小波变换与信号的分解重构课件

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1、小波变换与信号的分解重构 小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波uu1、傅立叶变换的基本思想：将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加，将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加，将信号从时间域转换到频率域。将信号从时间域转换到频率域。（1.1）小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波uu2、傅立叶变换的缺点：1 1）丢掉时间信息，无法对某一时间段对应的）丢掉时间信息，无法对某一时间段对应的频域信息或者某一频率段对应的时间信息进行分频域信息或者某一频率段对应的时间信息进行分析；析；2 2）不利于分析非平稳信号，例如偏移、趋势、）不利于分析

2、非平稳信号，例如偏移、趋势、突变等等。突变等等。uu需要寻求一种同时具有时间分辨率和频域分辨率的分析方法。小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波uu为了分析和处理非平稳信号，在傅里叶分析理论基础上，提出并发展了一系列新的信号分析理论：1.1.短时傅里叶变换（短时傅里叶变换（STFTSTFT）或加窗傅里叶变换）或加窗傅里叶变换（WFTWFT）、）、2.2.GaborGabor变换、变换、3.3.时频分析、时频分析、4.4.小波变换、小波变换、5.5.分数阶傅里叶变换（分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Fractional Fourier Tr

3、ansformTransform）、）、6.6.线调频小波变换等。线调频小波变换等。小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波uu1946 Gabor变换uu短时傅立叶变换（STFT）1 1）基本思想：）基本思想：对信号加窗，对窗内的信号进行傅立叶变换，对信号加窗，对窗内的信号进行傅立叶变换，反映信号的局部特征；反映信号的局部特征；2 2）缺点：）缺点：其窗口函数其窗口函数 通过函数时间通过函数时间轴的平移与频率限制得到，由此得到的时频分析轴的平移与频率限制得到，由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。窗口具有固定的大小。小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重

4、构S1.傅立叶变换与小波uuGabor变换及其应用示例 Gabor变换是海森伯（Heisenberg）测不准原理下的最优的短时傅立叶变换。高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时间分辨率与频率分辨率时的最优窗函数。具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是Gabor变换。小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波uuGabor变换应用示例（1）高斯窗函数（2）信号函数小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波（3）平移后的高斯窗函数（4）归一化（5）Gabor变换小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波uuGaborGa

5、bor变换的主要程序代码：变换的主要程序代码：shift-l=100;shift-l=100;%高斯窗每次平移点数高斯窗每次平移点数shift-n=(length(t)-1)/shift_l;shift-n=(length(t)-1)/shift_l;%高斯窗平移总次数高斯窗平移总次数y2=zeros(shift_n,2001);y2=zeros(shift_n,2001);for k=0:shift_n-1for k=0:shift_n-1 gauss-c=2(1/4)*exp(-pi*(t-k*shift-l*Ts).2)gauss-c=2(1/4)*exp(-pi*(t-k*shift-

6、l*Ts).2).*cos(5*pi*t);.*cos(5*pi*t);%平移后的高斯函数平移后的高斯函数 gaussc2=gaussc/sum(gaussc.2);gaussc2=gaussc/sum(gaussc.2);%归一化归一化 y1=conv(hilbert(fx),gaussc2);y1=conv(hilbert(fx),gaussc2);%短时傅立叶变换，即对信号和短时傅立叶变换，即对信号和GaussGauss函数做卷积函数做卷积 y2(k+1,:)=y1;y2(k+1,:)=y1;endend小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波uu程序运行结

7、果：小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波uuGabor变换的幅频图小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波uuGabor变换的等高线图小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S1.傅立叶变换与小波uu3、小波变换 窗口大小（即面积）不变，但窗口形状随频窗口大小（即面积）不变，但窗口形状随频率高低而变化，是一种时间窗和频率窗都可改变率高低而变化，是一种时间窗和频率窗都可改变的时频分析方法，在低频有较高的频率分辨率和的时频分析方法，在低频有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分有较低的频率分较低的时间分辨率，在高频部分

8、有较低的频率分辨率和较高的时间分辨率，对信号局部特征的表辨率和较高的时间分辨率，对信号局部特征的表征能力强。征能力强。小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S2.连续小波变换1、基本小波的定义小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S2.连续小波变换2、连续小波变换的定义小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S2.连续小波变换3、约束条件小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S2.连续小波变换4、对偶小波小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S2.连续小波变换5、连续小波的重要性质小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S2.连续小波变换

9、6、连续小波变换的计算过程从定义式可知，连续小波变换计算分以下从定义式可知，连续小波变换计算分以下5 5个步骤进行。个步骤进行。（1 1）选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。）选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。（2 2）计算该时刻的连续小波变换系数）计算该时刻的连续小波变换系数C C。如下图所示，。如下图所示，C C表示了该小表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C C愈大，表示两者的波形愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为

