最新十三章节检验与方差分析ppt课件

《最新十三章节检验与方差分析ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新十三章节检验与方差分析ppt课件（63页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、十三章节检验与方差分析十三章节检验与方差分析第一节第一节 拟合优度检验拟合优度检验 运用运用Z检验、检验、t检验等讨论假设检验的问题，一般要求总体服从检验等讨论假设检验的问题，一般要求总体服从正态分布，或者在大样本条件下可以利用渐近正态分布理论来描述正态分布，或者在大样本条件下可以利用渐近正态分布理论来描述抽样分布。也就是说，我们都要直接或间接地假定对象总体具有已抽样分布。也就是说，我们都要直接或间接地假定对象总体具有已知的分布形式，然后对总体的未知参数进行假设检验。如果不知道知的分布形式，然后对总体的未知参数进行假设检验。如果不知道总体的分布形式，就无法运用总体的分布形式，就无法运用t检验法

2、等对总体参数进行假设检验。检验法等对总体参数进行假设检验。于是，这里有一个前面留下来的尚未讨论的问题很重要，就是怎样于是，这里有一个前面留下来的尚未讨论的问题很重要，就是怎样检定总体是否具有正态或其他分布形式？拟合优度检验正是就这一检定总体是否具有正态或其他分布形式？拟合优度检验正是就这一问题而言的检验方法。问题而言的检验方法。3 3正态拟合检验正态拟合检验 例例例例 试对下表所给男青年身高分布的数据作正态拟合检验，选取试对下表所给男青年身高分布的数据作正态拟合检验，选取试对下表所给男青年身高分布的数据作正态拟合检验，选取试对下表所给男青年身高分布的数据作正态拟合检验，选取 0 00505。解

3、解解解 检验的另一个重要应用是对交互分类资料的独立性检验，检验的另一个重要应用是对交互分类资料的独立性检验，即列联表检验。在上一章，我们曾多次提到过性别与收入高低有无即列联表检验。在上一章，我们曾多次提到过性别与收入高低有无关联的问题，在实际中类似的问题很多。例如受教育程度与投票行关联的问题，在实际中类似的问题很多。例如受教育程度与投票行为有无关联为有无关联?吸烟与寿命长短有无关联吸烟与寿命长短有无关联?家庭小孩多少与收入多少有家庭小孩多少与收入多少有无关联无关联?受教育时间长短与收入多少有无关联受教育时间长短与收入多少有无关联?血型与某种性格上的血型与某种性格上的差异有无关联差异有无关联?等

4、等，把这类问题上升到一般，就是在列联表的基等等，把这类问题上升到一般，就是在列联表的基础上考察变量础上考察变量X X与与Y Y有无关联。由于列联表一般是按品质标志把两个有无关联。由于列联表一般是按品质标志把两个变量的频数进行交互分类的，所以：变量的频数进行交互分类的，所以：检验法用于对交互分类资料的独立性检验，有其它方法检验法用于对交互分类资料的独立性检验，有其它方法无法比拟的优点；无法比拟的优点；如何求得列联表中的理论频数就成了独立性检验的关键。如何求得列联表中的理论频数就成了独立性检验的关键。第二节第二节 无关联性检验无关联性检验 1 1、独立性、理论频数及自由度、独立性、理论频数及自由度

5、、独立性、理论频数及自由度、独立性、理论频数及自由度应用此式，不必计算理论频数应用此式，不必计算理论频数计算与计算与 这个检验统计量相这个检验统计量相联系的自由度联系的自由度算出算出 统计量之值并定出其自由度后，就可以依前述的方法，在给定了显著统计量之值并定出其自由度后，就可以依前述的方法，在给定了显著性水平之后，来对性水平之后，来对X，Y属性无关联的零假设进行检验了。属性无关联的零假设进行检验了。应用举例应用举例 检验也适用于定类变量和定类变量的相关统计，即可检验也适用于定类变量和定类变量的相关统计，即可以用它检定以用它检定和和系数是否显著。就下表所示资料，试以系数是否显著。就下表所示资料，

6、试以 检验检定性别与收入之间的相关程度是否显著检验检定性别与收入之间的相关程度是否显著(取取0 0001)001)。解解解解 故拒绝故拒绝故拒绝故拒绝HH0 0，即认为总体上性别与收入高低之间不独立，有，即认为总体上性别与收入高低之间不独立，有，即认为总体上性别与收入高低之间不独立，有，即认为总体上性别与收入高低之间不独立，有显著相关关系。显著相关关系。显著相关关系。显著相关关系。例例 在某种流行病流行的时候，共有在某种流行病流行的时候，共有120120个病人进行了治疗，其中个病人进行了治疗，其中4040个个病人按标准剂量服用某种新药，另有病人按标准剂量服用某种新药，另有4040个病人按标准剂

7、量的个病人按标准剂量的2 2倍服用了这种倍服用了这种新药，其余新药，其余4040个病人只按病状治疗个病人只按病状治疗(而不是按病因治疗而不是按病因治疗)，治疗结果按迅速痊，治疗结果按迅速痊愈、缓慢痊愈、未痊愈分为三类，最后交叉分类的情况列于下表，试问这愈、缓慢痊愈、未痊愈分为三类，最后交叉分类的情况列于下表，试问这三种疗法之间有没有差别三种疗法之间有没有差别(取取0 005)05)。解解解解 HH0 0：这三种疗法之间没有差别：这三种疗法之间没有差别：这三种疗法之间没有差别：这三种疗法之间没有差别 HH1 1：这三种疗法之间有差别：这三种疗法之间有差别：这三种疗法之间有差别：这三种疗法之间有差

8、别 由于由于由于由于 0 00505；自由度；自由度；自由度；自由度k k(c cl)(l)(r r l)l)22224 4，查，查，查，查 分布表得临界值：分布表得临界值：分布表得临界值：分布表得临界值：在零假设下，计算检验统计量，计算过程参见后表。在零假设下，计算检验统计量，计算过程参见后表。在零假设下，计算检验统计量，计算过程参见后表。在零假设下，计算检验统计量，计算过程参见后表。因此因此因此因此 ，故拒绝零假设，即三种疗法之间有，故拒绝零假设，即三种疗法之间有，故拒绝零假设，即三种疗法之间有，故拒绝零假设，即三种疗法之间有显著差别。显著差别。显著差别。显著差别。第三节第三节 方差分析方

