 实验数据统计处理实验数据统计处理系统

2、误差系统误差偶然误差偶然误差过失误差过失误差图图6.1 平行试验数据的正态分布图平行试验数据的正态分布图-3 -2 -0 2 3经常性的原因经常性的原因 影响比较恒定影响比较恒定 校正校正 偶然因素偶然因素 正态分布规律正态分布规律统计分析统计分析操作、计算失误操作、计算失误 错误数据错误数据 剔出剔出 3.1.1 误差误差 22:28 8/23/20233/37X.Z.Lin3.1.2 数据的统计分析数据的统计分析（4）剔出错误数据）剔出错误数据（5）用标准形式表示统计处理结果）用标准形式表示统计处理结果（1）算术平均值）算术平均值（2）标准偏差）标准偏差（3）平均标准偏差）平均标准偏差 返

3、回返回（1）重）重算算值值 法法Q?可疑数可疑数据据?可疑数可疑数据据数据排序（升）：数据排序（升）：x1，x2，xn；最大与最小数据之差；最大与最小数据之差；可疑数据与其最邻近数据之间的差可疑数据与其最邻近数据之间的差求求Q值：值：查查Q值表得出标准值值表得出标准值Q0.90；可疑值判断可疑值判断 QQ0.90 错误数据错误数据 剔出剔出 Q Q0.90 数据合理数据合理 保留保留。22:28 8/23/20234/37X.Z.Lin 函数常被用来描述客观事物变化的内在规律函数常被用来描述客观事物变化的内在规律函数常被用来描述客观事物变化的内在规律函数常被用来描述客观事物变化的内在规律数量关

4、系，数量关系，数量关系，数量关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函

5、数，其析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据只是某些离散点只是某些离散点只是某些离散点只是某些离散点 x xi i 上的值（包括函数值上的值（包括函数值上的值（包括函数值

6、上的值（包括函数值f f(x xi i)，导数值，导数值，导数值，导数值 f f (x xi i)等等等等,i i=1,2,=1,2,n n)，虽然其函数关系是客观存在的，但却，虽然其函数关系是客观存在的，但却，虽然其函数关系是客观存在的，但却，虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希数的性质，

7、也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。述。述。述。3.2 插值法插值法（Interpolation）3.2.1 概述概述 22:28 8/23/20235/37X.Z.Lin 另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因另一方面，有些函数，虽然有解析

8、表达式，但因其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。替原来的函数。替原来的函数。替原来的函数。如在积分如在积分如在积分如在积分 中，当中，当中，当中，当f f(x x)很复杂，要很复杂，要很复杂，要很复杂，要计算积分计算积分计算积分计算积分 I I 是很困难

9、的，构造近似函数使积分容易计是很困难的，构造近似函数使积分容易计是很困难的，构造近似函数使积分容易计是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且使之离散化能上机计算求出积分算，并且使之离散化能上机计算求出积分算，并且使之离散化能上机计算求出积分算，并且使之离散化能上机计算求出积分I I，都要用到，都要用到，都要用到，都要用到插值逼近。插值逼近。插值逼近。插值逼近。22:28 8/23/20236/37X.Z.Lin 解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散点点

10、点点(x xi i,f f(x xi i)()(i i=1,2,=1,2,n n)，选定一个便于计算的函，选定一个便于计算的函，选定一个便于计算的函，选定一个便于计算的函数形式数形式数形式数形式 (x x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三，如多项式，分段线性函数，有理式，三，如多项式，分段线性函数，有理式，三，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数等，要求角函数等，要求角函数等，要求角函数等，要求 (x x)通过点通过点通过点通过点 (x xi i)=)=f f(x xi i)()(i i=1,2,=1,2,n n),),由此确定函数由此确定函数由此确定函数由此确定函数 (x x)作为作

11、为作为作为f f(x x)的近似。这就是的近似。这就是的近似。这就是的近似。这就是插值法插值法插值法插值法。这里的这里的 g(x)称为称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是的插值函数。最常用的插值函数是?另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类知样点，只要求在

12、某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方法称为方法称为方法称为方法称为曲线（数据）拟合法曲线（数据）拟合法曲线（数据）拟合法曲线（数据）拟合法，将在下一节介绍。，将在下一节介绍。，将在下一节介绍。，将在下一节介绍。x1x2x3x4x5xg(x)f(x)多项式多项式f(x)22:28 8/23/20237/37X.Z.Lin 已知：已知：一系列离散的（互不相同的）点一系列离散的（互不相同的）点xi，yi（i=1，2，n）求：求：给定点给定点 x 对应的函数值对应的函数值 y 或或近似函数表达式近似函数表达式。思路思路问题问题构造函数构造函数 y=p(x)要求：要求：插值函数插值函数代数多项式代

