地图的数学基础

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1、第 三 章 地 图 的 数 学 基 础第一节 地图投影的概念 地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独立的学科。 我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用的最基本投影的性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确的辨认使用各种常用的投影。 一 、 地 球 的 形 状 和 大 小 地 球 作 为 地 图 投 影 的 投 影 对 象 ， 有 其 独 特 的 形 状 和

2、 大 小 ， 地 球 的形 状 是 个 球 体 ， 地 球 并 不 是 一 个 正 球 体 ， 而 是 一 个 极 半 径 略 短 、 赤道 半 径 略 长 ， 北 极 略 突 出 、 南 极 略 扁 平 ， 近 似 于 梨 形 的 椭 球 体 。 能替 代 地 球 的 是 一 个 近 似 于 旋 转 的 椭 圆 体 ， 称 为 地 球 椭 球 体 ， 测 绘 工作 中 采 用 地 球 椭 球 体 。 地 球 椭 球 体 的 大 小 ， 由 于 推 求 所 用 资 料 、 年 代 和 方 法 不 同 ， 许 多科 学 家 所 测 定 地 球 椭 球 体 的 大 小 也 不 尽 相 同 ， 我

3、国 1953年 以 前 采 用海 福 特 椭 球 体 ， 从 1953年 起 采 用 克 拉 索 夫 斯 基 椭 球 体 ， 它 的 长 半 径（ 赤 道 半 径 ） a=6378245m， 短 半 径 b=6356863m ， 偏 率 d=a-b/a=1：298.3这 是 原 苏 联 科 学 家 克 拉 索 夫 斯 基 1940年 测 定 的 。 由 于 地 球 椭 球 体 长 短 半 径 差 值 很 小 ， 约 21km， 在 制 作 小 比 例 尺 地 图时 ， 因 为 缩 小 的 程 度 很 大 ， 若 制 作 1： 1000万 地 图 ， 地 球 椭 球 体 缩 小 1000万 倍

4、， 这 时 长 短 半 径 之 差 只 是 2.1mm， 所 以 在 制 作 小 比 例 尺 地 图时 ， 可 忽 略 地 球 扁 率 ， 将 地 球 视 为 圆 球 体 ， 地 球 半 径 为 6371km。 制作 大 比 例 尺 地 图 时 必 须 将 地 球 视 为 椭 球 体 。 二、地图表面和地球球面的矛盾 地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将球面沿经线月牙切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。 三 、 地 图 投 影 的 概

5、 念 球 面 上 任 一 点 的 位 置 是 用 地 理 坐 标 （ 、 ） 表 示 的 ，而 平 面 上 点 的 位 置 是 用 直 角 坐 标 （ 纵 坐 标 是 x,横 坐 标 是 y）表 示 的 ， 所 以 要 将 地 球 球 面 上 的 点 转 移 到 平 面 上 ， 必 须 采 用一 定 的 数 学 方 法 来 确 定 地 理 坐 标 与 平 面 坐 标 之 间 的 关 系 。 这种 在 球 面 和 平 面 之 间 建 立 点 与 点 之 间 函 数 关 系 的 数 学 方 法 ，称 为 地 图 投 影 。 投 影 演 示 球 面 上 任 意 一 点 的 位 置 决定 于 它 的

6、经 纬 度 ， 所 以 实 际 投影 时 是 先 将 一 些 经 纬 线 的 交 点展 绘 在 平 面 上 ， 再 将 相 同 经 度的 点 连 成 经 线 ， 相 同 纬 度 的 点连 成 纬 线 ， 构 成 经 纬 线 网 。 有了 经 纬 线 网 后 ， 就 可 以 将 球 面上 的 地 理 事 物 ， 按 照 其 所 在 的经 纬 度 ， 用 一 定 的 符 号 画 在 平面 上 相 应 位 置 处 。 由 此 看 来 ，地 图 投 影 的 实 质 是 将 地 球 椭 球面 上 的 经 纬 网 按 一 定 的 数 学 法则 转 移 到 平 面 上 。 经 纬 线 网 是绘 制 地 图

7、的 “ 基 础 ” ， 是 地 图的 主 要 数 学 要 素 。 四 、 地 图 投 影 的 方 法 1.几 何 投 影 （ 透 视 投 影 ） 假 想 地 球 是 一 个 透 明 体 ， 光 源 位 于 球 心 ， 然 后 把 球 面 上 的 经 纬 网 投影 到 平 面 上 ， 就 得 到 一 张 球 面 经 纬 网 投 影 。 所 不 同 的 是 ， 地 图 投 影 面除 了 平 面 之 外 ， 还 有 可 展 成 平 面 的 圆 柱 面 和 圆 锥 面 ； 光 源 除 了 位 于 球心 之 外 ， 还 可 以 在 球 面 、 球 外 ， 或 无 穷 远 处 等 。 象 这 样 利 用