10、了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S2.连续小波变换6、连续小波变换的计算过程（3 3）如图）如图1 1所示，调整参数所示，调整参数b b，调整信号的分析时间段，向右平移小波，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复重复步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。（4 4）调整参数）调整参数a a，尺度伸缩，重复，尺度伸缩，重复步骤。步骤。（5 5）重复）重复步骤，计算所有的尺度的连续小波变换系数，如图步骤，计算所有的尺

11、度的连续小波变换系数，如图2 2所示。所示。图图1 1 图图2 2小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S2.连续小波变换6、连续小波变换的计算过程上述步骤可用以下的公式表示。上述步骤可用以下的公式表示。设设f(t)=f(kf(t)=f(kt),tt),t(k,K+1)(k,K+1)，则，则（*）小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S2.连续小波变换uu Matlab Matlab 实现连续小波变换的代码实现连续小波变换的代码 precis=10;precis=10;%小波函数积分精度控制小波函数积分精度控制signal=signal(:);signal=signal(:

12、);len=length(signal);len=length(signal);coefs=zeros(length(scales),len);coefs=zeros(length(scales),len);nbscales=length(scales);nbscales=length(scales);psi_integ,xval=intwave(wname,precis);psi_integ,xval=intwave(wname,precis);%计算从计算从-到到k k的小波积分序列的小波积分序列wtype=wavemngr(type,wname);wtype=wavemngr(type,

13、wname);if wtype=5 if wtype=5 psi_integ=conj(psi_integ);psi_integ=conj(psi_integ);end end%判断是否为复小波，对复小波取共轭判断是否为复小波，对复小波取共轭xval=xval-xval(1);xval=xval-xval(1);dx=xval(2);dx=xval(2);xmax=xval(end);xmax=xval(end);ind=1;ind=1;for k=1:nbscales for k=1:nbscales%循环计算各尺度的小波系数循环计算各尺度的小波系数 a=scales(k);a=scales

14、(k);j=1+floor(0:a*xmax/(a*dx);j=1+floor(0:a*xmax/(a*dx);if length(j)=1,j=1 1;end if length(j)=1,j=1 1;end f=fliplr(psi_integ(j);f=fliplr(psi_integ(j);coefs(ind,:)=-sqrt(a)*wkeep(diff(conv(signal,f),len);coefs(ind,:)=-sqrt(a)*wkeep(diff(conv(signal,f),len);%计算公计算公式（式（*）ind=ind+1;ind=ind+1;endend小波变换与

15、信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换1、多分辨分析的定义小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换2、正交MRA尺度函数的定理小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换3、Mallat定理小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换4、基于Mallat方法的信号分解重构算法小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多

16、分辨分析与小波变换uuMallat信号分解重构的主要程序代码（1 1）信号函数定义）信号函数定义%1.%1.正弦波定义正弦波定义f1=50;f1=50;%频率频率1 1f2=100;f2=100;%频率频率2 2fs=2*(f1+f2);fs=2*(f1+f2);%采样频率采样频率Ts=1/fs;Ts=1/fs;%采样间隔采样间隔N=120;N=120;%采样点数采样点数n=1:N;n=1:N;y=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts);%y=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts);%信号函数信号函数小波变换与信号的分解重构小波变

17、换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换（2 2）小波滤波器谱分析）小波滤波器谱分析h=wfilters(db30,l);%h=wfilters(db30,l);%低通低通g=wfilters(db30,h);%g=wfilters(db30,h);%高通高通h=h,zeros(1,N-length(h);h=h,zeros(1,N-length(h);%补零（圆周卷积，且增大分辨率便于观察）补零（圆周卷积，且增大分辨率便于观察）g=g,zeros(1,N-length(g);g=g,zeros(1,N-length(g);%补零（圆周卷积，且增大分辨率便于观察）补零（圆周卷积，且增大分辨

18、率便于观察）小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换（3 3）MALLATMALLAT分解算法分解算法(圆周卷积的快速傅里叶变换实现圆周卷积的快速傅里叶变换实现)sig1=ifft(fft(y).*fft(h);sig1=ifft(fft(y).*fft(h);%低通低通(低频分量低频分量)sig2=ifft(fft(y).*fft(g);sig2=ifft(fft(y).*fft(g);%高通高通(高频分量高频分量)（4 4）MALLATMALLAT重构算法重构算法sig1=dyaddown(sig1);sig1=dyaddown(sig1);%2%2抽取抽