13、数多项式：算法算法拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）法）法 两点插值（线性插值）两点插值（线性插值）一元三点插值（抛物线插值）一元三点插值（抛物线插值）一元多点插值（插值公式的一般形式）一元多点插值（插值公式的一般形式）分段插值分段插值 已知点满足该函数已知点满足该函数其他：其他：牛顿（牛顿（Newton）插值法、）插值法、Hermite插值法、插值法、样条函数插值法等。样条函数插值法等。归纳一下：归纳一下：22:28 8/23/20238/37X.Z.Lin3.2.2 线性插值线性插值 y=p(x)y=f(x)(x1,y1)(x2,y2)图图6.2 线性插值示意图线性插值示意图yx已知：

14、已知：两点两点(x1,y1）、）、(x2,y2）求：求：两点间任意两点间任意 x 对应的对应的 y 值。值。插值函数：插值函数：y=p1(x)近似直线近似直线实际曲线实际曲线理论函数：理论函数：y=f(x)直线方程：直线方程：（变形）（变形）插值基函数插值基函数（插值多项式）（插值多项式）A1(x)A2(x)特点：特点：A1(x1)=1，A1(x2)=0A2(x1)=0，A2(x2)=1 22:28 8/23/20239/37X.Z.Lin3.2.3 抛物线插值抛物线插值 已知：已知：三点（三点（x1，y1）、（）、（x2，y2）、（）、（x3，y3）求：求：其间任意其间任意 x 对应的对应的

15、 y 值值y=f(x)y=p2(x)(x1,y1)(x3,y3)图图6.3 抛物线插值示意图抛物线插值示意图yx(x2,y2)插值函数：插值函数：y=p2(x)近似抛物线近似抛物线实际曲线实际曲线理论函数：理论函数：y=f(x)插值基函数：插值基函数：插值多项式插值多项式 22:28 8/23/202310/37X.Z.Lin3.2.4 Lagrange插值的一般形式插值的一般形式 已知：已知：n点（点（x1，y1）、（）、（x2，y2）（xn，yn）求：求：其间任意其间任意 x 对应的对应的 y 值值（1）构造插值基函数）构造插值基函数（2）插值多项式）插值多项式 22:28 8/23/20

16、2311/37X.Z.Lin3.2.5 分段插值分段插值（分段抛物线插值）（分段抛物线插值）各区段函数规律明显不同各区段函数规律明显不同 适用条件适用条件处理方法处理方法插值公式插值公式 分段基点分段基点 分段分段 插值基函数插值基函数 22:28 8/23/202312/37X.Z.Lin3.3 曲线拟合曲线拟合插值法的不足插值法的不足解决办法解决办法曲线拟合曲线拟合对逼近函数对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，不必要求过给定的点，而用一条近似的曲线来接近这些测量数据点。而用一条近似的曲线来接近这些测量数据点。基本思想基本思想问题：问题：问题：问题：在大量的实验数据在大量的实验数据(xi,

17、yi)(i=1,2,n)中寻找其函数关系中寻找其函数关系y=f(x)的近似函数的近似函数P(x)，是在实践中常遇到的。，是在实践中常遇到的。（1 1）插值方法要求在给定的节点处）插值方法要求在给定的节点处P P(x x)与与f f(x x)相等（甚至导数值相相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效果较好，而在远离节点的地方，由等），因此在节点附近，逼近效果较好，而在远离节点的地方，由RungeRunge现象现象知道，有时效果会很差。知道，有时效果会很差。（2 2）另一方面，由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至）另一方面，由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是较大的误差，此

18、时要求近似函数是较大的误差，此时要求近似函数P P(x x)过全部已知点，相当于保留全部过全部已知点，相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合适。数据误差，所以使用插值法不合适。3.3.1 概述概述 22:28 8/23/202313/37X.Z.Lin两两类类问问题题求经验公式求经验公式求模型参数求模型参数已知：已知：试验数据和相应函数关系（或称：数学模型）试验数据和相应函数关系（或称：数学模型）求：求：其中的参数值其中的参数值 已知：已知：试验数据（试验数据（xi，yi），），i=1，2，n 求：求：函数关系式函数关系式 y=f(x)22:28 8/23/202314/37X.Z.Lin