8、光 源 把 地球 面 上 的 经 纬 网 投 影 到 平 面 上 的 方 法 叫 做 几 何 投 影 或 者 几 何 透 视 法 。这 是 人 们 最 早 用 来 解 决 地 球 球 面 和 地 图 平 面 这 一 对 矛 盾 的 一 种 方 法 。 2.解 析 法 随 着 科 学 生 产 的 发 展 ， 几 何 透视 法 远 远 不 能 满 足 编 制 各 种 类 型 地图 的 需 要 ， 这 样 推 动 了 地 图 投 影 的发 展 ， 出 现 了 解 析 法 。 所 谓 解 析 法就 是 不 借 助 于 几 何 投 影 面 （ 而 仅 仅借 助 于 几 何 投 影 的 方 式 ） ， 按

9、 照 某些 条 件 用 数 学 分 析 法 确 定 球 面 与 平面 之 间 点 与 点 之 间 一 一 对 应 的 函 数关 系 。 X=f1( 、 ) Y=f2( 、 )函 数 f1f2的 具 体 形 式 ， 是 由 给 定 的投 影 条 件 确 定 的 。 有 了 这 种 对 应 关系 式 ， 就 可 把 球 面 上 的 经 纬 网 交 点表 示 到 平 面 上 了 。 第 二 节 地 图 投 影 的 变 形一 、 变 形 的 概 念 由 于 球 面 是 一 个 不 可 直 接 展 成 平 面 的 曲 面 ， 因 此 无 论 采 用 什 么 投影 方 法 ， 得 到 经 纬 网 的 形

10、状 不 同 ,它 们 与 球 面 上 的 经 纬 网 形 状 也 是不 完 全 相 似 的 。 这 表 明 地 图 上 的 经 纬 网 发 生 了 变 形 。 因 而 根 据 地 理坐 标 展 绘 在 地 图 上 的 各 种 地 面 事 物 。 也 必 然 发 生 了 变 形 ， 为 了 正 确使 用 地 图 ， 必 须 了 解 投 影 后 产 生 的 变 形 ， 所 以 投 影 变 形 问 题 是 地 图投 影 的 重 要 组 成 部 分 。 研 究 各 种 投 影 变 形 的 大 小 和 分 布 规 律 ， 具 有重 大 的 实 际 应 用 价 值 。 二 、 研 究 变 形 的 方 法

11、研 究 各 种 投 影 的 变 形 规 律 是 通 过 把 投 影 后 的 经 纬 线 网与 地 球 仪 上 经 纬 线 网 格 比 较 而 实 现 的 。 地 球 仪 是 地 球 的 真实 缩 小 。 通 过 比 较 就 会 发 现 两 者 是 不 会 相 同 的 。 为 了 研 究变 形 方 便 首 先 让 我 们 分 析 一 下 地 球 仪 上 经 纬 网 的 特 点 ： 1.地 球 仪 上 所 有 经 线 圈 都 是 通 过 两 极 的 大 圆 ； 长 度 相等 ； 所 有 纬 线 除 赤 道 是 大 圆 外 ， 其 余 都 是 小 圆 ， 并 且 从 赤道 向 两 极 越 来 越 小

12、 ， 在 极 地 成 为 一 点 。 换 句 话 说 纬 线 长 度不 等 ， 赤 道 最 长 ， 随 着 纬 度 增 高 ， 极 地 为 零 。 2.经 线 表 示 南 北 方 向 ； 纬 线 表 示 东 西 方 向 。 3.经 线 和 纬 线 是 相 互 垂 直 的 。 4.纬 差 相 等 的 经 线 弧 长 相 等 ； 同 一 条 纬 线 上 经 差 相 等的 纬 线 弧 长 相 等 ， 在 不 同 的 纬 线 上 ， 经 差 相 等 的 纬 线 弧 长不 等 ， 而 从 赤 道 向 两 极 逐 渐 缩 小 。 5.同 一 纬 度 带 内 ， 经 差 相 同 的 经 纬 线 网 格 面