9、差分析 方差分析，是一种很重要的分析方法，它可以检验两个以方差分析，是一种很重要的分析方法，它可以检验两个以上样本均值之差。方差分析是均值差检验的推广，一般用于上样本均值之差。方差分析是均值差检验的推广，一般用于处理自变量是一个（或多个）定类变量和因变量是一个定距处理自变量是一个（或多个）定类变量和因变量是一个定距变量之间的关系。方差分析所包含的假定与均值差检验所包变量之间的关系。方差分析所包含的假定与均值差检验所包含的假定差不多，例如正态分布、独立随机样本、等方差性含的假定差不多，例如正态分布、独立随机样本、等方差性等，但检验本身却很不相同。方差分析直接涉及的是方差而等，但检验本身却很不相同

10、。方差分析直接涉及的是方差而不是均值和标准差。同时，比较也不取两种估计量之差，而不是均值和标准差。同时，比较也不取两种估计量之差，而是取两种估计量的比率。在两种估计量彼此独立的前提下，是取两种估计量的比率。在两种估计量彼此独立的前提下，两种估计量之比率两种估计量之比率F具有已知的抽样分布，因而可进行很简单具有已知的抽样分布，因而可进行很简单的检验。的检验。1总变差及其分解总变差及其分解 总变差总变差总变差总变差:在方差分析中记作在方差分析中记作在方差分析中记作在方差分析中记作SSSST T，它表示，它表示，它表示，它表示 对于总均值对于总均值对于总均值对于总均值 的偏差之的偏差之的偏差之的偏差

11、之平方和平方和平方和平方和。即：即：即：即：SST 式中式中式中式中:n n n ni i是第是第是第是第i i个样本的容量个样本的容量个样本的容量个样本的容量,n n n n 为什么会形成总变差这个散布度呢？为什么会形成总变差这个散布度呢？为什么会形成总变差这个散布度呢？为什么会形成总变差这个散布度呢？一是三个样本可能不同，这使全部数据一是三个样本可能不同，这使全部数据一是三个样本可能不同，这使全部数据一是三个样本可能不同，这使全部数据 有三个有三个有三个有三个“中心中心中心中心”；二是随机抽样误差的影响，使数据在每个中心附近有散布。二是随机抽样误差的影响，使数据在每个中心附近有散布。二是随

12、机抽样误差的影响，使数据在每个中心附近有散布。二是随机抽样误差的影响，使数据在每个中心附近有散布。总变差分解总变差分解总变差分解总变差分解 可以看出，总变差分解成两部分：可以看出，总变差分解成两部分：可以看出，总变差分解成两部分：可以看出，总变差分解成两部分：n n 第一部分是各观测值第一部分是各观测值第一部分是各观测值第一部分是各观测值 对其所属类别均值对其所属类别均值对其所属类别均值对其所属类别均值 的偏差的偏差的偏差的偏差的平方和，称为的平方和，称为的平方和，称为的平方和，称为组内变差组内变差组内变差组内变差(Within-groups Sum of(Within-groups Sum

13、of(Within-groups Sum of(Within-groups Sum of Squares)Squares)Squares)Squares)，记作，记作，记作，记作SSSSWW。组内变差反映了数据围绕各。组内变差反映了数据围绕各。组内变差反映了数据围绕各。组内变差反映了数据围绕各“中心中心中心中心”的散布程度，即反映了的散布程度，即反映了的散布程度，即反映了的散布程度，即反映了 因随机波动所产生的变异，因随机波动所产生的变异，因随机波动所产生的变异，因随机波动所产生的变异，与自变量因素无关。换言之与自变量因素无关。换言之与自变量因素无关。换言之与自变量因素无关。换言之,SSSSW

14、W是自变量因素所没有解是自变量因素所没有解是自变量因素所没有解是自变量因素所没有解释的释的释的释的 的变异。因此，又称之为的变异。因此，又称之为的变异。因此，又称之为的变异。因此，又称之为残差残差残差残差。n n 第二部分是第二部分是第二部分是第二部分是组间平方和组间平方和组间平方和组间平方和(Between-groups Sum of (Between-groups Sum of (Between-groups Sum of (Between-groups Sum of Squares)Squares)Squares)Squares)，记作，记作，记作，记作SSSSB B ，它涉及到诸类别均

15、值，它涉及到诸类别均值，它涉及到诸类别均值，它涉及到诸类别均值 对总均值对总均值对总均值对总均值 的偏差，反映了前表中数据的的偏差，反映了前表中数据的的偏差，反映了前表中数据的的偏差，反映了前表中数据的c c c c个个个个“中心中心中心中心”的散布程的散布程的散布程的散布程度。度。度。度。弄清了组间变差和组内变差，检验弄清了组间变差和组内变差，检验弄清了组间变差和组内变差，检验弄清了组间变差和组内变差，检验“A1A2A3”(“A1A2A3”(也就也就也就也就是零假设是零假设是零假设是零假设 1 1 2 2 3)3)的思路也就梳理出来了：关键是比较的思路也就梳理出来了：关键是比较的思路也就梳理

16、出来了：关键是比较的思路也就梳理出来了：关键是比较两种变差是否有显著差异。若第一种变差明显大于第二种两种变差是否有显著差异。若第一种变差明显大于第二种两种变差是否有显著差异。若第一种变差明显大于第二种两种变差是否有显著差异。若第一种变差明显大于第二种变差，则认为家庭因素对孩子图书消费是有影响的；若第变差，则认为家庭因素对孩子图书消费是有影响的；若第变差，则认为家庭因素对孩子图书消费是有影响的；若第变差，则认为家庭因素对孩子图书消费是有影响的；若第一种变差与第二种变差之间无显著区别，则不能认为家庭一种变差与第二种变差之间无显著区别，则不能认为家庭一种变差与第二种变差之间无显著区别，则不能认为家庭

