新人教版初中数学九年级上册《实际问题与一元二次方程》专题复习_中学教育-中考

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1、 新人教版初中数学九年级上册实际问题与一元二次方程专题复习 列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性主要学习下列两个内容：1.列一元二次方程解决实际问题。一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.主要设置了【典例引路】中的例 1、例 2、

2、例 4.【当堂检测】中的第 1、2 题，【课时作业】中的第1，2，11 题.2.一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两个根是1x和2x，那么acxxabxx=,=+2121-主要设置了【典例引路】中的例 3.【当堂检测】中的第 4 题，【课时作业】中的第 6、7 题.点击一：列方程解决实际问题的一般步骤 应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题数学模型数学问题的解实际问题的答案.一般情况下列方程解决

3、实际问题的一般步骤如下：(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接).(3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程.(4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.(6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的 关键.针对练习 1:某城市 2006 年底已有绿化面积 300 公顷，经过两年绿化，绿化

4、面积逐年增加，到 2008年底增加到 363 公顷设绿化面积平均每年的增长率为 x，由题意，所列方程正确的是（）A300(1x)=363 B300(1x)2=363 C300(12x)=363 D363(1x)2=300【解析】B 设平均增长百分率为 x，由题意知基数为 300 公顷，则到 2004 年底的绿化面积为：300+300 x=300（1+x）（公顷）；到 2008 年底的绿化面积为：300（1+x）+300（1+x）x=300（1+x）2公顷，而到 2008 年底绿化面积为 363 公顷，所以 300(1x)2=363 点击二：一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系

5、。一般地，如果一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两个根是1x和2x，那么acxxabxx=,=+2121-针对练习 2:先阅读，再填空解题：(1)方程：x2x2=0 的根是：x1=3,x2=4，则 x1+x2=1，x1 x2=12；(2)方程 2x27x+3=0 的根是：x1=12,x2=3，则 x1+x2=72，x1 x2=32；(3)方程 x23x+1=0 的根是：x1=,x2=.则 x1+x2=，x1 x2=；根据以上（1)(2)(3）你能否猜出：如果关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+p=0（m0且 m、n、p 为常数）的两根为 x1、x2，那么 x1+x2、x1、x2与系数

6、m、n、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.【解析】本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第 3 个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系.【解答】.253,25321=+=xx.1,32121=+xxxx猜想.,2121mpxxmnxx=+一元二次方程 mx2+nx+p=0(m0，且 m，n，p 为常数)的两个实数根是.24,242221mmpnnxmmpnnx=+=用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在

7、利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 mnmmpnnmmpnnxx=+=+24242221，.4)4()(242422222221mpmmpnnmmpnnmm

8、pnnxx=+=【评注】本题是探索一元二次方程根与系数之间的关系.关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+p=0(m0，且m，n，p 为常数)的两根为 x1，x2，那么.,2121mpxxmnxx=+由方程，的根与系数的关系特点，通过观察、比较、猜想发现一般性规律，并进行验证，培养同学们由特殊到一般的数学思想方法.类型之一：建立一元二次方程模型解应用题 例 1 甲、乙两人分别骑车从 A、B 两地相向而行，甲先行 1 小时后，乙才出发，又经过 4 小时两人在途中的 C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由 C 地到达 A 地的途中因故停了 20 分钟，结果乙由 C 地到达 A 地时比甲

9、由 C 地到达 B 地还提前了 40 分钟，已知乙比甲每小时多行驶 4 千米，求甲、乙两人骑车的速度.【解答】设甲的速度为 x 千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得54(4)2040.460 xxxx 解之,得 x1=16，x2=2.经检验：x1=16，x2=2 都是原方程的根，但 x2=2 不合题意，舍去.当 x=16 时，x+4=20.答：甲每小时行驶 16 千米，乙每小时行驶 20 千米.例 2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场