13、积 相 等 ，不 同 纬 度 带 内 ， 网 格 面 积 不 等 ， 同 一 经 度 带 内 ， 纬 度 越 高 ， 梯 形 面 积 越 小 。 由 低 纬 向 高 纬 逐 渐 缩 小 。 比 较 三 、 投 影 变 形 的 相 关 概 念 1.长 度 比 和 长 度 变 形 设 地 球 球 面 上 有 一 微 小 线 段 ds,投 影 到 平 面 上 为 ds ,如图 所 示 。 平 面 上 微 小 线 段 与 球 面 上 相 应 微 小 线 段 之 比 ， 叫 做 长 度比 。 用 公 式 表 示 为 ： =ds /ds 长 度 比 是 一 个 变 量 ， 它 不 仅 随 着 点 的 位

14、置 不 同 而 变 化 ，还 随 着 方 向 的 变 化 而 变 化 。 长 度 比 是 指 某 点 某 方 向 上 微 小 线 段 之 比 。 通 常 研 究 长 度 比 时 ， 不 一 一 研 究 各 个 方 向 的 长 度 比 ， 而只 研 究 一 些 特 定 方 向 的 长 度 比 ， 即 研 究 最 大 长 度 比 （ a） 和 最小 长 度 比 （ b） ,经 线 长 度 比 （ m） 和 纬 线 长 度 比 （ n） 。 投 影后 经 纬 线 成 直 交 者 ， 经 纬 线 长 度 比 就 是 最 大 和 最 小 长 度 比 。投 影 后 经 纬 线 不 直 交 ， 其 夹 角

15、为 ,则 经 纬 线 长 度 比 m、 n和最 大 、 最 小 长 度 比 a、 b之 间 具 有 如 下 关 系 ： 根 据 解 析 几 何 中阿 波 隆 尼 亚 定 理 m2+n2=a2+b2mnsin =ab 用 长 度 比 可 以 说 明 长 度 变 形 。 所 谓 长 度 变 形 就 是 长 度 比（ ） 与 1之 差 ， 用 v表 示 长 度 变 形 则 ： v= -1 由 此 可 知 ， 长 度 变 形 有 正 负 之 分 ， 长 度 变 形 为 正 ， 表 示投 影 后 长 度 增 加 ； 长 度 变 形 为 负 表 示 投 影 后 长 度 缩 短 ； 长 度变 形 为 零 ，

16、 则 长 度 无 变 形 。 2.主 比 例 尺 和 局 部 比 例 尺 平 常 地 图 上 注 记 的 比 例 尺 ， 称 之 为 主 比 例 尺 ， 它 是 运用 地 图 投 影 方 法 绘 制 经 纬 线 网 时 ， 首 先 把 地 球 椭 球 体 按 规定 比 例 尺 缩 小 ， 如 制 1： 100万 地 图 ， 首 先 将 地 球 缩 小 100万倍 ， 而 后 将 其 投 影 到 平 面 上 ， 那 么 1： 100万 就 是 地 图 的 主比 例 尺 。 由 于 投 影 时 有 变 形 ， 所 以 主 比 例 尺 仅 能 保 留 在 投影 后 没 有 变 形 的 点 或 线 上

17、 ， 而 其 他 地 方 不 是 比 主 比 例 尺 大 ，就 是 比 主 比 例 尺 小 。 所 以 大 于 或 小 于 主 比 例 尺 的 叫 局 部 比例 尺 。 注 意 长 度 比 、 长 度 变 形 与 地 图 比 例 尺 的 区 别 。 3.主 方 向 由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微小线段投影后不一定正交，例如设o是球面上两条互相垂直的微小线段，过o作两条垂线ac和 bd，投影后ac和bd。即地球面上角aob和角boc为直角投影后分别为钝角aob和锐角boc。a b cd ao o b cd 设 想 ac、 bd二 垂 线 相 对 位 置 保 持 不 便 ， 并 绕

18、 o点 顺 时 针 旋 转 ， 当 旋 转 90度 时 ， 直 角 aob转 到 原 来 boc的 位 置 ， 这 时 投 影 由 原 来 的 锐 角 转 变 成 钝 角 ；同 样 的 ， 直 角 boc转 到 了 cob的 位 置 它 的 投 影 由 原 来 的 钝 角 变 为 锐 角 。 由此 可 见 ， 一 个 直 角 在 不 同 的 位 置 下 的 投 影 有 着 不 同 的 的 大 小 ， 可 以 由 锐角 变 为 钝 角 ， 或 者 相 反 。 那 么 在 变 化 的 过 程 中 ， 必 然 有 一 特 殊位 置 ， 直 角 投 影 后 仍 保 持 直 交 ， 此 二 直 交 直