19、3.3.2 求经验公式求经验公式多项式拟合多项式拟合拟合多项式拟合多项式 已知：已知：n组试验数据（组试验数据（xi，yi），），i=1，2，n 求：求：函数关系式函数关系式 y=f(x)偏差偏差 Ri =尽可能最小尽可能最小 尽可能最小尽可能最小 限制条件限制条件(3个个)最小二乘法最小二乘法 理论计算值（拟合函数值）理论计算值（拟合函数值）试验测定值试验测定值函数的最佳一致逼近函数的最佳一致逼近函数的最佳一致逼近函数的最佳一致逼近3.3.2.1 概述概述尽可能最小尽可能最小 22:28 8/23/202315/37X.Z.Lin3.3.2.2 最小二乘技术最小二乘技术 最小最小 多元函数的

20、极值问题多元函数的极值问题 问题转化问题转化 曲线拟合曲线拟合(k =0,1,2,m)22:28 8/23/202316/37X.Z.Linskjtk=(k =0,1,2,m)问题转化问题转化 多元函数的极值问题多元函数的极值问题 曲线拟合曲线拟合解多元线性方程组解多元线性方程组 问题转化问题转化 解方程组之前解方程组之前？m 的确定的确定略略 22:28 8/23/202317/37X.Z.Lin3.3.2.3 多项式的次数（多项式的次数（m）的确定）的确定 初设初设 m=1拟合多项式拟合多项式 计算各节点偏差计算各节点偏差Ri 合理，输出结果合理，输出结果YesNom=m+1 解解 m 元

21、元线性方程组线性方程组最小二乘法最小二乘法 为预先选定的一个足够小的正数为预先选定的一个足够小的正数 22:28 8/23/202318/37X.Z.Lin3.3.2.4 多项式拟合举例多项式拟合举例例例1 设在某材料的热膨胀系数试验中，测得一批数据如表设在某材料的热膨胀系数试验中，测得一批数据如表3.1所所示，希望用一简单公式表示这些数据的关系。示，希望用一简单公式表示这些数据的关系。T(K)405420436452471495L(0.01mm)00.61.11.82.43.1表表3.1 热膨胀系数试验数据热膨胀系数试验数据解解：由数据之间的关系和我们已知的材料热膨胀规律可知，这：由数据之间

22、的关系和我们已知的材料热膨胀规律可知，这些点大体上分布在一条直线上，因此可用线性式表示为：些点大体上分布在一条直线上，因此可用线性式表示为：如果我们将上述六组数据代入上式，可得：如果我们将上述六组数据代入上式，可得：22:28 8/23/202319/37X.Z.Lin 显然，上述方程组中只有两个未知参数，任取两个方程显然，上述方程组中只有两个未知参数，任取两个方程即可解出即可解出a,b。其几何意义就是任选两点，连成一线，故该法。其几何意义就是任选两点，连成一线，故该法又称又称“选点法选点法”。然而，由于试验误差的存在，这些点并不。然而，由于试验误差的存在，这些点并不会在同一条直线上，因此随着

23、选点不同，会在同一条直线上，因此随着选点不同，得到的得到的a,b的值也有的值也有差异差异，如：，如：选选1、2点得：点得：选选4、5点得：点得：解之得：解之得：解之得：解之得：造成上述不同结果的造成上述不同结果的原因原因是当试验观测点数大于待定参数是当试验观测点数大于待定参数的个数时，代入所有点数据将出现一个矛盾方程组，选点法并的个数时，代入所有点数据将出现一个矛盾方程组，选点法并未充分利用所有试验数据，故结果不可靠；而用曲线拟合法，未充分利用所有试验数据，故结果不可靠；而用曲线拟合法，则可避免该问题。则可避免该问题。22:28 8/23/202320/37X.Z.Lin仍设试验数据满足直线关

24、系：仍设试验数据满足直线关系：用前面介绍的最小二乘法进行曲线拟合，此处是最简单的用前面介绍的最小二乘法进行曲线拟合，此处是最简单的一元线性拟合一元线性拟合。（1）用最小二乘法（偏导）分析或直接用前面介绍的公式写）用最小二乘法（偏导）分析或直接用前面介绍的公式写出最小二乘法得到的线性方程组的系数表达式：出最小二乘法得到的线性方程组的系数表达式：（2）代入试验数据得：）代入试验数据得：22:28 8/23/202321/37X.Z.Lin（3）进而得到线性方程组：）进而得到线性方程组：解之得：解之得：说明：说明：假如我们事前并不能从试验数据中看出其近似满足线假如我们事前并不能从试验数据中看出其近似

