《最新同济六版高等数学第三章第一节课件75816ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新同济六版高等数学第三章第一节课件75816ppt课件（26页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、同济六版高等数学第三章第一同济六版高等数学第三章第一节课件节课件75816一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理3.1 中值定理上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页二、拉格朗日中值定理观察与思考 设连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标不相等 提问：直线AB的斜率k?f()?提示：下页 直线AB的斜率上页下页铃结束返回首页 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点 使得f(b)f(a)f
2、()(ba)v拉格朗日中值定理下页 直线AB的斜率上页下页铃结束返回首页则函数j(x)在区间a b上满足罗尔定理的条件 于是至少存在一点(a b)使j()0 即 简要证明 由此得 f(b)f(a)f()(ba)下页 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点 使得f(b)f(a)f()(ba)v拉格朗日中值定理0上页下页铃结束返回首页 f(b)f(a)f()(ba)f(xDx)f(x)f(xDx)Dx(0 1)Dyf(xDx)Dx(0 1)拉格朗日中值公式下页 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至
3、少有一点 使得f(b)f(a)f()(ba)v拉格朗日中值定理注：dyf(x)Dx是函数增量Dy的近似表达式 f(xDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式 上页下页铃结束返回首页 f(b)f(a)f()(ba)f(xDx)f(x)f(xDx)Dx(0 1)Dyf(xDx)Dx(0 上页下页铃结束返回首页 证明 设f(x)ln(1x)显然f(x)在区间0 x上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 就有 f(x)f(0)f()(x0)0 x 又由0 x 有 例3 首页上页下页铃结束返回首页例4.(p134 6)证明等式证明等式证证:设由推论可知 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.
4、自证自证:经验经验:欲证时只需证在 I 上上页下页铃结束返回首页三、柯西中值定理v柯西中值定理 函数f(x)及F(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且F(x)在(a b)内恒不为零 那么在(a b)内至少有一点 使得下页 显然 如果取F(x)x 那么F(b)F(a)ba F(x)1 因而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)f()(ba)(ab)这样就变成了拉格朗日中值公式了 柯西中值公式上页下页铃结束返回首页分析分析:要证上页下页铃结束返回首页证证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考思考:柯西定理的下述证法对吗?两个 不一定相同错错!上面两式相比即得结论.上页
5、下页铃结束返回首页柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率上页下页铃结束返回首页例5.设至少存在一点使证证:结论可变形为设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维设辅助函数上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习1.设且在内可导,证明至少存在一点使2.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.上页下页铃结束返回首页1.设且在内可导,证明至少存在一点使提示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设上页下页铃结束返回首页2.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.上页下页铃结束返回首页作业作业P134 8,9
最新同济六版高等数学第三章第一节课件75816ppt课件