19、线 方 向 ， 称 之为 主 方 向 。 a bcd ao o bcd 在 主 方 向 上 ， 具 有 极 大 和 极 小 长 度 比 。 例 如 我 们 讲 过 的高 斯 -克 吕 格 投 影 ， 经 纬 线 投 影 后 均 保 持 垂 直 。 所 以 该 投 影中 ， 经 纬 线 方 向 就 是 主 方 向 。 经 纬 线 投 影 后 为 正 交 ， 经 纬 线方 向 均 为 主 方 向 。 但 也 有 一 些 投 影 经 纬 网 斜 交 ， 主 方 向 与 经纬 线 方 向 并 不 一 致 。4.变形椭圆 在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接触点位置外，一般情况下为椭圆， 下面

20、我们用数学方法验证一下。 设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1），M(x,y)是圆上一点，圆心曲线方程为x2+y2=1o为o的投影，以主方向作为坐标轴，M（x,y）是M（x,y）的投影，令主方向长度比为a和b，则: x/x= a, y/y= b则:x =x/a, y =y/b(x,y)为圆上一点，将其代入圆的方程，得x2/a2+y2/b2=1 这是一个椭圆方程，这表明该微小圆投影后为长半径为a短半径为b的椭圆，这种椭圆可以 用来表示投影的变形，故叫做变形椭圆。M M 在 研 究 投 影 时 ， 可 借 助 变 形 椭 圆 与 微 小 圆 比 较 ， 来 说 明变 形 的

21、性 质 和 数 量 。 椭 圆 半 径 与 小 圆 半 径 之 比 ， 可 以 说 明长 度 变 形 。 很 明 显 的 看 出 长 度 变 形 是 随 方 向 的 变 化 而 变 化 ，在 长 短 半 径 方 向 上 有 极 大 和 极 小 长 度 比 a和 b， 而 长 短 半 径方 向 之 间 ， 长 度 比 为 b a;椭 圆 面 积 与 小 圆 面 积 之 比 ，可 以 说 明 面 积 变 形 ;椭 圆 上 任 意 两 条 方 向 线 的 夹 角 与 小 圆上 相 应 的 两 方 向 线 夹 角 之 差 为 角 度 变 形 。 5.面 积 比 与 面 积 变 形 投 影 平 面 上

22、的 微 小 面 积 与 球 面 上 相 应 微 小 面 积 之 比 ， 称为 面 积 比 。 以 投 影 面 上 变 形 椭 圆 的 面 积 dF =ab ,相 应 球面 上 微 小 圆 的 面 积 dF= 1 2为 例 ， 以 P表 示 面 积 比 ， 则 : P=dF/dF=ab/12=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时：P=mn 若经纬线方向不是主方向时，则面积比:P=mnsin(为投影后经纬线夹角)面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就是面积比与1之差，以Vp表示。Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为

23、正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。 6.角 度 变 形 投 影 面 上 任 意 两 方 向 线 所 夹 角 与 球 面 上 相 应 两 方 向 线 夹角 之 差 ， 称 为 角 度 变 形 。 过 一 点 可 以 做 许 多 方 向 线 ， 每 两 条方 向 线 均 可 以 组 成 一 个 角 度 ， 这 些 角 度 投 影 到 平 面 上 之 后 ，往 往 与 原 来 的 大 小 不 一 样 ， 而 且 不 同 的 方 向 线 组 成 的 角 度 产生 的 变 形 一 般 也 不 一 样 。 7.等 变 形 线 在 各 种 投 影 图 上 ， 都 存 在 着 误 差

24、或 变 形 。 并 且 各 不 同 点的 变 形 数 量 常 常 是 不 一 样 的 ， 为 了 便 于 观 察 和 了 解 绘 制 区 域变 形 的 分 布 。 常 用 等 变 形 线 来 表 示 制 图 区 域 的 变 形 分 布 特 征 。等 变 形 线 就 是 变 形 值 相 等 的 各 点 的 连 线 ， 它 是 根 据 计 算 的 各种 变 形 的 数 值 （ 如 p,w） 绘 于 经 纬 线 网 格 内 的 ， 如 面 积 等 变 形线 。 等 变 形 线 在 不 同 的 投 影图 上 ， 具 有 不 同 的 形 状 ， 在方 位 投 影 中 ， 因 投 影 中 心 点无 变 形