17、一种变差与第二种变差之间无显著区别，则不能认为家庭因素对孩子图书消费有影响。但在统计学上，方差分析不因素对孩子图书消费有影响。但在统计学上，方差分析不因素对孩子图书消费有影响。但在统计学上，方差分析不因素对孩子图书消费有影响。但在统计学上，方差分析不取两者之差而取两者之比来进行这种比较。而且，方差分取两者之差而取两者之比来进行这种比较。而且，方差分取两者之差而取两者之比来进行这种比较。而且，方差分取两者之差而取两者之比来进行这种比较。而且，方差分析不是直接用析不是直接用析不是直接用析不是直接用SSSSB B/SSSSWW作为检验统计量，而是用作为检验统计量，而是用作为检验统计量，而是用作为检验

18、统计量，而是用可以解释的可以解释的可以解释的可以解释的方差方差方差方差/不能解释的方差不能解释的方差不能解释的方差不能解释的方差作为检验统计量，即：作为检验统计量，即：作为检验统计量，即：作为检验统计量，即：2关于自由度关于自由度 组间平方和代表组间平方和代表组间平方和代表组间平方和代表c c个样本均值对总均值的偏差。也就个样本均值对总均值的偏差。也就个样本均值对总均值的偏差。也就个样本均值对总均值的偏差。也就是每个可看作为一个单位，是每个可看作为一个单位，是每个可看作为一个单位，是每个可看作为一个单位，c c个可看作为个可看作为个可看作为个可看作为c c个单位，有个单位，有个单位，有个单位，

19、有c c个个个个自由度，求用去一个自由度。因而，与组间平方和相联系自由度，求用去一个自由度。因而，与组间平方和相联系自由度，求用去一个自由度。因而，与组间平方和相联系自由度，求用去一个自由度。因而，与组间平方和相联系的自由度为的自由度为的自由度为的自由度为c c11。再看组内平方和，计算时每列失去一个。再看组内平方和，计算时每列失去一个。再看组内平方和，计算时每列失去一个。再看组内平方和，计算时每列失去一个自由度。因而，与组内平方和相联系的自由度为自由度。因而，与组内平方和相联系的自由度为自由度。因而，与组内平方和相联系的自由度为自由度。因而，与组内平方和相联系的自由度为n n c c。最。最

20、。最。最后看总平方和，计算总均值时失去一个自由度。因而，与后看总平方和，计算总均值时失去一个自由度。因而，与后看总平方和，计算总均值时失去一个自由度。因而，与后看总平方和，计算总均值时失去一个自由度。因而，与总平方和相联系的自由度为总平方和相联系的自由度为总平方和相联系的自由度为总平方和相联系的自由度为n nll。总的来看有。总的来看有。总的来看有。总的来看有:n nl l（n nc c）+（c c11）总自由度组内自由度总自由度组内自由度总自由度组内自由度总自由度组内自由度+组间自由度组间自由度组间自由度组间自由度 pp 上式是在上式是在在零假设在零假设(H(H0 0：1 1 2 2 c c

21、)之下，检验统计量之下，检验统计量F Fo o的计算公的计算公式。式。pp 理论证明：上式服从分子自由度为理论证明：上式服从分子自由度为k k1 1c c11、分母自由度为、分母自由度为k k2 2（ncnc）的的F F分布。于是，给定显著性水平分布。于是，给定显著性水平，我们就可以很方便地从，我们就可以很方便地从F F分分布表中查到临界值布表中查到临界值F F(c1(c1，nc)nc)。如果出现。如果出现F Fo oF F 的情况，我们将在这的情况，我们将在这个显著性水平上拒绝零假设。在实际运用中，方差分析的结果常用一种个显著性水平上拒绝零假设。在实际运用中，方差分析的结果常用一种称为称为“

22、方差分析表方差分析表”的标准形式的表格表示出来，其基本形式如表后所的标准形式的表格表示出来，其基本形式如表后所示。示。为了简化检验统计量为了简化检验统计量为了简化检验统计量为了简化检验统计量FoFo的计算，有必要将的计算，有必要将的计算，有必要将的计算，有必要将SSSST T、SSSSWW、SSSSB B这三个这三个这三个这三个定义式展开，其方法与分解总变差的方法相同。于是有：定义式展开，其方法与分解总变差的方法相同。于是有：定义式展开，其方法与分解总变差的方法相同。于是有：定义式展开，其方法与分解总变差的方法相同。于是有：3 3关于检验统计量关于检验统计量关于检验统计量关于检验统计量F Fo

23、 o的计算的计算的计算的计算 注意，由于总变差等于另两个变差之和，所以三个变差中仅需求出两注意，由于总变差等于另两个变差之和，所以三个变差中仅需求出两个变差。求出组内平方和比求另两个平方和繁琐得多，故通常我们都是从个变差。求出组内平方和比求另两个平方和繁琐得多，故通常我们都是从总平方和减去组间平方和来求组内平方和的。总平方和减去组间平方和来求组内平方和的。例例 试对下表中的资料，计算试对下表中的资料，计算SSSST T 、SSSSWW、SSSSB B ，并检验，并检验 1 1 2 2 3 3的零假设的零假设(取取0 005)05)。解：解：解：解：据题意，据题意，n n1 1n n2 2n n

24、3 38 8，n n1 1+n+n2 2+n+n3 32424 组内自由度组内自由度ncnc2432432121 组间自由度组间自由度c1c131312 2 分别计算分别计算SSSST T和和SSSSB B ，计算过程参见下表。，计算过程参见下表。由于由于 0 00505，查，查F F分布表得临界值分布表得临界值 ：F F(c c11，n n c c)F F 0.05 0.05(2(2，21)21)3 347471 11919 故在故在0.050.05显著性水平上不否定零假设，即没有充分根据提出这三显著性水平上不否定零假设，即没有充分根据提出这三类家庭的孩子在图书消费方面有显著不同。类家庭的孩

25、子在图书消费方面有显著不同。例例 研究某种商品研究某种商品销销量与品牌的关系，得下表量与品牌的关系，得下表资资料，其料，其中中A A1 1，A A2 2，A A3 3表示不同的品牌，数据表示表示不同的品牌，数据表示销销量。量。试试以以显显著性著性水平水平1010判断品牌判断品牌对该对该种商品的种商品的销销量有无影响。量有无影响。解解解解 据据题题意，意，n n1 1n n1 1+n n2 2+n n3 32+4+3 2+4+3 9 9 组组内自由度内自由度n nc c93936 6 组间组间自由度自由度c c1131312 2 分分别计别计算算SSSST T和和SSSSB B，计计算算过过程参