19、取sig2=dyaddown(sig2);sig2=dyaddown(sig2);%2%2抽取抽取sig1=dyadup(sig1);sig1=dyadup(sig1);%2%2插值插值sig2=dyadup(sig2);sig2=dyadup(sig2);%2%2插值插值sig1=sig1(1,1:N);sig1=sig1(1,1:N);%去掉最后一个零去掉最后一个零sig2=sig2(1,1:N);sig2=sig2(1,1:N);%去掉最后一个零去掉最后一个零hr=h(end:-1:1);hr=h(end:-1:1);%重构低通重构低通gr=g(end:-1:1);gr=g(end:-1

20、:1);%重构高通重构高通hr=circshift(hr,1);hr=circshift(hr,1);%位置调整圆周右移一位位置调整圆周右移一位gr=circshift(gr,1);gr=circshift(gr,1);%位置调整圆周右移一位位置调整圆周右移一位sig1=ifft(fft(hr).*fft(sig1);sig1=ifft(fft(hr).*fft(sig1);%低频低频sig2=ifft(fft(gr).*fft(sig2);sig2=ifft(fft(gr).*fft(sig2);%高频高频sig=sig1+sig2;sig=sig1+sig2;%源信号源信号小波变换与信号的

21、分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换uu程序运行结果：程序运行结果：小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换uu小波变换的改进与多孔算法小波的问题在那里？其中之一，平移不变性，小波的问题在那里？其中之一，平移不变性，也就是先将源信号平移也就是先将源信号平移n n位，再做小波变换，和先位，再做小波变换，和先将源信号做小波变换，再平移将源信号做小波变换，再平移n n位，结果不同。这位，结果不同。这

22、对于实时处理和一些场合是极为不便的。对于实时处理和一些场合是极为不便的。多孔算法（多孔算法（atrousatrous）可以解决此瓶颈。多孔）可以解决此瓶颈。多孔算法，又称非抽取小波变换，即算法，又称非抽取小波变换，即undecimated undecimated wavelet transform or nonsampled wavelet wavelet transform or nonsampled wavelet transformtransform，简写，简写(NSWT)(NSWT)。小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换uuMallat算法与多孔算

23、法的关系MallatMallat算法是多孔算法的基础，两者的区别在于：算法是多孔算法的基础，两者的区别在于：（1 1）MALLATMALLAT不具有移不变特点而不具有移不变特点而TROUSTROUS具有移具有移不变特点。根源就在抽取插值上。不变特点。根源就在抽取插值上。TROUS TROUS即非即非抽取算法，是移不变的。而移不变的代价，就是抽取算法，是移不变的。而移不变的代价，就是高频分量加低频分量长度再不是源信号的长度，高频分量加低频分量长度再不是源信号的长度，而是源信号长度的而是源信号长度的2 2倍。倍。小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换uuMall

24、at算法与多孔算法的关系（2 2）对于）对于MallatMallat，滤波器还是可以用，滤波器还是可以用，WFILTERS()WFILTERS()，且，且重构和分解滤波器的关系，还是逆序后再右移一位（圆周重构和分解滤波器的关系，还是逆序后再右移一位（圆周卷积卷积+周期延拓）。但所有的滤波器系数要乘以周期延拓）。但所有的滤波器系数要乘以2 2-1/2-1/2。这。这是因为是因为MallatMallat算法算法PRPR条件有两个，一个是抗混叠，另一条件有两个，一个是抗混叠，另一个是完全重构。而多孔算法由于非插值抽取，只有完全重个是完全重构。而多孔算法由于非插值抽取，只有完全重构，且等式的右边常数是

25、构，且等式的右边常数是“1”“1”，而不是，而不是MALLET-PRMALLET-PR条件条件的的“2”“2”。所以。所以MALLETMALLET的的PRPR条件要乘以条件要乘以“1/2”“1/2”才和才和TROUSTROUS一致，而这个因子一致，而这个因子“1/2”“1/2”正好被分配到两个滤波正好被分配到两个滤波器上，所以是器上，所以是2 2-1/2-1/2 。小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换uuMallat算法与多孔算法的关系（3 3）在每一层的下一层，滤波器中间要插值）在每一层的下一层，滤波器中间要插值0 0。数字信号。数字信号一个周期的频谱范

26、围为一个周期的频谱范围为-PI,PI-PI,PI，MallatMallat算法的低通滤波算法的低通滤波-PI/2,PI/2-PI/2,PI/2，高通滤波，高通滤波-PI,-PI/2 U PI/2,PI-PI,-PI/2 U PI/2,PI，则，则滤波后低频分量频谱范围滤波后低频分量频谱范围-PI/2,PI/2-PI/2,PI/2。这时注意。这时注意“开始开始抽取，频谱展宽抽取，频谱展宽”，又回到源信号频谱，又回到源信号频谱-PI,PI-PI,PI，然后再，然后再低通、高通滤波，周而复始。而对于多孔算法，低频分量低通、高通滤波，周而复始。而对于多孔算法，低频分量始终是始终是-PI/2,PI/2-