25、 ， 从 投 影 中 心 向 外 变形 逐 渐 增 大 ， 等 变 形 线 成 同心 圆 状 分 布 。 等 变 形 线 通 常 是 用 点 虚线 来 表 示 的 。 第 三 节 地 图 投 影 的 分 类 地图投影的种类很多，由于分类的标志不同，分类的方法也不同。 一、按变形性质分类 地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、角度和面积三种，根据变形特征可分为：等角投影、等积投影和任意投影三种。 1.等 角 投 影 （ 正 形 投 影 ） 角 度 变 形 为 0， 地 球 面 上 的 微小 圆 经 过 投 影 后 仍 为 相 似 的 微 小圆 ， 其 形 状 保 持 不 变 ， 只 有 长 度

26、和 面 积 变 形 。 等 角 投 影 的 条 件 是 ：w=0sin(w/2)=(a-b)/（ a+b)=0a=b， m=n 等 角 投 影 在 同 一 点 任 何 方 向 的长 度 比 都 相 等 ， 但 在 不 同 地 点 长度 比 是 不 同 的 。 多 用 于 编 制 航 海 图 、 洋 流 图 、风 向 图 等 地 形 图 。 等 积 投 影 的 条 件 是 ：Vp=p p=1因 为 p=ab 所 以 a=1/b或 b=1/a由 于 这 类 投 影 可 以 保 持 面 积 没 有 变 形 ， 故 有 利 于 在 图 上 进 行面 积 对 比 。 一 般 用 于 绘 制 对 面 积

27、精 度 要 求 较 高 的 自 然 地 图 和经 济 地 图 。2.等 积 投 影 投 影 后 图 形 保 持 面 积大 小 相 等 ， 没 有 面 积 误 差 。也 就 是 球 面 上 的 不 同 地 点微 小 圆 投 影 后 为 面 积 相 等的 各 个 椭 圆 ， 但 椭 圆 的 形状 不 一 样 。 因 此 有 角 度 和长 度 变 形 。 3.任 意 投 影 任 意 投 影 是 既 不 等角 也 不 等 积 的 投 影 。 这种 投 影 的 特 点 是 面 积 变形 小 于 等 角 投 影 ， 角 度变 形 小 于 等 积 投 影 。 在 任 意 投 影 中 ， 有 一种 特 殊 的

28、 投 影 ， 叫 做 等距 投 影 ， 其 条 件 是 m=1。即 误 差 椭 圆 上 的 一 个 半径 和 球 面 上 相 应 微 小 圆半 径 相 等 。 等 角 投 影 等 积 投 影 等 距 投 影 任 意 投 影 如 图 表 示 各 种 变 形 性 质 不 同 的 地 图 投 影 中 变 形 椭 圆 的 形 状 。通 过 比 较 可 以 看 出 ： 等 积 投 影 不 能 保 持 等 角 特 性 ， 等 角 投 影 不 能 保 持 等 积 特 性 。 任 意 投 影 不 能 保 持 等 积 、 等 角 特 性 。 等 积 投 影 的 形 状 变 化 比 较 大 ， 等 角 投 影 的

29、 面 积 变 形 比 较 大 。 二 、 按 构 成 方 法 分 类 1.几 何 投 影 几 何 投 影 是 把 地 球 球 面 上 的 经 纬 线 网 投 影 到 几 何 面 上 ， 然后 将 几 何 面 展 为 平 面 而 得 到 的 ， 根 据 几 何 面 的 形 状 ， 可 进 一 步分 为 如 下 几 类 ： 方 位 投 影 以 平 面 作 为 投 影 面 ， 使 平 面 与 球 面 相 切 或 相割 ， 将 球 面 上 的 经 纬 线 投 影 到 平 面 上 而 成 。 圆 柱 投 影 以 圆 柱 面 作 为 投 影 面 ， 使 圆 柱 面 与 球 面 相 切或 相 割 ， 将 球 面 上 的 经 纬 线 投 影 到 圆 柱 面 上 ， 然 后 将 圆 柱面 展 为 平 面 而 成 。 圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。 2.非 几 何 投 影 不 借 助 于 任 何 几 何 面 ， 根 据 一 定 的 条 件 用 数 学 解 析 法 确定 球 面 与 平 面 之 间 点 与 点 的 函 数 关 系 。 在 这 类 投 影 中 ， 一 般按 经 纬 网 形 状 又 可 分 为 伪 方 位 投 影 、 伪 圆 柱 投 影 、 伪 圆 锥 投影 和 多 圆 锥 投 影 等 。