26、程参见见前表前表13.1613.16。于是得于是得MSMSB B 和和 MSMSW W MSMSB BSSSSB B（c c11）6.89/26.89/23.453.45 MSMSW W SSSSW W（n nc c）30/630/65.005.00 再根据再根据(13(1319)19)式求式求检验统计检验统计量量F Fo o F Fo o 0.69 0.69 1 1 故在故在0 01010显显著性水平上不否定零假著性水平上不否定零假设设，即不能判断不同品脾，即不能判断不同品脾对对 该该种商品的种商品的销销量有量有显显著影响。著影响。4相关比率相关比率 当方差分析的当方差分析的检验检验呈呈显显

27、著性后，著性后，进进一步一步讨论讨论两两变变量量间间的相关程度是很自然的相关程度是很自然的。方差分析中相关程度的的。方差分析中相关程度的测测定仍采用定仍采用PREPRE法。当不知因法。当不知因变变量量Y Y 的取的取值值与自与自变变量量X X 的取的取值值A A1 1，A A2 2，A A c c有关有关时时，最好的，最好的预测预测是以是以总总均均值值 作作为为Y Y 的估的估计值计值。此此时时，估，估计计所犯的所犯的错误错误将等于将等于SSSST T E E1 1 1 1SSSST T 当已知因当已知因变变量量Y Y 的取的取值值与自与自变变量量X X 的取的取值值A A1 1，A A2 2

28、，A A c c有关后，自然用各有关后，自然用各样样本的均本的均值值 作作为为各各类别类别的的预测值预测值，此，此时预测时预测所所产产生的生的误误差将等于差将等于SSSSWW E E2 2SSSSW W 所以消减所以消减误误差比例可写成差比例可写成 PRE PRE 正是因正是因为为上式，我上式，我们们把把SSSSB B称称为为已解已解释释的的变变差。差。显显然，已解然，已解释释的的变变差越大，差越大，预测预测Y Y 所减少的所减少的误误差就越多，差就越多，X X与与Y Y 之之间间的关系就越密切。据此，方差分析中把的关系就越密切。据此，方差分析中把已解已解释释的的变变差差对总变对总变差的比差的

29、比值值称称为为相关比率，用符号相关比率，用符号 表示表示 1 1 可用于一个定可用于一个定类变类变量与一个定距量与一个定距变变量的相关程度的量的相关程度的测测定，当然也可以用定，当然也可以用于定序于定序定距定距变变量或定距量或定距定距定距变变量的相关程度的量的相关程度的测测定。定。例例例例 试试试试以表以表以表以表1313131312121212的的的的资资资资料，分析孩子料，分析孩子料，分析孩子料，分析孩子图书图书图书图书消消消消费费费费与家庭与家庭与家庭与家庭类类类类型的关系。型的关系。型的关系。型的关系。解解解解 据前面例据前面例据前面例据前面例题题题题中已中已中已中已计计计计算的算的算

30、的算的结结结结果，已知果，已知果，已知果，已知SSSSB B28282828，SSSST T276276276276，因而有，因而有，因而有，因而有 1 1 1 1 10.1%10.1%10.1%10.1%可可可可见见见见，就表，就表，就表，就表给资给资给资给资料而言，利用家庭料而言，利用家庭料而言，利用家庭料而言，利用家庭类类类类型型型型预测预测预测预测孩子孩子孩子孩子图书图书图书图书消消消消费费费费量，只能削减量，只能削减量，只能削减量，只能削减10.1%10.1%10.1%10.1%的的的的预测误预测误预测误预测误差。差。差。差。小结：n n 相关比率相关比率相关比率相关比率 研究的是定

31、研究的是定研究的是定研究的是定类类类类定距定距定距定距变变变变量之量之量之量之间间间间的相关程度。由于的相关程度。由于的相关程度。由于的相关程度。由于定定定定类变类变类变类变量不具有数量大小的量不具有数量大小的量不具有数量大小的量不具有数量大小的问题问题问题问题，不存在关系是否，不存在关系是否，不存在关系是否，不存在关系是否线线线线性的性的性的性的问题问题问题问题。因此，当因此，当因此，当因此，当 被用于研究定距被用于研究定距被用于研究定距被用于研究定距定距定距定距定距变变变变量之量之量之量之间间间间的关系的关系的关系的关系时时时时，不，不，不，不仅仅仅仅可以可以可以可以作作作作为线为线为线为

32、线性相关的量度，也可以作性相关的量度，也可以作性相关的量度，也可以作性相关的量度，也可以作为为为为非非非非线线线线性相关的量度。性相关的量度。性相关的量度。性相关的量度。这这这这意味着，意味着，意味着，意味着，对线对线对线对线性相关，相关比率性相关，相关比率性相关，相关比率性相关，相关比率 与与与与r r2 2 2 2(积积积积差系数之平方差系数之平方差系数之平方差系数之平方)有相同的有相同的有相同的有相同的PREPREPREPRE性性性性质质质质；但如果但如果但如果但如果对对对对非非非非线线线线性相关，用性相关，用性相关，用性相关，用积积积积差系数差系数差系数差系数r r 来来来来讨论讨论讨

33、论讨论就不行了。就不行了。就不行了。就不行了。n n 对对对对于于于于定定定定距距距距定定定定距距距距变变变变量量量量，曲曲曲曲线线线线相相相相关关关关既既既既然然然然要要要要用用用用R R来来来来测测测测量量量量，那那那那么么么么反反反反过过过过来来来来，同同同同一一一一资资资资料料料料通通通通过过过过相相相相关关关关指指指指数数数数R R与与与与积积积积差差差差系系系系数数数数r r计计计计算算算算的的的的比比比比较较较较，可可可可以以以以判判判判断断断断确确确确定定定定两两两两定定定定距距距距变变变变量量量量的的的的关关关关系系系系是是是是不不不不是是是是直直直直线线线线。如如如如果果果