10、平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？【解析】设每件衬衫降价 x 元，则每件衬衫盈利(40 x)元，降价后每天可卖出(20+2x)件，由关系式：总利润=每个商品的利润 售出商品的总量，可列出方程【解答】设每件衬衫降价 x 元，依题意，得(40 x)(20+2x)=1200，整理得：x230 x+200=0，解得：x1=10，x2=20，因为要尽快减少库存，所以 x=10 舍去 用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注

11、意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 答：每件衬衫应降价 20 元 类型之二：一元二次方程的根的判别式的应用 例 3 阅读材料：如果1x，2x是一元二次方程20axbxc 的两根，那么有1212,bcxx

12、x xaa.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如12,xx是方程2630 xx 的两根，求2212xx的值.解法可以这样：126,xx123,x x 则 222212112()2xxxxx x2(6)2(3)42 .请你根据以上解法解答下题：已知12,xx是方程2420 xx 的两根，求：（1）1211xx的值；（2）212()xx的值.【解析】先由公式 x1+x2=ab,x1x2=ac,求出 x1+x2,x1x2,再化1x1+1x2化为x1+x2x1x2,(x1x2)2化为(x1+x2)24x1x2.【答案】x1+x2=4,x1x2=2.(1)1x1+1x2=x1+x

13、2x1x2=42=2.(2)(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=424 2=8.【感悟】本题属于阅读理解题,解此类问题关键理解材料中知识与方法,从中获得知识迁移.类型之三：综合应用 例 4.某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元 若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？求出 y 与 x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察

14、其图像的变化趋势，结合题意写出当 x 取何值时，商场获利润不少于 2160 元？【解析】本题是以商场经营为素材的利润问题，解题的关键是理解降价与销售数量增加量之间的关系，根据每天盈利的计算，即“每天盈利每件的利润 销售数量”作为等量关系列方程或列函数关系式，第（2）的第小题，考查了函数及其图象，并用图象确定商场获利润不少于 2160 元的 x 的取值范围，体现了数形结合的数学思想。【解答】若商店经营该商品不降价，则一天可获利润 100（10080）2000（元）用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一

15、元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 依题意得：（10080 x）（100+10 x）2160 即 x210 x+16=0 解得：x1=2,x2=8 经检验：x1=

16、2,x2=8 都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价 2 元或 8 元.依题意得：y=（10080 x）（100+10 x）y=10 x2+100 x+2000=10(x5)2+2250 画草图（略）观察图像可得：当 2x8 时，y2160 当 2x8 时，商店所获利润不少于 2160 元 1.如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍,那么这个数是()A.偶数 B.奇数 C.偶数或奇数 D.不一定是整数【解析】A 设这个数为 x.由题意,得 x2=2x,解得 x1=0,x2=2.故选 A.2.在一幅长 80 cm,宽 50 cm 的矩形风景画的

17、四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm2,设金色纸边的宽为 x cm,那么 x 满足的方程是()A.x2+130 x1 400=0 B.x2+65x350=0 C.x2130 x1 400=0 D.x265x350=0 【解析】B 上、下两条金色纸边的面积一样,左、右两条金色纸边的面积一样,2(80+x)x+2(50+x)x+80 50=5 400.3.恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率

18、用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实

19、际问题【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2n 求解，其中 mn对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m(1x)2n 即可求解，其中 mn【解答】设这两个月的平均增长率是 x，则根据题意，得 200(120%)(1+x)2193.6，即(1+x)21.21，解这个方程，得 x10.1，x22.1（舍去）答：这两个月的平均增长率是 10%4.若，是方程2220050 xx的两个实数根，则23 的值为（）2005 2003 2005 4010【解析】B 由于所求的两根代数式非对称，故只用韦达定理难于解