25、满足线性关系，则可用一般的多项式拟合程序进行拟合（即：设定一定性关系，则可用一般的多项式拟合程序进行拟合（即：设定一定的误差限，先设多项式次数的误差限，先设多项式次数m=1，进行拟合，得到一线性表达式，进行拟合，得到一线性表达式，判断误差，若满足误差要求，则停止，否则判断误差，若满足误差要求，则停止，否则m=m+1，重新拟合得，重新拟合得二次多项式，再判误差，直到满足误差要求为止）。二次多项式，再判误差，直到满足误差要求为止）。对该例，在误差要求不是太高的情况下，经对该例，在误差要求不是太高的情况下，经m=1线性拟合即线性拟合即可达到要求，得到线性表达式。如果误差限非常低，则将拟合出可达到要求

26、，得到线性表达式。如果误差限非常低，则将拟合出高次，但可以发现，该例的高次系数非常非常小，相比高次，但可以发现，该例的高次系数非常非常小，相比a,b值，值，完全可忽略。完全可忽略。22:28 8/23/202322/37X.Z.Lin两两类类问问题题求经验公式求经验公式求模型参数求模型参数已知：已知：试验数据和相应函数关系（或称：数试验数据和相应函数关系（或称：数学模型）学模型）求：求：其中的参数值其中的参数值 已知：已知：试验数据（试验数据（xi，yi），），i=0，1，2，n 求：求：函数关系式函数关系式y=f(x)曲曲 线线 拟拟 合合 22:28 8/23/202323/37X.Z.L

27、in 3.3.3 模型参数的确定模型参数的确定已知：已知：实验数据及相应的函数关系（或称数学模型），含实验数据及相应的函数关系（或称数学模型），含未知参数。未知参数。求：求：其中的未知参数值。其中的未知参数值。线性模型线性模型简单非线性模型简单非线性模型一般非线性模型一般非线性模型 三三类类模模型型 22:28 8/23/202324/37X.Z.Lin3.3.3.1 线性模型的参数确定线性模型的参数确定 函数关系通式函数关系通式 为方便起见，可令为方便起见，可令x01使上式变为：使上式变为：（多元线性回归）（多元线性回归）22:28 8/23/202325/37X.Z.Lin利用最小二乘技术

28、求出模型中的利用最小二乘技术求出模型中的各待定参数各待定参数aj（j=0,1,2,m）例如：已知例如：已知n组实验数据：组实验数据：x1i、x2 i、xmi yi（i=1,2,n），且函数关系式可用式（），且函数关系式可用式（6.33）表示，求模型中各参数值。）表示，求模型中各参数值。1 1、计算偏差的平方和、计算偏差的平方和 2 2、由、由最小二乘技术的限制条件最小二乘技术的限制条件可得到可得到一个由一个由m m+1+1个含有个含有m m+1+1个未知数（个未知数（a aj j j j=0,1,2,=0,1,2,m m）的线性方程构成的的线性方程构成的多元线性方程组多元线性方程组（见下页）（

29、见下页）22:28 8/23/202326/37X.Z.Linm+1m+1元线性方程组元线性方程组具体展开为：具体展开为：3、解、解线性方程组线性方程组（全主元消去法全主元消去法）即得：要求的已知即得：要求的已知线性线性模型中的未知参数。模型中的未知参数。22:28 8/23/202327/37X.Z.Lin3.3.3.2 简单非线性模型的参数确定简单非线性模型的参数确定 简单非线性模型简单非线性模型能通过简单的数学变换（变量代换等）能通过简单的数学变换（变量代换等）转化为线性模型的非线性模型。转化为线性模型的非线性模型。参数确定的关键：参数确定的关键：就在于变量代换，即：通过适当的变就在于变

30、量代换，即：通过适当的变量代换，使之转化为我们熟悉的线性模型，然后就可运量代换，使之转化为我们熟悉的线性模型，然后就可运用线性模型的求解方法解之用线性模型的求解方法解之。22:28 8/23/202328/37X.Z.LinAuB例例1.用非线性经验公式用非线性经验公式 拟合实验数拟合实验数据据xi、yi（i=1,2,n），求模型参数），求模型参数a、b。令：令：则有：则有：解：解：公式两边同时取对数得：公式两边同时取对数得：22:28 8/23/202329/37X.Z.Lin例例2.已知一活化极化体系的阳极极化过程符合如下规律已知一活化极化体系的阳极极化过程符合如下规律：现通过实验测得其现