34、果同同同同时时时时求求求求出出出出r r与与与与R R，r r 等等等等于于于于或或或或略略略略大大大大于于于于R R，可可可可说说说说明明明明两两两两变变变变量量量量关关关关系系系系是是是是直直直直线线线线的的的的，用用用用r r去去去去测测测测量量量量是是是是合合合合适适适适的的的的；如果如果如果如果r rR R，则说则说则说则说明两明两明两明两变变变变量关系可能是曲量关系可能是曲量关系可能是曲量关系可能是曲线线线线的。的。的。的。n n 首先首先 ，MSMSB B和和MSMSW W可以分可以分别别称称为组间为组间方差和方差和组组内方差，其中内方差，其中(在等方在等方差的假差的假设设下下)

35、组组内方差内方差总总是是2 2的无偏估的无偏估计计；而；而组间组间方差，只有当方差，只有当诸总诸总体体(即各即各样样本所代表的子本所代表的子总总体体)均均值实际值实际上相等上相等时时，它才是，它才是2 2的无偏估的无偏估计计。这这就是就是说说，如果零假，如果零假设为设为真，真，MSMSB B和和MSMSW W之之间间将没有太大的差将没有太大的差别别。反之。反之。如果零假如果零假设实际设实际不正确，可以期望不正确，可以期望MSMSB B和和MSMSW W的比的比值值大于大于1 1。如果。如果这这个比个比值值小于小于1 1，则则不从不从F F分布表中分布表中查查找找临临界界值值F F就可以判断零假

36、就可以判断零假设设不能被否定。不能被否定。n n 其次，以上两个例其次，以上两个例题题也可以用均也可以用均值值差差检验检验来来处处理。均理。均值值差差检验检验涉及涉及t t分布，可以做三分布，可以做三组组合的比合的比较较即即A A1 1与与A A2 2，A A2 2与与A A3 3，A A1 1与与A A3 3。与均。与均值值差差检检验验不同，方差分析不同，方差分析仅进仅进行一次行一次检验检验来判定三种来判定三种类别类别的家庭的家庭(或品牌或品牌)在消在消费费（或（或销销售）上彼此是否有售）上彼此是否有显显著性差异。方差分析的著性差异。方差分析的优优点在于，一个点在于，一个检检验验可以代替多个

37、可以代替多个检验检验。如果有四个。如果有四个类别类别，均，均值值差差检验检验需做需做(43)(43)2 26 6次；如果有六个次；如果有六个类别类别，需做，需做(65)(65)2 21515次；如果有十个次；如果有十个类别类别，需做，需做(109)(109)2 24545次。况且，如果做次。况且，如果做1515次均次均值值差差检验检验。其中。其中4 4次次结结果具有果具有显显著性，著性，这时应这时应当下什么当下什么结论结论?可能很可能很难难回答。回答。5关于方差分析的几点讨论关于方差分析的几点讨论n n 第三，方差分析中的自第三，方差分析中的自变变量量X X如果是二分如果是二分变变量，也可以采

38、用均量，也可以采用均值值差差t t检检验验。在。在这这种情况下，种情况下，F F 的分子自由度是的分子自由度是21211 1，分母自由度是，分母自由度是n n22，这这与与均均值值差差检验检验中的中的t t相同。相同。经过计经过计算可知，具有自由度算可知，具有自由度n n22的的t t 2 2值值等于具有等于具有分子自由度分子自由度为为1 1和分母自由度和分母自由度为为n n22的的F F 值值。比。比较较F F 表和表和t t 表也可以核表也可以核实这实这一点。一点。换换言之，言之，t t是是分子自由度分子自由度为为l l的的F F 的平方根。的平方根。这这当然意味着，当然意味着，对对于于样

39、样本而言，此本而言，此时时不不论论采用方差分析或均采用方差分析或均值值差差检验检验，其，其结结果完全相同。果完全相同。n n 第四，本第四，本节节集中集中讨论讨论了自了自变变量量为为一个定一个定类变类变量而因量而因变变量量为为一个定距一个定距变变量的情况。如果量的情况。如果对对因因变变量量Y Y影响的自影响的自变变量由一个量由一个变为变为两个以上，我两个以上，我们们就将面就将面对对多元方差分析了。多元方差分析了。总变总变差分解的思想可以直接推广至多因素差分解的思想可以直接推广至多因素显显著性著性检验检验。例如就两个自例如就两个自变变量（量（A A和和B B）独立）独立对对因因变变量量Y Y 影

40、响的情况，可以得到下述方影响的情况，可以得到下述方差分析表差分析表(表表131317)17)。相关与回归，由于其广泛应用，如今在统计学中是高相关与回归，由于其广泛应用，如今在统计学中是高相关与回归，由于其广泛应用，如今在统计学中是高相关与回归，由于其广泛应用，如今在统计学中是高度发展的分支之一。而从实用的观点来看，线性关系是最简度发展的分支之一。而从实用的观点来看，线性关系是最简度发展的分支之一。而从实用的观点来看，线性关系是最简度发展的分支之一。而从实用的观点来看，线性关系是最简单也是最重要的一种关系。本书第十二章已经对积差系数与单也是最重要的一种关系。本书第十二章已经对积差系数与单也是最重

41、要的一种关系。本书第十二章已经对积差系数与单也是最重要的一种关系。本书第十二章已经对积差系数与回归直线作了比较细致的讨论。但有关假设检验的内容，由回归直线作了比较细致的讨论。但有关假设检验的内容，由回归直线作了比较细致的讨论。但有关假设检验的内容，由回归直线作了比较细致的讨论。但有关假设检验的内容，由于要借助于推论统计的知识方能阐明，所以本书将这部分内于要借助于推论统计的知识方能阐明，所以本书将这部分内于要借助于推论统计的知识方能阐明，所以本书将这部分内于要借助于推论统计的知识方能阐明，所以本书将这部分内容集中放到这一节来加以补充。学过推论统计的人要克制自容集中放到这一节来加以补充。学过推论统