20、决，结合根的定义，把23 化为对称式因为是方程2220050 xx的根，故2220050，从而220052，所以23=2005 ，而 2，故23 2003.1.从一块正方形的铁片上剪掉 2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是 48 cm2，则原来铁片的面积是()A.64 cm2 B.100 cm2 C.121 cm2 D.144 cm2【解析】A 本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为 xcm.由题意，得 x(x2)=48，解得 x1=6(舍去)，x2=8.x2=64，即正方形面积为 64 cm2.2.如图，某工厂直角墙角处，用可建 60 米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的

21、材料分隔成两间，问 AB 为多长时，所围成的矩形面积是 450 平方米？【解析】等量关系为：长 宽=450，如果设 AB 为 x 米，那么 BC 的长可表示为(602x)米，根据矩形的面积公式可列出方程.【解答】设 AB 的长为 x 米，则 BC=(60 2x)米.根据题意，得 x(602x)=450.解得 x=15.即 AB=15 米.答：AB 为 15 米时，所围成的矩形面积是 450 平方米.3.某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是100元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是 81 元,则平均每次降低成本的百分率是()用题类似都是根据问题中的相等关系列

22、出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 A.8.5%B.9%C.9

23、.5%D.10%【解析】D 降低百分率与增长率问题类似,这里依据的基本等量关系为基础数(1降低率)降低次数=降低后的数量.5.某厂制造某种商品，原来每件产品的成本是 100 元，由于不断改进设备，提高生产技术，连续两次降低成本，两次降价后的成本是 81 元，则平均每次降低成本的百分率是()A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%【解析】D 降低百分率与增长率问题类似，这里依据的基本等量关系为基础数(1降低率)降低次数=降低后的数量.设平均每次降低成本的百分率为 x.由题意，得 100(1x)2=81.解得 x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去)，x=10%.6.已知1x、2x是方程,03

24、2 xx的两个根，那么2221xx的值是（）A.1 B.5 C.7 D.449【解析】C 根据根与系数的关系，121xx，321 xx，又因为2212xx=212212)(xxxx，所以2212xx=7.7.某两位数的十位数字是方程 x28x=0 的解，则其十位数是_.【解析】解方程 x28x=0，得 x1=0，x2=8，由于两位数的十位数字不能为 0，x=0(舍去).十位数字为 8.【答案】8 8.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？【解析】人数 人均旅游费用=付给旅行社的总费用，可设这次共有x名员工去天水

25、湾风景区旅游，由于 1000 25=25002700，所以员工人数肯定超过 25 人，由于人数比 25 增加了(x25)人，因此每人均费用比 1000 元降低了 20(x25)元，即此时人均费用为100020(x25)元。【解答】设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游 用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的

26、例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 因为1000252500027000，所以员工人数一定超过 25 人 可得方程100020(25)27000 xx 整理，得27513500 xx，解得124530 xx，当145x 时，100020(25)600700 x，故舍去1x；当230 x 时，100020(25)900700 x，符合题意 答：该单位这次

27、共有 30 名员工去天水湾风景区旅游 【评注】此题以对话形式呈现新颖，别致，这类问题的解决通法是设出未知数后，用未知数与给出的一组数据做比较，比较的目的就利用规律表示出相等关系，进而得到方程，解出方程后，还需判断解是否符合实际题意。1.某两位数的十位数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为 736，求原来的两位数.【解析】本题是数字问题中的最基本的问题，难度不大，等量关系比较明显：新的两位数 原来的两位数=736,关键是如何表示出两个两位数和整理方程，要注意检验是否求得的解都符合题意.【解答】解设原两位数的十位数字为 x，则个位

28、数字为（5x），由题意,得10 x+(5x)10(5x)+x=736.整理,得 x25x+6=0,解得 x1=2,x2=3.当 x=2 时 5x=3,符合题意，原两位数是 23.当 x=3 时 5x=2 符合题意，原两位数是 32.2.已知某项工程由甲、乙两队合做 12 天可以完成，共需工程费用 13 800 元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的 2 倍少 10 天，且甲队每天的工程费用比乙队多 150 元.(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理