31、通过实验测得其n n组阳极极化数据为：组阳极极化数据为：E Ei i、i iaiai（i i=1,2,=1,2,n n），求该体系腐蚀速度），求该体系腐蚀速度i icorcor和和TafelTafel斜率斜率b ba a。则式（则式（6.36）变为：）变为：作变量代换：作变量代换：22:28 8/23/202330/37X.Z.Lin3.3.3.3 一般非线性模型的参数确定一般非线性模型的参数确定 例例1活化极化控制的腐蚀体系的基本动力学方程式活化极化控制的腐蚀体系的基本动力学方程式 例例2充电曲线方程式充电曲线方程式 迭代的最小二乘技术迭代的最小二乘技术高斯高斯牛顿曲线拟合法。牛顿曲线拟合法

32、。两种最常用的拟合方法两种最常用的拟合方法 22:28 8/23/202331/37X.Z.Lin迭代的最小二乘技术迭代的最小二乘技术（以充电曲线方程式的拟合为例（以充电曲线方程式的拟合为例 ）a)数学变换数学变换 移项变形移项变形 两边求对数两边求对数 变量代换变量代换 所以：所以：22:28 8/23/202332/37X.Z.Linb)b)近似处理变超越方程为线性方程近似处理变超越方程为线性方程对对w设定初值设定初值w0 左边第一项左边第一项 近似处理近似处理变量代换变量代换 22:28 8/23/202333/37X.Z.Linc)用最小二乘法拟合线性模型，求出其中的参数用最小二乘法拟

33、合线性模型，求出其中的参数u、v、z zd)对误差参数对误差参数z进行误差检验进行误差检验 检验方法：检验方法：要求误差参数要求误差参数z z足够小（如：足够小（如：z z10-7），满足则可；否），满足则可；否则，重设初值（则，重设初值（w0=w0+z z），以新的），以新的w0代入代入w=w0+z z中重新迭中重新迭代、拟合（即：重复代、拟合（即：重复ad操作）。操作）。e)参数还原参数还原由求出的线性方程中的待定参数（由求出的线性方程中的待定参数（u、v、z z）还原求出原超越方）还原求出原超越方程中的待定参数（程中的待定参数（Cd、Rp、Rl）。）。22:28 8/23/202334/

34、37X.Z.Lin迭代的最小二乘技术迭代的最小二乘技术高斯高斯牛顿曲线拟合法。牛顿曲线拟合法。一般非线性模型的参数确定一般非线性模型的参数确定两种最常用的拟合方法两种最常用的拟合方法自学自学 22:28 8/23/202335/37X.Z.Lin作作 业业晶粒直径d/m400501052屈服点/kPa861211802423451、编制最小二乘曲线拟合法（多项式拟合）的通用程序，上机调试，并对以下试验数据进行高次拟合（误差限自定）。ss表表3.2 低碳钢屈服点与晶粒直径试验数据低碳钢屈服点与晶粒直径试验数据（说明：将（说明：将 d 换算成换算成 后进行拟合）后进行拟合）？T(K)4054204

35、36452471495L(0.01mm)00.61.11.82.43.1表表3.3 某材料热膨胀系数试验数据某材料热膨胀系数试验数据 22:28 8/23/202336/37X.Z.Lin2、编制最小二乘多元线性回归的通用程序，上机调试，并对以下试验数据进行回归分析（误差限自定）。混合物粘度温度组分1粘度组分2粘度组分3粘度yx1x2x3x43.6599258.46346.35481.55612.6261355.87444.65141.21222.0555454.65083.70961.03551.6241553.41632.80780.91061.3675652.85062.25760.83

36、491.1514752.23081.97250.73250.9599851.79211.65980.64010.8654951.53191.40810.61600.77661051.37581.18340.57070.72771151.16591.11480.52700.63311250.94350.92630.4800 22:28 8/23/202337/37X.Z.Lin3、分别编制Lagrange分段抛物线插值和Lagrange一般多点插值的通用程序。已知CO2热容试验数据如表3.4所示，试用上述程序求出在1708K时之热容。T/K15731673177318731973热容热容/kJ/(Nm3.K)2.29332.31362.33542.35632.3790表表3.4 CO2热容试验数据热容试验数据