42、计的人要克制自容集中放到这一节来加以补充。学过推论统计的人要克制自容集中放到这一节来加以补充。学过推论统计的人要克制自己免受直线的诱惑，对此，讨论回归系数和积差系数之假设己免受直线的诱惑，对此，讨论回归系数和积差系数之假设己免受直线的诱惑，对此，讨论回归系数和积差系数之假设己免受直线的诱惑，对此，讨论回归系数和积差系数之假设检验将具有重要意义。检验将具有重要意义。检验将具有重要意义。检验将具有重要意义。第四节第四节 回归方程与相关系数的检验回归方程与相关系数的检验 1回归系数的检验回归系数的检验 检验两个总体变量检验两个总体变量检验两个总体变量检验两个总体变量(定距定距定距定距定距变量定距变量

43、定距变量定距变量)是否具有线性关系，主要检验是否具有线性关系，主要检验是否具有线性关系，主要检验是否具有线性关系，主要检验总体的回归系数总体的回归系数总体的回归系数总体的回归系数B B是否等于零。因此，对于总体线性检验的假设可写成是否等于零。因此，对于总体线性检验的假设可写成是否等于零。因此，对于总体线性检验的假设可写成是否等于零。因此，对于总体线性检验的假设可写成如下形式：如下形式：如下形式：如下形式：H0：B0 H1：B0 为为为为了了了了寻寻寻寻求求求求检验检验检验检验HH0 0 0 0的方法，我的方法，我的方法，我的方法，我们们们们需要需要需要需要对对对对离差平方和离差平方和离差平方和

44、离差平方和进进进进行分解。而行分解。而行分解。而行分解。而这项这项这项这项工作，前面已工作，前面已工作，前面已工作，前面已经经经经完成。我完成。我完成。我完成。我们发现们发现们发现们发现，估，估，估，估计计计计Y Y，当不知，当不知，当不知，当不知Y Y 和和和和X X 的关系的关系的关系的关系时时时时，对对对对它的最佳估它的最佳估它的最佳估它的最佳估计值计值计值计值只能是只能是只能是只能是 。离差之平方和（。离差之平方和（。离差之平方和（。离差之平方和（总变总变总变总变差），正是差），正是差），正是差），正是不知不知不知不知Y Y 和和和和X X 的关系的关系的关系的关系时时时时，估，估，估

45、，估计计计计Y Y的全部的全部的全部的全部误误误误差差差差E E0 0 0 0 E0 SST 做了回做了回做了回做了回归预测归预测归预测归预测之后我之后我之后我之后我们们们们可以用可以用可以用可以用Y Y Y Yc c c c估估估估计计计计Y Y Y Y(参参参参见见见见下下下下图图图图)。这时这时这时这时估估估估计计计计Y Y Y Y 的的的的误误误误差差差差变为变为变为变为E E E E1 1 1 1(剩余剩余剩余剩余变变变变差差差差):):):):E E1 1 SSSSWW n n 显显显显然，利用然，利用然，利用然，利用Y Yc c去估去估去估去估计计计计Y Y 比用去比用去比用去比

46、用去 估估估估计计计计Y Y 要消减一些要消减一些要消减一些要消减一些误误误误差。消减的差。消减的差。消减的差。消减的误误误误差差差差E E0 0 0 0E E1 1就是被回就是被回就是被回就是被回归归归归直直直直线线线线解解解解释释释释掉的掉的掉的掉的误误误误差差差差(回回回回归变归变归变归变差差差差)。n n 从第十二章已从第十二章已从第十二章已从第十二章已经讨论过经讨论过经讨论过经讨论过的回的回的回的回归变归变归变归变差和剩余差和剩余差和剩余差和剩余变变变变差的意差的意差的意差的意义义义义来看，一个来看，一个来看，一个来看，一个回回回回归归归归方程效果的好坏，取决于它方程效果的好坏，取决

47、于它方程效果的好坏，取决于它方程效果的好坏，取决于它们们们们两者之两者之两者之两者之间间间间的比的比的比的比较较较较。已解。已解。已解。已解释释释释的回的回的回的回归变归变归变归变差越大，用差越大，用差越大，用差越大，用Y Yc c 去估去估去估去估计计计计Y Y 比用去比用去比用去比用去 估估估估计计计计Y Y 消减的消减的消减的消减的误误误误差就越多，回差就越多，回差就越多，回差就越多，回归预测归预测归预测归预测的效果也就越好。依此，并按上一的效果也就越好。依此，并按上一的效果也就越好。依此，并按上一的效果也就越好。依此，并按上一节节节节方差分析的思想，在方差分析的思想，在方差分析的思想，

48、在方差分析的思想，在HH0 0 0 0成立的条成立的条成立的条成立的条件下，件下，件下，件下，检验检验检验检验回回回回归归归归直直直直线线线线的的的的统计统计统计统计量可构造量可构造量可构造量可构造为为为为 E0E1Fo F（1，n2）自由度问题自由度问题 pp 因回因回因回因回归变归变归变归变差中差中差中差中仅仅仅仅含一个自含一个自含一个自含一个自变变变变量量量量X X，故自由度，故自由度，故自由度，故自由度为为为为l l l l。而。而。而。而总变总变总变总变差所含自由度差所含自由度差所含自由度差所含自由度为为为为（n n1 1 1 1），从而由，从而由，从而由，从而由总总总总自由度自由度

49、自由度自由度组组组组内内内内自由度自由度自由度自由度+组间组间组间组间自由度，得剩余自由度，得剩余自由度，得剩余自由度，得剩余变变变变差的自由度差的自由度差的自由度差的自由度为为为为(n n2)2)2)2)。pp 对选对选对选对选定定定定显显显显著性水平著性水平著性水平著性水平，可，可，可，可查查查查表得表得表得表得临临临临界界界界值值值值F F。若出。若出。若出。若出现现现现F Fo oF F(1(1，n n22)的情况，的情况，的情况，的情况，则则则则拒拒拒拒绝绝绝绝HH0 0，即即即即认为认为认为认为回回回回归归归归方程中方程中方程中方程中X X变变变变量量量量对对对对Y Y的解的解的解