29、由.【解析】对于工作效率的问题，要理解工作量、工作时间、工作效率之间的关系.【解答】(1)设甲队单独完成需 x 天，则乙队单独完成需要(2x10)天.根据题意,有11121012xx，解得 x1=3(舍去)，x2=20.乙队单独完成需要 2x10=30(天).用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测

30、中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要 20 天、30 天.(2)设甲队每天的费用为 y 元，则由题意有 12y+12(y150)=138 000，解得 y=650.选甲队时需工程费用 650 20=13 000，选乙队时需工程费用 500 30=15 000.13 000 15 000，从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.3

31、.有一根竹竿,不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前,竹竿长比门宽多4尺;把竹竿竖放在这扇门前,竹竿长比门的高度多 2 尺;把竹竿斜放,竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?【解析】本题是一道实际问题,解决此题可画出相应的几何图形,通过设未知数,根据勾股定理,列出方程解决.【解答】设竹竿长为 x 尺。则：（x4）2+（x2）2=x2,x1=10,x2=2（不合题意舍去）所以竹竿长为 10 天。【评注】本题是根据直角三角形三边关系,构造方程解决问题的,充分体现了数学结合思想在解决实际问题中的应用.课时作业：A 等级 1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低 36%,若每年下降

32、的百分数相同,则这个百分数为 （）A、10%B、20%C、120%D、180%2、某超市一月份的营业额为 200 万元,已知第一季度的总营业额共 1000 万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为 ()A、200(1+x)2=1000 B、200+200 2x=1000 C、200+200 3x=1000 D、2001+(1+x)+(1+x)2=1000 3、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为 200 千克，出油率为 50（即每 100 千克花生可加工成花生油 50 千克）现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油 132 千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的21

33、则新品种花生亩产量的增长率为 （）A、20 B、30%C、50%D、120%用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是

34、审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 4、若两个连续整数的积是 56,则它们的和是 ()A、15 B、15 C、15 D、11 5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是 。6、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的 60 元降至 48.6 元,那么平均每次降价的百分率是 。7、高温煅烧石灰石(CaCO3)可以制取生石灰(CaO)和二氧化碳(CO2).如果不考虑杂质及损耗,生产石灰14 吨就需要煅烧石灰石 25 吨,那么生产石灰 224

35、 万吨,需要石灰石 万吨。8、解方程22(1)1xx+26(1)1xx=7 时，利用换元法将原方程化为 6y27y+2=0，则应设 y=_。9、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达 95 万人次，其中第一年培训了 20万人次。设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为 x，根据题意列出的方程是_。10、一条长 64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于 160cm2，则这两个正方形的边长分别为 。B 等级 11.如果12xx，是一元二次方程2620 xx 的两个实数根，那么12xx的值是（）A6 B2 C6 D2 12.已知 a、b、c 分别是三

36、角形的三边，则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)0 的根的情况是（）A没有实数根 B可能有且只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 13.若 x1 是一元二次方程 x2xc0 的一个解，则 c2 14.一元二次方程2x2x1=0的根为 。15.已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 2x2+kx1=0 的一个根，则实数 k 的值是 .16.关于x的一元二次方程220 xxm 有两个实数根，则m的取值范围是 17.解方程：0132 xx 18.解方程：222(1)160 xxxx 19.(2008 湘潭中考)阅读材料：如果1x，2x是一元二次方程20axbxc 的两根

37、，那么有1212,bcxxx xaa.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,xx是用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的

38、一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 方程2630 xx 的两根，求2212xx的值.解法可以这样：126,xx 123,x x 则222212112()2xxxxx x2(6)2(3)42 .请你根据以上解法解答下题：已知12,xx是方程2420 xx 的两根，求：（1）1211xx的值；（2）212()xx的值.20.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边 如图，地毯中央的矩形图案长 6 米、宽 3米，整个地毯的面积是 40 平方分米求花边的宽 C 等级 21.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽

39、的比为 2：1在温室内，沿前侧内墙保留 3m宽的空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？22.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点 O 处甲沿着喀什路以 4m/s 的速度由西向东走，乙沿着北京路以 3m/s 的速度由南向北走 当乙走到 O 点以北 50m 处时，甲恰好到点 O 处 若两人继续向前行走，求两个人相距 85m 时各自的位置 23.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设某汽车销售公司 2005 年盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且从 2005 年到 2007 年，每年盈利的年增

40、长率相同（1）该公司 2006 年盈利多少万元？用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知

41、量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2008 年盈利多少万元？24.若 x1、x2是一元二次方程 3x2+x1=0 的两个根,则11x+21x的值是()A.2 B.1 C.1 D.3 25.三角形两边长分别是 8 和 6,第三边的长是一元二次方程 x216x+60=0 的一个实数根,则该三角形的面积是()A.24 B.24 或 85 C.48 D.85 26.如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为 30m，另三边由一段长为 35m 的铁丝网围成已知矩形空地的面积是 125m2，求矩形空地的长和宽 27.某钢铁厂去年一月份某种

42、钢的产量为 5000 吨，三月份上升到 7200 吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？28.如图，在 RtABC 中，B=900，AB=6 厘米，BC=3 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1厘米秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米秒的速度移动如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，几秒钟后，P，Q 间距离等于 4 2厘米 29、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁 1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了 20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了 1440m2。求：(1)该工程队第

43、一天拆迁的面积；(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。30、在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是 8 和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是9 和1.你能找出正确的原方程吗?若能,请你用配方法求出这个方程的根.课前预习 如图，D 是等腰 RtABC 内一点，BC 是斜边，如果将ABD 绕点 A 逆时针方向旋转到ACD的用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注

44、意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 位置，则ADD的度数是（）25 30 35 45 参考答案 课时作业：1.B 2.D 3.A 4.A 5、20%；6、10%；7、400；8、9、10、12cm、4c

45、m；11.【解析】C 本题考察了一元二次方程的根与系数的关系。12xx=（6）=6【评注】对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)，满足 b24ac0时，x1+x2=ab,x1x2=ac.12.【解析】A 本题考查了一元二次方程的根的情况.2224cab 4 abc cab，由于 a、b、c 分别是三角形的三边，根据三边的关系可得 2224cab0，所以方程没有实数根.【评注】判断一元二次方程 ax2+bx+c=0 是否有根，就是判定 b24ac 与 0 的大小关系.如果 b24ac0，则方程有两个不等的实数根；b24ac=0，则方程有两个相等的实数根；b24ac0，方程无实数根。C D

46、 A D B 用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程

47、概括来说就是实际问题 13.【解析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义。把 x1 代入一元二次方程 x2xc0，得到1+1c0，所以 c2.【答案】2【评注】能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根.所以将已知的方程的根代入原方程是成立的.14.【解析】本题主要考查了应用一元二次方程求根公式求出根.根据求根公式x=242bbac=2442=22 22=12.所以112x ，212x .【答案】112x ，212x 【评注】用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a0);（2）确定 a、b、c 的

48、值；（3）求 b24ac 的值；（4）当 b24ac0时，则将 a、b、c 及 b24ac 的值代入求根公式求出方程的根，若 b24ac0，则方程无实数根.15.【解析】把 x=1 代入 2x2+kx1=0 的一个根，2 12+k1=0,k=1.【答案】1 【评注】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，所以将方程的根代入方程的左右两边就可以使方程成立.如果已知方程的根，求方程中的其它字母，可以直接将这个根代入方程，这样即可求出字母系数.16.【解析】本题考查一元二次方程根的判别式的运用.如果220 xxm 有两个实数根，则（2）24m0,所以1m.【答案】1m【评注】当 b24ac0 时，