27、PI/2,PI/2，若低通滤波器仍是，若低通滤波器仍是-PI/2,PI/2-PI/2,PI/2，高通滤波器高通滤波器-PI,-PI/2 U PI/2,PI-PI,-PI/2 U PI/2,PI，这时就需要进行，这时就需要进行“滤波器插值滤波器插值”了，低通和高通滤波器频谱变窄，低通了，低通和高通滤波器频谱变窄，低通-PI/4,PI/4-PI/4,PI/4，高通，高通-PI/2,-PI/4 U PI/4,PI/2-PI/2,-PI/4 U PI/4,PI/2。小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换uuTrous算法的主要程序代码：（1 1）生成信号）生成信号%

28、1.%1.生成信号生成信号f=50;f=50;%频率频率fs=800;fs=800;%采样率采样率T=128;T=128;%信号长度信号长度n=1:T;n=1:T;y=sin(2*pi*f*n/fs)+2*exp(-f*n/(4*fs);y=sin(2*pi*f*n/fs)+2*exp(-f*n/(4*fs);%信号信号小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换（2 2）正变换）正变换l1=wfilters(db4,l)*sqrt(2)/2;l1=wfilters(db4,l)*sqrt(2)/2;%参考低通滤波器参考低通滤波器l1_zeros=l1,zeros

29、(1,T-length(l1);l1_zeros=l1,zeros(1,T-length(l1);%低通滤波器低通滤波器1 1h1=wfilters(db4,h)*sqrt(2)/2;h1=wfilters(db4,h)*sqrt(2)/2;%参考高通滤波器参考高通滤波器h1_zeros=h1,zeros(1,T-length(h1);h1_zeros=h1,zeros(1,T-length(h1);%高通滤波器高通滤波器1 1low1=ifft(fft(y).*fft(l1_zeros);low1=ifft(fft(y).*fft(l1_zeros);%低频分量低频分量1 1high1=if

30、ft(fft(y).*fft(h1_zeros);high1=ifft(fft(y).*fft(h1_zeros);%高频分量高频分量1 1l2=dyadup(l1);l2=dyadup(l1);%原滤波器插值原滤波器插值l2_zeros=l2,zeros(1,T-length(l2);l2_zeros=l2,zeros(1,T-length(l2);%低通滤波器低通滤波器2 2h2=dyadup(h1);h2=dyadup(h1);%原滤波器插值原滤波器插值h2_zeros=h2,zeros(1,T-length(h2);h2_zeros=h2,zeros(1,T-length(h2);%高

31、通滤波器高通滤波器2 2low2=ifft(fft(low1).*fft(l2_zeros);low2=ifft(fft(low1).*fft(l2_zeros);%低频分量低频分量2 2high2=ifft(fft(low1).*fft(h2_zeros);high2=ifft(fft(low1).*fft(h2_zeros);%高频分量高频分量2 2小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换（3 3）反变换）反变换lr2=circshift(l2_zeros(end:-1:1).,1).;lr2=circshift(l2_zeros(end:-1:1).,1

32、).;%重构低通滤波器重构低通滤波器2 2hr2=circshift(h2_zeros(end:-1:1).,1).;hr2=circshift(h2_zeros(end:-1:1).,1).;%重构高通滤波器重构高通滤波器2 2lr1=circshift(l1_zeros(end:-1:1).,1).;lr1=circshift(l1_zeros(end:-1:1).,1).;%重构低通滤波器重构低通滤波器1 1hr1=circshift(h1_zeros(end:-1:1).,1).;hr1=circshift(h1_zeros(end:-1:1).,1).;%重构高通滤波器重构高通滤波器

33、1 1lowr=(ifft(fft(low2).*fft(lr2)+ifft(fft(high2).*fft(hr2);lowr=(ifft(fft(low2).*fft(lr2)+ifft(fft(high2).*fft(hr2);%重构低频分量重构低频分量1(lowr=low1)1(lowr=low1)r_s=(ifft(fft(lowr).*fft(lr1)+ifft(fft(high1).*fft(hr1);r_s=(ifft(fft(lowr).*fft(lr1)+ifft(fft(high1).*fft(hr1);%重构源信号重构源信号(r_s=y)(r_s=y)小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构S3.多分辨分析与小波变换uu程序运行结果：小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构完！小波变换与信号的分解重构小波变换与信号的分解重构