50、的解释释释释力是力是力是力是显显显显著的；若著的；若著的；若著的；若出出出出现现现现F Fo oF F(1(1，n n22)的情况，的情况，的情况，的情况，则则则则不能不能不能不能拒拒拒拒绝绝绝绝HH0 0，即即即即认为认为认为认为回回回回归归归归方程中方程中方程中方程中X X 变变变变量量量量对对对对Y Y 没有的没有的没有的没有的显显显显著的解著的解著的解著的解释释释释力。力。力。力。例例例例 对对对对 例例例例121212125 5 5 51111所建立的回所建立的回所建立的回所建立的回归归归归方程方程方程方程进进进进行回行回行回行回归归归归直直直直线线线线的的的的检验检验检验检验(取取

51、取取0 0 0 005)05)05)05)。解解解解 根据表根据表12.2212.22和和 例例12.5.112.5.1的的计计算算结结果可知：果可知：4848，252252，52.552.5，299.75299.75，268.5268.5 a a0.4750.475，b b0 0975975，n n12 12 299.75299.750.47552.50.47552.50 0975268.5975268.5 13.0213.02 (0.975)(0.975)2 2252 252 57570404 计计计计算算算算检验统计检验统计检验统计检验统计量量量量 F Fo o 43.81 43.81

52、对对对对0 0 0 005050505，查查查查F F F F 表得表得表得表得临临临临界界界界值值值值 F F F F(1(1(1(1，n n n n2)2)2)2)F F F F0 0 0 005050505(1(1(1(1，10)10)10)10)4 4 4 49696969643.8143.8143.8143.81 所以拒所以拒所以拒所以拒绝绝绝绝H H H H0 0 0 0，即可以，即可以，即可以，即可以认为对总认为对总认为对总认为对总体配置回体配置回体配置回体配置回归归归归直直直直线线线线是是是是 有意有意有意有意义义义义的。的。的。的。2 2积差系数的检验积差系数的检验积差系数的

53、检验积差系数的检验 pp 对于定距对于定距对于定距对于定距定距变量，上一章讨论的积差系数是就样本而言的。如定距变量，上一章讨论的积差系数是就样本而言的。如定距变量，上一章讨论的积差系数是就样本而言的。如定距变量，上一章讨论的积差系数是就样本而言的。如同样本均值、成数不能完全代表总体均值、成数一样，样本积差系数同样本均值、成数不能完全代表总体均值、成数一样，样本积差系数同样本均值、成数不能完全代表总体均值、成数一样，样本积差系数同样本均值、成数不能完全代表总体均值、成数一样，样本积差系数r r 也不就是总体积差系数也不就是总体积差系数也不就是总体积差系数也不就是总体积差系数。但在社会研究中，要想

54、确切了解两总体变量。但在社会研究中，要想确切了解两总体变量。但在社会研究中，要想确切了解两总体变量。但在社会研究中，要想确切了解两总体变量 (定距定距定距定距定距变量定距变量定距变量定距变量)间的积差系数是很间的积差系数是很间的积差系数是很间的积差系数是很 难的。所以，通常需要通过样本积难的。所以，通常需要通过样本积难的。所以，通常需要通过样本积难的。所以，通常需要通过样本积差系数的统计检验来认识总体的积差系数差系数的统计检验来认识总体的积差系数差系数的统计检验来认识总体的积差系数差系数的统计检验来认识总体的积差系数。pp 设有两变量设有两变量设有两变量设有两变量X X 和和和和Y Y，它们的

55、积差系数记为，它们的积差系数记为，它们的积差系数记为，它们的积差系数记为。当。当。当。当 0 0时，表示时，表示时，表示时，表示X X和和和和Y Y不不不不具有线性相关关系，当具有线性相关关系，当具有线性相关关系，当具有线性相关关系，当 00时，表示时，表示时，表示时，表示X X和和和和Y Y 具有线性相关关系。具有线性相关关系。具有线性相关关系。具有线性相关关系。pp 实践证明，样本积差系数实践证明，样本积差系数实践证明，样本积差系数实践证明，样本积差系数r r 值比较大时，并不等于总体积差系数值比较大时，并不等于总体积差系数值比较大时，并不等于总体积差系数值比较大时，并不等于总体积差系数

56、也也也也比较大。尤其是样本中所含观测值较少时，更可能出现这种情况。例如，比较大。尤其是样本中所含观测值较少时，更可能出现这种情况。例如，比较大。尤其是样本中所含观测值较少时，更可能出现这种情况。例如，比较大。尤其是样本中所含观测值较少时，更可能出现这种情况。例如，当当当当X X与与与与Y Y各只有两个样本数据时，积差系数总是为各只有两个样本数据时，积差系数总是为各只有两个样本数据时，积差系数总是为各只有两个样本数据时，积差系数总是为1 1，但显然这不，但显然这不，但显然这不，但显然这不 能说明变量间一定完全相关。也就是说，有时即使样本积差系数很能说明变量间一定完全相关。也就是说，有时即使样本积

57、差系数很能说明变量间一定完全相关。也就是说，有时即使样本积差系数很能说明变量间一定完全相关。也就是说，有时即使样本积差系数很 大，也并不一定就表明总体积差系数大，也并不一定就表明总体积差系数大，也并不一定就表明总体积差系数大，也并不一定就表明总体积差系数 也一定很大。总体积差系数也一定很大。总体积差系数也一定很大。总体积差系数也一定很大。总体积差系数 的情况，只有在对样本积差系数进行统计显著性检验后，才能得出结论。的情况，只有在对样本积差系数进行统计显著性检验后，才能得出结论。的情况，只有在对样本积差系数进行统计显著性检验后，才能得出结论。的情况，只有在对样本积差系数进行统计显著性检验后，才能

58、得出结论。那么判断线性相关的那么判断线性相关的“显著显著”与与“不显著不显著”的检验统计的检验统计量如何构造呢量如何构造呢?统计理论证明，样本积差系数是总体积差系数的一个无统计理论证明，样本积差系数是总体积差系数的一个无统计理论证明，样本积差系数是总体积差系数的一个无统计理论证明，样本积差系数是总体积差系数的一个无偏估计量，有偏估计量，有偏估计量，有偏估计量，有:=，=而且当而且当而且当而且当 0 0时，样本容量越大，时，样本容量越大，时，样本容量越大，时，样本容量越大，r r（显然为一随机变量）（显然为一随机变量）（显然为一随机变量）（显然为一随机变量）的抽样分布越接近于自由度为的抽样分布越