49、方程有两个不相等的实数根，当 b24ac=0 时，方程有两个相等的实数根，当 b24ac0 时，方程没有实数根.本题中方程有两个实数根，可能相等，可能不相等，所以 b24ac0.17.【解析】本题考察了一元二次方程及其解法，本题可使用公式法或配方法两种方法解得结果。【解答】2334 1 12 1x 352 所以原方程的解为：1352x，2352x【评注】用公式法求解时，化成一般形式是前提，确定各项系数是基础，计算acb42的值和代入公式是关键。18.【解析】本题考查分式方程的解法，本题运用的是换元法，这是一种重要的数学思想方法.用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实

50、际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题【解答】设yxx 1则原方程可化为 2y2+y6,解得231

51、y，y2=2,即21xx，231xx，解得12x，213x 经检验，12x，213x 是原方程的根【评注】分式方程往往是通过转化为整式方程来求解的，在解方程之后要注意检验分式方程.19.【解析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系及乘法公式的变形应用.从方程可得出12124,2xxx x,想办法把要求的式子1211xx与212()xx化成用1212,xx x x表示形式,再整体代入即可【解答】12124,2xxx x（1）12121211422xxxxx x （2）222121212()()444 28xxxxx x 【评 注】对 于 一 元 二 次 方 程ax2+bx+c=0(a0)，满

52、足b2 4ac0 时，由 求 根 公 式 知x1=aacbb242,x2=aacbb242,x1+x2=ab,x1x2=ac，即两根之和为ab，两根之积为ac.运用此结论解某些有关的题时较为简便.20.【解析】本题考查的是一元二次方程应用问题。根据矩形面积公式很容易列出方程，解后应注意验根是否符合问题实际。【解答】设花边的宽为 x 分米，根据题意，得40)32)(62(xx 解得121114xx，x=114不合题意，舍去 答：花边的宽为 1 米【评注】本题比较直观的表示出了矩形的面积，在列等量关系的时候要注意四周花边的宽度相同，从而得到了整个图形的长和宽.21.【解析】本题考查应用一元二次方程

53、解决实际问题。关键是用设出的未知数表示蔬菜种植区域的长和宽，再根据面积为 288，列方程，解出未知数的值，注意要舍去不符合实际的解。【解答】解法一：设矩形温室的宽为 x m，则长为 2x m根据题意，得(2)(24)288xx 用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次

54、方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 解这个方程，得 110 x （不合题意，舍去），214x 所以14x，22 1428x 答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2 解法二：设矩形温室的长为mx，则宽为1m2x根据题意，得12(4)2882xx 解这个方程，得 120 x （不合题意，舍去），228x 所以28x，11281422x 答：当矩形温室的长为 2

55、8m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2【评注】有些实际问题是关于图形面积的问题，解决这些问题的时候，要根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题 22.【解析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题。本题既可以直接设也可以间接设，如果间接设，可以设经过 x 秒时两人相距 85m，然后求出时间即可求出最后的位置.【解答】解法 1：设经过 x 秒时两人相距 85m 根据题意得：222(4)(503)85xx 化简得：2121890 xx 解得：12921xx，（不符合实际情况，舍去）当9x 时，436 50377xx，当两人相距 85m 时，甲在 O

56、 点以东 36m 处，乙在 O 点以北 77m 处 解法 2：设甲与 O 处的距离为 xm 时，两人相距 85m 则乙与 O 处的距离为350 m4x 222350854xx 解得：123684xx，（不符合实际情况，舍去）当33650774xx，答：当两人相距 85 米时，甲在 O 点以东 36 米处，乙在 O 点以北 77 米处 用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的

57、基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题【评注】动态几何问题是数形结合思想的体现，其实质是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要理解几何图形的运动意义或规则；第二是恰当设未知数，建立等量关系，以形想数，做好数形转化；第三是正确确