59、接近于自由度为的抽样分布越接近于自由度为的抽样分布越接近于自由度为nn2 2的的的的t t分布（见前图）。因而分布（见前图）。因而分布（见前图）。因而分布（见前图）。因而有检验统计量有检验统计量有检验统计量有检验统计量:tor t（n2）积积积积差系数差系数差系数差系数检验检验检验检验的假的假的假的假设为设为设为设为:HH0 0 0 0：0(0(0(0(两两两两总总总总体不具有体不具有体不具有体不具有线线线线性相关关系性相关关系性相关关系性相关关系)HH1 1 1 1：0(0(0(0(两两两两总总总总体具有体具有体具有体具有线线线线性相关关系性相关关系性相关关系性相关关系)对选对选对选对选定的

60、定的定的定的显显显显著性水平著性水平著性水平著性水平，查查查查t t分布表得分布表得分布表得分布表得临临临临界界界界值值值值t t/2/2/2/2（n n2222）,与与与与统计值统计值统计值统计值t to o作比作比作比作比较较较较。若。若。若。若 ，则则则则表明表明表明表明r r在在在在统计统计统计统计上是上是上是上是显显显显著的，即著的，即著的，即著的，即总总总总体体体体积积积积差系数差系数差系数差系数显显显显著地不同于零；著地不同于零；著地不同于零；著地不同于零；，则则则则说说说说明明明明r r在在在在统计统计统计统计上不上不上不上不显显显显著，即著，即著，即著，即X X与与与与Y Y

61、间间间间并不存在并不存在并不存在并不存在线线线线性相关关系。性相关关系。性相关关系。性相关关系。例例例例12124 411已对表已对表已对表已对表12122121所示资料求出积差系数，试所示资料求出积差系数，试所示资料求出积差系数，试所示资料求出积差系数，试在在在在0.050.05显著性水平上作总体相关检验。显著性水平上作总体相关检验。显著性水平上作总体相关检验。显著性水平上作总体相关检验。表表表表12.2112.21 解解解解 建立假建立假建立假建立假设设设设 HH0 0：0 0 HH1 1：00 已知已知已知已知r r r r0 0 0 0902902902902，n n n n12121

62、212，于是得，于是得，于是得，于是得 t to or r 0 0 0 0902 902 902 902 6 6 6 6608608608608 对对对对0 0 0 005050505，查查查查表得表得表得表得临临临临界界界界值值值值 t t/2 2 2 2（n n2 2 2 2）t t0 0 0 0。025025025025(10)(10)(10)(10)2 2 2 22282282282286 6 6 6608608608608 故拒故拒故拒故拒绝绝绝绝H0H0H0H0，接受，接受，接受，接受H1H1H1H1，即，即，即，即认为员认为员认为员认为员工的工工的工工的工工的工龄龄龄龄和技和技和

63、技和技术术术术考核分之考核分之考核分之考核分之间间间间存在存在存在存在线线线线 性相关。性相关。性相关。性相关。但是，但是，但是，但是，为为为为了使用者的方便，上述了使用者的方便，上述了使用者的方便，上述了使用者的方便，上述检验现检验现检验现检验现已已已已简简简简化化化化为为为为使用相关系数使用相关系数使用相关系数使用相关系数r r进进进进 行直接行直接行直接行直接检验检验检验检验。附表。附表。附表。附表12121212是以是以是以是以r r的抽的抽的抽的抽样样样样分布分布分布分布编编编编制的相关系数表，只要制的相关系数表，只要制的相关系数表，只要制的相关系数表，只要给给给给出出出出显显显显

64、著性水平著性水平著性水平著性水平和自由度和自由度和自由度和自由度k kn n2 2 2 2，便可以在表中直接，便可以在表中直接，便可以在表中直接，便可以在表中直接查查查查出相出相出相出相应应应应的的的的临临临临界界界界值值值值 r r(n n2)2)2)2)。解解 已知已知已知已知r r0 0 0 0902902902902，n n12121212，对对对对0 0 0 005050505，k k 12122 2 2 210101010，从附表，从附表，从附表，从附表12121212中中中中查查查查得得得得 r r(n n2)2)2)2)r r(10)(10)(10)(10)0 0 0 0576

65、5765765760 0 0 0902902902902 故拒故拒故拒故拒绝绝绝绝零假零假零假零假设设设设，即在，即在，即在，即在0 0 0 005050505显显显显著性水平上可以著性水平上可以著性水平上可以著性水平上可以认认认认为员为员为员为员工的工工的工工的工工的工龄龄龄龄和技和技和技和技术术术术考核分之考核分之考核分之考核分之间间间间存在存在存在存在线线线线性相关。性相关。性相关。性相关。例例:用附表用附表用附表用附表1212直接对上例进行积差系数检验。直接对上例进行积差系数检验。直接对上例进行积差系数检验。直接对上例进行积差系数检验。小结：小结：小结：小结：n n 上一小上一小上一小

66、上一小节节节节，我，我，我，我们讲们讲们讲们讲的是回的是回的是回的是回归归归归系数的系数的系数的系数的检验检验检验检验，实际实际实际实际上那只是上那只是上那只是上那只是线线线线性回性回性回性回归归归归方程的方程的方程的方程的检验检验检验检验。而。而。而。而这这这这一小一小一小一小节讨论积节讨论积节讨论积节讨论积差系数的差系数的差系数的差系数的检验检验检验检验，也是要确，也是要确，也是要确，也是要确认总认总认总认总体体体体线线线线性性性性相关的存在。因而假相关的存在。因而假相关的存在。因而假相关的存在。因而假设设设设HH0 0：B B0 0与假与假与假与假设设设设HH0 0：0 0等价。也就是等价。也就是等价。也就是等价。也就是说说说说，如果如果如果如果样样样样本本本本积积积积差系数差系数差系数差系数r r 通通通通过过过过了了了了检验检验检验检验(t t 检验检验检验检验)，也必然，也必然，也必然，也必然导导导导致回致回致回致回归归归归系数系数系数系数b b能通能通能通能通过检验过检验过检验过检验(F F检验检验检验检验)。实际实际实际实际上上上上F F公式与公式与公式与公式与t t