58、定未知数的取值范围。23.【解析】本题主要考查一元二次方程的应用.利用“增长量=基数 增长率，增长后的总量=基数（1+增长率）”计算。.【解答】（1）设每年盈利的年增长率为 x，根据题意得21500(1)2160 x 解得120.22.2xx，（不合题意，舍去）1500(1)1500(10.2)1800 x 答：2006 年该公司盈利 1800 万元 （2）2160(10.2)2592 答：预计 2008 年该公司盈利 2592 万元【评注】随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈因此，“利润问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷，让同学们真正体会到数学的宝贵价值 24.【解析】B 本

59、题可以先解方程,然后代入,但此法比较复杂.简捷的方法是通过前面的总结得出 x1+x2=ab,x1x2=ac,这样容易得到原式为 1.25.【解析】B 解方程,得 x1=10,x2=6.根据三角形的三边关系,知 x1=10,x2=6 均合题意,当三角形的三边分别为 6、8、10 时,构成的是直角三角形,面积为21 6 8=24；当三边分别为 6、6、8 时,构成的是等腰三角形,根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理,求得底边上的高为 25,所以面积为21 8 25=85.26.【解析】根据长方形面积公式，运用长 宽=25 列出方程，即可求得答案在方程中墙壁的长度 30m没有直接用到，但在检验

60、结果的时候，要注意矩形的平行于墙壁的一边长不能超过 30m，否则，这堵墙就没有作为养鸡场的利用价值。【解答】设矩形与墙平行的一边长为 xm，则矩形的另一条边长为35-x2m根据题意，得 x35-x2=125 整理，得 x235x+250=O 解这个方程，得 x1=10，x2=25 当 x=10 时，35-x2=12.5 用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关

61、系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题 当 x=25 时，35-x2=5均合题意 答：矩形空地的长和宽分别是 12.5m 和 10m 或 25m 和 5m17.【解析】设平均每月的增长率为x，则 2 月份的产量是 500050005000 1xx(吨)，3 月份的产量是 25000 15000 15000 1

62、xx xx(吨)27.【解答】设平均每月的增长率为x，据题意得:25000 17200 x 化简得 211.44x，于是11.2x 解得120.22.2xx，(不合题意，舍去)所以x=02=20 答：这两个月平均每月增长的百分率是 20%28.【解析】设 x 秒钟后，P、Q 两点间的距离等于 4 2cm再利用路程=时间 速度的关系，用 x 的代数式表示出 PB 与 BQ 长度，然后在 RtPBQ 中由勾股定理列出方程【解答】设 x 秒钟后，P、Q 间的距离等于 4 2cm 则由题意，得：AP=x，PB=6x，BQ=2x 在 RtPBQ 中，PQ2=PB2+BQ2 (4 2)2=(6x)2+(2

63、x)2 5x212x+3632=O 5x212x+4=O (5x2)(x2)=O x1=0.4，x2=2 AP=0.46，BQ=0.83 或 AP=23(不符合题意，舍去)答：0.4 秒后，P、Q 间距离等于 4 2cm 29、（1）1000m2；（2）20%。30、x210 x+9=0,x1=9,x2=1。课前预习 解析：由CAB=90 可知旋转角是 90，则DAD=90,根据旋转特征可知ACDABD，所以AD=AD，则DAD是等腰直角三角形，那么ADD=45.故选 D.用题类似都是根据问题中的相等关系列出方程解方程并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性进一步提高分析问题解决问题的意识和能力在利用一元二次方程解决实际问题特别要对方程的解注意检验根据实际做出正确取舍以骤审设列解验答六个步骤找出相等关系的关键是审题审题是列方程组的基础找出相等关系是列方程组解应用题的关键主要设置了典例引路中的例例例当堂检测中的第题课时作业中的第题一元二次方程根与系数的关系一般地如果一元际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题然后用数学知识和方法加以解决的一种能力列方程解应用题最关键的是审题通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系从而正确地列出方程概括来说就是实际问题